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反例在數(shù)學教學中的作用
舉反例也就是指出某命題不成立的例子，數(shù)學中常常需要利用反例來判斷一個命題是假命題。在數(shù)學的發(fā)展史上，反例與證明占有同等重要的地位。在數(shù)學教學中，恰當?shù)亻_發(fā)和使用反例，引導學生去構造反例，長期訓練學生構造反例的能力，就能為學生找到從模糊錯誤的思維中通往豁然開朗的橋梁，從而收到事半功倍的教學效果。下面小編就為大家整理了關于反例在數(shù)學教學中的作用的論文，歡迎大家借鑒!
摘 要： 我們知道，要判斷一個命題是真命題，必須經(jīng)過嚴密的論證。而要判斷一個命題是假命題，只要舉出一些例子，它符合命題的題設，但是不滿足命題的結論就可以了，這就是舉反例。正如美國數(shù)學家蓋爾鮑姆指出：“數(shù)學由兩大類――證明和反例組成。而數(shù)學發(fā)現(xiàn)也是朝著兩個主要目標――提出證明和構造反例……”。因為在數(shù)學問題的探索中，猜想的結論未必正確，正確的需要證明，謬誤的則依靠反例。
關鍵詞：反例 數(shù)學教學 作用
因反例具有直觀、明顯、說服力強等突出特點，決定了它在數(shù)學教學中也有著不可替代的作用。下面筆者就舉反例在數(shù)學教學中的作用談幾點見解，以供參考。
一、深化學生對數(shù)學概念以及數(shù)學定理、公式和法則等基礎知識的理解和掌握
在初中數(shù)學概念以及數(shù)學定理、公式和法則等的教學中，我們不僅要運用正面的例子加以深刻闡明，而且要運用恰當?shù)姆蠢龔牧硗庖粋�側面抓住它們的本質(zhì)，彌補正面教學的不足，從而深化學生對數(shù)學概念以及數(shù)學定理、公式和法則等基礎知識的理解和掌握。數(shù)學領域里，對數(shù)學概念的定義的闡述是極其嚴密的。并且數(shù)學中有許多定理、公式或法則的運用范圍都有相應的條件要求或限制。學生在運用時往往不注意分析具體條件而生搬硬套。因此教學活動中，教師不僅要講清這些定理、公式或者法則的運用范圍或運用時條件的限制，而且要根據(jù)學生的認知狀況恰當舉反例，幫助學生牢固掌握相應的定理、公式和法則。
初中數(shù)學中的一些概念、二次根式的運算法則以及比例的性質(zhì)等，對于初學的同學來說，對它們的理解常常模糊不清，在講授這些知識的時候，如果只從正面論述，同學們對知識的理解并不深刻，如果配合一些反例來說明，效果就截然不同。例如在學習同類二次根式的概念時，許多學生往往片面地認為，只有被開方數(shù)相同的二次根式才是同類二次根式，被開方數(shù)不同的二次根式就不是同類二次根式。這是對同類二次根式的概念理解不夠導致的錯誤。為了幫助學生糾正這種錯誤的認識，教師在進行同類二次根式概念的教學時，可以舉反例。向學生提出問題“ 和 是同類二次根式嗎?”。然后師生共同討論得出，由于 和 都不是最簡二次根式，應化為最簡二次根式后，再進行判斷。即 =3 ，而 =2 。顯然，由同類二次根式的概念可知， 和 是同類二次根式。這樣，通過舉反例，學生將自覺體會到，同類二次根式是指“幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同”這一本質(zhì)特點。
二、促進學生創(chuàng)新思維能力的發(fā)展，培養(yǎng)學生思維的慎密性
一般來說，構造反例不象提出證明那樣有清晰可循的邏輯途徑，而給人一種不可捉摸的感覺，但它是一項積極的創(chuàng)造性的思維活動，是一個探索發(fā)現(xiàn)的過程。
