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高中階段的初等數(shù)論問(wèn)題
高中階段的初等數(shù)論問(wèn)題【1】
【摘要】本文對(duì)高中階段出現(xiàn)的所有整除和余數(shù)問(wèn)題進(jìn)行了歸納總結(jié)，利用數(shù)學(xué)歸納法、二項(xiàng)式定理和算法等一系列的知識(shí)點(diǎn)處理了這些數(shù)論問(wèn)題。事實(shí)上數(shù)論問(wèn)題綜合性強(qiáng)，以極少的知識(shí)就可生出無(wú)窮的變化。
【關(guān)鍵詞】初等數(shù)論 整除 余數(shù) 高中階段
初等數(shù)論是研究整數(shù)最基本性質(zhì)的一門(mén)十分重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，而其中的整除與余數(shù)則是初等數(shù)論的兩個(gè)最基本的概念。雖然在高中階段關(guān)于這一塊的內(nèi)容出現(xiàn)等不多，但我們其實(shí)已經(jīng)累積了很多的數(shù)論知識(shí)和解決數(shù)論問(wèn)題的方法。
我們?cè)诟咭灰婚_(kāi)始集合內(nèi)容的學(xué)習(xí)中規(guī)定了用Z表示整數(shù)集合，并且運(yùn)用中、小學(xué)所學(xué)到的知識(shí)我們還知道任意兩個(gè)整數(shù)的和、差、積仍是整數(shù)，即整數(shù)集對(duì)加、減、乘法運(yùn)算封閉。
但是兩個(gè)整數(shù)相除，其商不一定是整數(shù)，即集合Z中一般不能作除法。設(shè)a和b為整數(shù)，b≠0，則a/b不一定為整數(shù)，即不一定存在整數(shù)c，使a=bc。則此時(shí)就出現(xiàn)了余數(shù)的概念。
帶余除法定理：設(shè)a ，b 是給定的兩個(gè)整數(shù)，且b≠0，則一定存在唯一的整數(shù)q和r，滿(mǎn)足a=bq+r ，0≤r<|b|稱(chēng)q和r分別為被除數(shù)a除以除數(shù)b的商和余數(shù)。它是初等數(shù)論中最基本、最直接、最重要的工具。
當(dāng)r=0時(shí)，稱(chēng)b整除a，記作b|a，并稱(chēng)a是b的倍數(shù)，b是a的約數(shù)(因數(shù))。
當(dāng)r≠0時(shí)，r就稱(chēng)a被b除的余數(shù)，記作r=Mod(a，b) 。
在研究了以上初等數(shù)論中的整除和余數(shù)的相關(guān)概念含義和符號(hào)表示后，接下來(lái)本文會(huì)從高中課程中選例，介紹用高中階段所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)去解決一些數(shù)論問(wèn)題。
一、用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題
例1.是否存在正整數(shù)m，使得f(n)=(2n+7)・3n+9對(duì)任意正整數(shù)n，都能被m整除，若存在，求出最大值，并證明你的結(jié)論;若不存在，說(shuō)明理由。
解：f(1)=(2+7)・3+9=36，f(2)=(4+7)・9+9=108，f(3)=(6+7)・27+9=360，…猜想：f(n)能被36整除。用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
(1)當(dāng) 時(shí)，n=1 ，f(1)=36能被36整除。
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)， 能被f(k)=(2k+7)・3k+9能被36整除。
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，f(k+1)= [2(k+1)+7]・3k+1+9=[(2k+7)+2]・3.3k+9=3[(2k+7)・3k+9]+18(3k-1-1)。由歸納假設(shè)，3[(2k+7)・3k+0 能被36整除，當(dāng)k為正整數(shù)時(shí)，3k-1-1為偶數(shù)，則18(3k-1-1)能被36整除。所以3[(2k+7)・3k+9]+18(3k-1-1).能被36整除，這就是說(shuō)當(dāng) n=k+1時(shí)命題成立。由(1)、(2)知，對(duì)任意n∈N*，f(n) 都能被36整除。當(dāng)m取大于36的正整數(shù)時(shí)，
f(1)=36不能被m整除，所以36為最大，即 m=36。
點(diǎn)評(píng)：本題是與正整數(shù) 有關(guān)的整除問(wèn)題，用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題，關(guān)鍵在于證明當(dāng)n=k+1成立時(shí)，如何是25的倍數(shù)，故2n+2・3n+5n-4(n∈N*)能被25整除。
