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微積分中的反例論文
微積分中的反例論文列舉了微積分中常見的典型反例，并論述了反例在微積分教學(xué)中的作用：一方面可以強(qiáng)化概念、揭示概念的內(nèi)涵，準(zhǔn)確把握概念之間的關(guān)系，透徹理解定理的條件;另一方面有助于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，更有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)技能.
微積分中的反例論文【1】
【關(guān)鍵詞】 反例;微積分;函數(shù);微分;積分
用命題形式給出的一個(gè)數(shù)學(xué)問題，要判斷它是錯(cuò)誤的，利用只滿足命題的條件但是結(jié)論不成立的例證，就足以否定這個(gè)命題，這就是反例.通過舉出反例從而證明一個(gè)命題的虛假性的方法叫做反例法.反例思想是微積分中的重要思想，用逆向思維方法從問題反面出發(fā)，可以解決用直接方法很難或無法解決的問題.
在微積分中存在大量的反例，其意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了它的具體內(nèi)容，除了它能幫助學(xué)生深入地理解有關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象性質(zhì)之外，還促進(jìn)了學(xué)生的辯證思維方式的形成.
1.連續(xù)、可導(dǎo)、可微問題
微積分中對(duì)于無窮大與無界、極大(小)值與最大(小)值以及可導(dǎo)與連續(xù)等容易混淆的概念之間的關(guān)系，可以通過運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆蠢M(jìn)行準(zhǔn)確理解把握.同時(shí)也能培養(yǎng)與提高學(xué)生的辯證思維能力.
情形1 若函數(shù)y=f(x)在a點(diǎn)處連續(xù)，則函數(shù)y= f(x) 在a點(diǎn)處也連續(xù).但其逆命題不成立.
反例：函數(shù)f(x)= 1，x>0-1，x<0 ，
雖然 f(x) =1在x=0處連續(xù)，但f(x)在x=0處不連續(xù).
情形2 若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)y=f(x)在x點(diǎn)處連續(xù).但其逆命題不成立.
反例：函數(shù)f(x)= x = x，x≥0-x，x<0 ，
雖然函數(shù)f(x)= x 在x=0處連續(xù)，但函數(shù)f(x)= x 在x=0處不可導(dǎo).
情形3 函數(shù)y=f(x)在x=x0處可導(dǎo)，則函數(shù)f(x)在x=x0的鄰域內(nèi)不一定連續(xù).
反例：函數(shù)f(x)= x2，x為有理數(shù)0，x為無理數(shù) ，
在x=0處可導(dǎo)，但在0點(diǎn)的任何鄰域，除0點(diǎn)外都不連續(xù).
情形4 函數(shù)f(x)在x=x0處可導(dǎo)，則f(x)在x=x0處是否有連續(xù)導(dǎo)數(shù)?
反例：函數(shù)f(x)= x2sin 1 x +1， x≠0，0， x=0.
在x=0處可導(dǎo)，但導(dǎo)數(shù)不連續(xù).
事實(shí)上，f′(0)=lim x→0 f(x)-f(0) x-0 =lim x→0 x2sin 1 x x =lim x→0 xsin 1 x =0，即函數(shù)f(x)在x=0處可導(dǎo).但當(dāng)x≠0時(shí)，f′(x)=2xsin 1 x +x2cos 1 x - 1 x2 =2xsin 1 x -cos 1 x
極限lim x→0 f′(x)=lim x→0 2xsin 1 x -cos 1 x 不存在，即函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)不連續(xù).
綜上歸結(jié)，對(duì)一元函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可有：可微可導(dǎo)連續(xù)有極限.通過恰當(dāng)?shù)姆蠢梢钥旖荻鴾?zhǔn)確地把握它們之間所存在的關(guān)系.
情形5 當(dāng)f(x0)≠0時(shí)，由 f(x) 在x0可導(dǎo)不一定能推出f(x)在x0可導(dǎo).
反例 ：函數(shù)f(x)= x，x∈ 0，1 ，-x，x∈ 1，2 .