例如在探討“如果x2+kx+1是一個完全平方式，則k=____”這個常見問題時，通常我們是根據(jù)完全平方式的定義“形如a2±2ab+b2這樣的式子叫完全平方式”，從而得到k=±2這一習慣性錯誤。為了矯正這一錯誤，促進學生創(chuàng)新思維能力的發(fā)展，培養(yǎng)學生思維的慎密性。 我們可以舉出一些k≠±2并且符合條件的以下一些反例：
通過舉反例，促進了學生創(chuàng)新思維能力的發(fā)展，培養(yǎng)了學生思維的慎密性。
三、能有效地克服學生在解題中產(chǎn)生的消極思維定勢
消極的思維定勢表現(xiàn)為在定勢的防礙下學習者不易改變思維方向，而用既定的思路去解決已發(fā)生變更的問題，以致解題錯誤。要克服消極思維定勢的影響時，可舉反例打破消極定勢，引導學生從實質(zhì)上分析并解決問題。中學生看問題也常常被事物的表象所迷惑，而干擾他們對數(shù)學知識本質(zhì)的認識。此時可舉反例，排除“干擾”，揭示本質(zhì)。
如學生在學習了平行線的性質(zhì)后，由于定勢思維的作用，部分學生片面地認為，只要是同位角或內(nèi)錯角就相等;只要是同旁內(nèi)角就互補。為了矯正這種錯誤，教師可以舉反例，通過畫出相應的同位角或內(nèi)錯角不相等以及同旁內(nèi)角不互補的圖形，讓學生深刻認識到只有兩直線平行，同位角或內(nèi)錯角才相等，同旁內(nèi)角才互補。從而加深了學生對平行線的性質(zhì)的理解。
對于以上的問題，學生一開始認為是正確的，但舉出反例之后，學生馬上知道錯誤所在，同時也體會到對待每一個數(shù)學問題都要認真思考，稍有不慎便有可能出現(xiàn)漏洞。
四、提高學生分析問題和解決問題的力
如在學習一次函數(shù)知識時，學生往往抓不住其中“因變量隨自變量的變化是均勻的”這一本質(zhì)特征，常把一些不屬于一次函數(shù)的問題當作一次函數(shù)的問題來解答。有的學生看到松樹的年齡增大，它的高度也隨著增加，就毫不猶豫地把“松樹的高度和松樹的年齡”之間判定為一次函數(shù)關系。這時教師可以通過構造反例指出，當松樹的年齡增大到一定程度時，松樹的高度增加已經(jīng)不很明顯了。所以，松樹的高度和松樹的年齡之間并不是一次函數(shù)關系。而在三角形全等的“邊角邊、角邊角、角角邊、邊邊邊”定理的教學過程中，通過構造 “三個角對應相等，兩個三角形不一全等”與“兩邊和其中一邊的對角對應相等，兩個三角形不一定全等”的反例，學生不僅知道了判定兩個三角形全等的方法，更重要得是經(jīng)歷了這個過程，積累了數(shù)學活動經(jīng)驗，提高了分析問題和解決問題的能力。
總之，在數(shù)學教學實踐中，構造反例和提出證明起著同樣的作用。構造反例是我們深化理解知識、辨析錯誤、培養(yǎng)創(chuàng)造性的有力工具。它在幫助我們發(fā)現(xiàn)和認識數(shù)學真理、強化對數(shù)學基礎知識的理解和掌握以及培養(yǎng)學生的思維能力等方面的意義和作用是不可低估的。在數(shù)學教學中，恰當?shù)亻_發(fā)和使用反例，引導學生去構造反例，長期訓練學生構造反例的能力，就能為學生找到從模糊錯誤的思維中通往豁然開朗的橋梁，從而收到事半功倍的教學效果。
參考文獻
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[3] 孟凡朋.淺談初中數(shù)學教學中反例教學的重要性[J].數(shù)學學習與研究 2010年02期
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