點(diǎn)評(píng)：同上題類(lèi)似，在用二項(xiàng)式定理證明整除問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵也是在于轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)展開(kāi)式來(lái)研究，務(wù)必注意在展開(kāi)式中必須有除數(shù)的倍數(shù)，當(dāng)然本題也可以用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明。
三、用算法確定最大公約數(shù)
例3.寫(xiě)出求兩個(gè)正整數(shù)a，b (a>b )的最大公約數(shù)的一個(gè)算法。
求 a，b (a>b )的最大公約數(shù)的算法：
S1 輸入兩個(gè)正整數(shù)a ，b;
S2 如果Mod(a，b)≠0，那么轉(zhuǎn)S3，否則轉(zhuǎn)S6;
S3 r←Mod(a，b) ;
S4 a←b ;
S5 b←r，轉(zhuǎn)S2;
S6 輸出b。
點(diǎn)評(píng)：在研究本問(wèn)題的時(shí)候就必須理解歐幾里得輾轉(zhuǎn)相除法的基本思想和步驟：給出一列數(shù)：a，b，r1，r2…，rn-1 ，rn，0.。這列數(shù)從第三項(xiàng)開(kāi)始，每項(xiàng)都是前兩項(xiàng)相除所得的余數(shù)，余數(shù)為0的前一項(xiàng)rn即是a和b的最大公約數(shù)。
本文對(duì)高中階段出現(xiàn)的所有整除和余數(shù)問(wèn)題進(jìn)行了歸納總結(jié)，利用數(shù)學(xué)歸納法、二項(xiàng)式定理和算法等一系列的知識(shí)點(diǎn)處理了這些數(shù)論問(wèn)題。事實(shí)上數(shù)論問(wèn)題綜合性強(qiáng)，以極少的知識(shí)就可生出無(wú)窮的變化。
因此，解決數(shù)論問(wèn)題的方法多樣，技巧性高，富于創(chuàng)造性和靈活性。相信對(duì)于今天所研究的這一類(lèi)整除和余數(shù)問(wèn)題在同學(xué)們進(jìn)入大學(xué)后可能還會(huì)有一些其他的好方法去處理它，在真正接觸了初等數(shù)論后就會(huì)感覺(jué)它的無(wú)窮魅力了。
參考文獻(xiàn)：
[1]楊慧.高中數(shù)學(xué)教學(xué)的“問(wèn)題鏈”設(shè)計(jì)研究[D].上海師范大學(xué).2012.
初等數(shù)論中的整除問(wèn)題【2】
摘 要：整除是初等數(shù)論中的基本概念，也是整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)。本文主要討論了初等數(shù)論中的整除問(wèn)題及應(yīng)用。
關(guān)鍵詞：初等數(shù)論 整除 整除特征
整除問(wèn)題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一大方面，無(wú)論小學(xué)，還是中學(xué)，甚至大學(xué)數(shù)學(xué)都有關(guān)于整除的問(wèn)題。理解掌握整除的概念、性質(zhì)及某些特殊數(shù)的整除特征，可以簡(jiǎn)單快捷地解決許多整除問(wèn)題。以下本文對(duì)整除問(wèn)題進(jìn)行了整理，以方便關(guān)于整除問(wèn)題的學(xué)習(xí)。
1 整除的概念
設(shè)a，b是任意兩個(gè)整數(shù)，其中b≠0，如果存在一個(gè)整數(shù)q使得等式a=bq成立，我們就說(shuō)b整除a或a被b整除，記作b|a，此時(shí)我們把b叫作a的因數(shù)，把a(bǔ)叫作b的倍數(shù)。
如果a=bq里的整數(shù)q不存在，我們就說(shuō)b不能整除a或a不能被b整除，記作ba。注：a，b作除數(shù)的其一為0則不叫整除。
2 整除的性質(zhì)
性質(zhì)1：若a是b的倍數(shù)，b是c的倍數(shù)，則a是c的倍數(shù)，即，c|b，b|ac|a。
性質(zhì)2：若a，b都是c的倍數(shù)，則(a+b)也是c的倍數(shù)。即，c|a，c|bc|(ab)。
性質(zhì)3：若，，…，都是m的倍數(shù)，，，..是任意n個(gè)整數(shù)，則+ +…+是m的倍數(shù)。即，對(duì)，…，Z，有m|++…+。
性質(zhì)4：幾個(gè)整數(shù)相乘，若其中有一個(gè)因子能被某一個(gè)數(shù)整除，那么它們的積也能被該數(shù)整除。即，若a|b，則a|bcd。
性質(zhì)5：若一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)互質(zhì)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)也能被這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積整除。即，若a|b，c|b，(a，c)=1，則ac|b。
性質(zhì)6：若一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積整除，那么，這個(gè)數(shù)也能分別被這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)整除。
即，若ac|b，(a，c)=1，則a|b，c|b。