而 f(x) =x，x∈ 0，2 ，顯然 f(x) 在x0=1處可導(dǎo)，但f(x)在x0=1處不可導(dǎo).
2.無窮大量與無界量問題
情形6 無窮大量必為無界量，但無界量不一定是無窮大量.
反例：函數(shù)f(x)=3xcos2x+1，
在U +∞ 上無界，但lim x→+∞ f(x)≠∞，若取數(shù)列xn=nπ+ π 4 n=1，2，… ，則xn→+∞ n→∞ ，而lim n→∞ f xn =lim n→∞ 3 nπ+ π 4 ・cos 2nπ+ π 2 +1=1，即f(x)并不趨于∞，f(x)不是無窮大量.
3.函數(shù)的極大(小)值與最大(小)值問題
情形7 可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn).
反例：x=0是函數(shù)f(x)=x3的駐點(diǎn)，但不是其極值點(diǎn).
情形8 函數(shù)f(x)的極大(小)值不一定就是最大(小)值.
反例：函數(shù)f(x)= 4 3 x3-4x2+3x+1，x∈ -1，3 ，
由于f′(x)=4x2-8x+3=4 x-1 2-1，易見x= 1 2 或x= 3 2 為f(x)的穩(wěn)定點(diǎn)，列表如下：
微積分教學(xué)中反例的應(yīng)用【2】
摘要：本文通過具體實(shí)例，來加強(qiáng)學(xué)生在微積分學(xué)習(xí)中對(duì)概念的理解，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造精神、提高學(xué)生縱向思維的能力。
關(guān)鍵詞：應(yīng)用 反例 微積分 高等數(shù)學(xué)微積分是高等數(shù)學(xué)的主要部分，它是我院高職一年級(jí)學(xué)生必修的一門重要基礎(chǔ)課程。它可以為學(xué)生學(xué)習(xí)后繼課程和解決實(shí)際問題提供必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。通過各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，可以逐步培養(yǎng)學(xué)生比較熟練的運(yùn)算能力，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力，初步抽象概括能力、自覺力圖經(jīng)及一定的邏輯推理能力。
我院根據(jù)各專業(yè)的實(shí)際需要，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求是“以應(yīng)用為目的，以必須夠用”為原則，以“強(qiáng)化概念理解，注重應(yīng)用計(jì)算為依據(jù)，對(duì)微積分中的重要性質(zhì)、定理、公式只作介紹，側(cè)重于應(yīng)用計(jì)算，不做證明與推導(dǎo)。
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，常會(huì)遇到一些值得思考的問題，對(duì)它們不可能在教材中進(jìn)行詳細(xì)討論。
但要弄清楚這些問題，對(duì)提高學(xué)生的縱向思維卻極其重要，這就要求思考者具有高超的分析思維能力。通過應(yīng)用反例直入主題，切重要害，它能起到事半功倍的作用，很受學(xué)生歡迎。本文圍繞高等數(shù)學(xué)中的重要分支微積分中的連續(xù)性、可微性和可積性進(jìn)行具體探討反例在微積分教學(xué)中的作用。
一、兩個(gè)無窮小的商一定是無窮小嗎?
在無窮小性質(zhì)的教學(xué)中，根據(jù)性質(zhì)有一條推論：有限個(gè)無窮小量的乘積一定是無窮小量。學(xué)生在學(xué)習(xí)這一問題時(shí)常會(huì)問：兩個(gè)無窮小量的商一定是無窮小量嗎?對(duì)于這一結(jié)論大部分同學(xué)認(rèn)為是正確的。不妨舉一個(gè)反例：
如： =0， =0都是無窮小量，而 (第一個(gè)重要極限)，顯然，兩個(gè)無窮小量的商不一定是無窮小量，也就得出了兩個(gè)無窮小量的商不一定是無窮小量的結(jié)論。
二、最大值與最小值定理中條件改變一定還存在最大值與最小值嗎?
