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二次函數(shù)在高中階段的應(yīng)用高中數(shù)學(xué)論文
一、進(jìn)一步深入理解函數(shù)概念
初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進(jìn)入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射，接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要是用映射觀點(diǎn)來闡明函數(shù)，這時(shí)就可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是二次函數(shù)為例來加以更深認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個(gè)集合A(定義域)到集合B(值域)上的映射?：AB，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a0)與集合A的元素X對(duì)應(yīng)，記為?(x)= ax2+ bx+c(a0)這里ax2+bx+c表示對(duì)應(yīng)法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念有一個(gè)較明確的認(rèn)識(shí)，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號(hào)后，可以讓學(xué)生進(jìn)一步處理如下問題：
類型I：已知?(x)= 2x2+x+2，求?(x+1)
這里不能把?(x+1)理解為x=x+1時(shí)的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。
類型Ⅱ：設(shè)?(x+1)=x2-4x+1，求?(x)
這個(gè)問題理解為，已知對(duì)應(yīng)法則?下，定義域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定義域中元素X的象，其本質(zhì)是求對(duì)應(yīng)法則。
一般有兩種方法：
(1)把所給表達(dá)式表示成x+1的多項(xiàng)式。
?(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6，再用x代x+1得?(x)=x2-6x+6
(2) 變量代換：它的適應(yīng)性強(qiáng)，對(duì)一般函數(shù)都可適用。
令t=x+1，則x=t-1 (t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6從而?(x)= x2-6x+6
二、二次函數(shù)的單調(diào)性，最值與圖象。
在高中階階段學(xué)習(xí)單調(diào)性時(shí)，必須讓學(xué)生對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間(-，-b2a ]及[-b2a ，+) 上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進(jìn)行嚴(yán)格的論證，使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上，與此同時(shí)，進(jìn)一步充分利用函數(shù)圖象的直觀性，給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺地利用圖象學(xué)習(xí)二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性。
類型Ⅲ：畫出下列函數(shù)的圖象，并通過圖象研究其單調(diào)性。
(1)y=x2+2|x-1|-1
(2)y=|x2-1|
(3)= x2+2|x|-1
這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系。掌握把含有絕對(duì)值記號(hào)的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫出其圖象。
類型Ⅳ設(shè)?(x)=x2-2x-1在區(qū)間[t，t+1]上的最小值是g(t)。
求：g(t)并畫出 y=g(t)的圖象
解：?(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2，在x=1時(shí)取最小值-2
當(dāng)1[t，t+1]即01，g(t)=-2
當(dāng)t1時(shí)，g(t)=?(t)=t2-2t-1
當(dāng)t0時(shí)，g(t)=?(t+1)=t2-2
t2-2， (t0)
g(t)= -2，(01)
t2-2t-1， (t1)
首先要使學(xué)生弄清楚題意，一般地，一個(gè)二次函數(shù)在實(shí)數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當(dāng)定義域發(fā)生變化時(shí)，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識(shí)，可以再給學(xué)生補(bǔ)充一些練習(xí)。
如：y=3x2-5x+6(-3-1)，求該函數(shù)的值域。
三、二次函數(shù)的知識(shí)，可以準(zhǔn)確反映學(xué)生的數(shù)學(xué)思維：
類型Ⅴ：設(shè)二次函數(shù)?(x)=ax2+bx+c(a0)方程?(x)-x=0的兩個(gè)根x1，x2滿足0
(Ⅰ)當(dāng)X(0，x1)時(shí)，證明X
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)?(x)的圖象關(guān)于直線x=x0對(duì)稱，證明x0 x2 .
解題思路：
本題要證明的是x
(Ⅰ)先證明x
因?yàn)?0，又a0，因此?(x) 0，即?(x)-x0.至此，證得x
(Ⅱ) ∵?(x)=ax2+bx+c=a(x+-b2a )2+(c- )，(a0)
函數(shù)?(x)的圖象的對(duì)稱軸為直線x=- b2a ，且是唯一的一條對(duì)稱軸，因此，依題意，得x0=-b2a ，因?yàn)閤1，x2是二次方程ax2+(b-1)x+c=0的根，根據(jù)違達(dá)定理得，x1+x2=-b-1a ，∵x2-1a 0，
x0=-b2a =12 (x1+x2-1a )
二次函數(shù)，它有豐富的內(nèi)涵和外延。作為最基本的冪函數(shù)，可以以它為代表來研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)，特別是能從解答的深入程度中，區(qū)分出學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決數(shù)學(xué)問題的能力。
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