性質(zhì)7：若一個(gè)質(zhì)數(shù)能整除兩個(gè)自然數(shù)的乘積，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個(gè)自然數(shù)中的一個(gè)。即，若p|ab，則p|a或p|b(p為質(zhì)數(shù))。
性質(zhì)8：若a|b，m≠0，則am|bm。
性質(zhì)9：若am|bm，m≠0，則a|b。
3 整除特征
特征1：任何整數(shù)都能被1整除;0能被任何非零整數(shù)整除。
特征2：若一個(gè)整數(shù)的末位數(shù)是0、2、4、6、8，則這個(gè)整數(shù)能被2整除。
特征3：若一個(gè)整數(shù)的各位數(shù)字和能被3整除，則這個(gè)整數(shù)能被3整除。
特征4：若一個(gè)整數(shù)的末尾兩位數(shù)能被4整除，則這個(gè)數(shù)能被4整除。
特征5：若一個(gè)整數(shù)的末位是0或5，則這個(gè)數(shù)能被5整除。
特征6：若一個(gè)整數(shù)能被2和3整除，則這個(gè)數(shù)能被6整除。
特征7：若把一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中減去個(gè)位數(shù)的2倍，差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除。
特征8：若一個(gè)整數(shù)的末尾三位數(shù)能被8整除，則這個(gè)數(shù)能被8整除。
特征9：若一個(gè)整數(shù)的各位數(shù)字和能被9整除，則這個(gè)整數(shù)能被9整除。
特征10：若一個(gè)整數(shù)的末位是0，則這個(gè)數(shù)就能被10整除。
特征11：若一個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位之和與偶數(shù)位之和的差能被11整除，則這個(gè)數(shù)就能被11整除。
4 整除問(wèn)題的應(yīng)用舉例
例1：判斷123456789這個(gè)九位數(shù)能否被3，9，11整除?
解：∵1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，且 3|45，9|45，
∴這九位數(shù)能被3和9整除。
這個(gè)九位數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字之和是9+7+5+3+1=25，偶數(shù)位上的數(shù)字之和是8+6+4+2=20，∵25―20=5，又∵115，∴11123456789。
例2：設(shè)72|，試求的a，b值。
解：72=8×9，且(8，9)=1
∴只需討論8、9都整除時(shí)a，b的值。
∵8|，則8|，由除法可得b=2。
∵9|，則9|(a+6+7+8+2)，得a=3。
∴a=3 b=2
例3：證明3|n(n+1)(2n+1)，其中n是任何整數(shù)。
證：法一：n(n+1)(2n+1)
= n(n+1)(n+2+n-1)
= n(n+1)(n+2)+(n-1)n(n+1)
∵3|n(n+1)(n+2)且3|(n-1)n(n+1)
∴3|〔n(n+1)(n+2)+(n-1)n(n+1)〕
即：3|n(n+1)(2n+1)。
法二：若n是3的倍數(shù)，或n+1是3的倍數(shù)，結(jié)論顯然成立。
若n，n+1都不是3的倍數(shù)，則n+2一定是3的倍數(shù)，設(shè)n+2=3k，k∈Z，則n=3k-2。
∴2n+1=2(3k-2)+1=3(2k-1)，即2n+1是3的倍數(shù)。
從而，3|n(n+1)(2n+1)。
例4：設(shè)p是質(zhì)數(shù)，證明滿(mǎn)足=p的正整數(shù)a，b不存在。
證：假定存在正整數(shù)a，b使得=p.
令(a，b)=d，a=d，b=d。則(，)=1
∴=，
∵p是質(zhì)數(shù)
p|，令=p，則
∴p=即=p
同理可得，p|即：，都含有p這個(gè)因子，與(，)=1矛盾。
∴滿(mǎn)足=p的正整數(shù)a，b不存在。
以上，通過(guò)對(duì)整除概念、性質(zhì)及特征的理解，利用整除的性質(zhì)和特征解決一些實(shí)際問(wèn)題，為學(xué)好初等數(shù)論打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。本文對(duì)整除問(wèn)題只是稍有整理，對(duì)整個(gè)整除問(wèn)題的梳理還有待去解決。
參考文獻(xiàn)
[1] 單�.初等數(shù)論[M].南京：南京大學(xué)出版社，2000.
[2] 閔嗣鶴，嚴(yán)士鍵.初等數(shù)論[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.
[3] 于慶.整除的數(shù)字特征―― 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的初等數(shù)論問(wèn)題[J].科學(xué)大眾(科學(xué)教育)，2012(8).
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