最大值與最小值定理的內(nèi)容是閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)函數(shù)一定存在最大值與最小值(據(jù)團(tuán)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì))。
1、在定理中，如果將閉區(qū)間[a，b]改為開區(qū)間(a，b)，那么結(jié)論不一定成立。
如求f(x)=x在區(qū)間(2，4)上的最大值與最小值。
顯然函數(shù)f(x)=x在開區(qū)間(2，4)上連續(xù)，且在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加，所以函數(shù)的最大值與最小值應(yīng)在區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得，而函數(shù)在兩端點(diǎn)處無定義，所以f(x)=x在開區(qū)間(2，4)上不能取得最大值與最小值。
2、在定理中，如果閉區(qū)間[a，b]內(nèi)存在間斷點(diǎn)，結(jié)論不一定成立
如f(x)=
考慮函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0，2]上的最大值與最小值
因?yàn)?/p>
即 不存在，即在閉區(qū)間[0，2]上有間斷點(diǎn)且x=1是第一類跳躍間斷點(diǎn)，所以f(x)在[0，2]上不能取得最大值與最小值。
三、函數(shù)在閉區(qū)間上有原函數(shù)一定可積嗎?
在積分學(xué)中，微積分基本公式即牛頓-萊布尼茲公式是個(gè)十分重要的公式，它將不定積分與定積分巧妙的結(jié)合起來，它揭示了定積分被積函數(shù)的原函數(shù)(不定積分)之間的聯(lián)系。給定積分的計(jì)算提供了一個(gè)很好的計(jì)算方法，簡化了定積分的計(jì)算。
上述公式是學(xué)生記憶中的公式，F(xiàn)(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在[a，b]上的一個(gè)原函數(shù)，這樣使定積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化成了求被積函數(shù)一個(gè)原函數(shù)的問題。因?qū)W生容易忽視f(x)連續(xù)的條件，認(rèn)為在應(yīng)用此公式時(shí)f(x)連續(xù)的條件是多余的。
定義函數(shù)如下：
首先證明，這個(gè)函數(shù)存在原函數(shù)，我們指出，下面這個(gè)函數(shù)就是它的原函數(shù)：
為此目的，只需證明 對(duì)任何x∈[0，1]成立，而0 現(xiàn)在來考慮 的定積分是否存在，其實(shí)容易看出它在閉區(qū)間[0，1]無界，因?yàn)槿我?，函數(shù) 在區(qū)間(0， )無界，在這個(gè)區(qū)間上， 是無窮小量和有界量的乘積，是無窮小量。
但 這一項(xiàng)卻是在正無窮與負(fù)無窮之間反復(fù)振動(dòng)的量，例如取 ，則其值為 ，但若取 ，則其值為 ，只要n充分大，便可使 ，同時(shí) 卻可以大于任何預(yù)先給定的正數(shù)。這就是說，任意 ，函數(shù) 在區(qū)間(0， )無界，從而在閉區(qū)間[0，1]無界，而我們知道閉區(qū)間上的無界函數(shù)是不可積的，所以 的定積分不存在。
綜合上面的結(jié)果，函數(shù)在閉區(qū)間上存在定積分與存在原函數(shù)沒有必然聯(lián)系。
在微積分教學(xué)中，反例的試舉已成為提高教學(xué)質(zhì)量的重要一環(huán)。它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力方面的作用是非常顯著的，它不僅是有助于學(xué)生縱向思維的培養(yǎng)，尤其對(duì)培養(yǎng)和發(fā)展橫向的思維能力具有不可缺少的作用。
“反例教學(xué)”要求學(xué)生開放式思考問題，激發(fā)他們的想象與聯(lián)想，讓他們學(xué)會(huì)從不同的角度不同的層次上多方位地洞察具體問題，鼓勵(lì)他們敢于大膽地想出新的觀點(diǎn)，新的思路，新的問題。這對(duì)于培養(yǎng)他們分析和解決問題的能力是十分有益的。
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