反例與證明數(shù)學(xué)教案

時(shí)間：2022-10-07 19:46:16 教案我要投稿

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反例與證明數(shù)學(xué)教案

　　一、教材、學(xué)情分析：

反例與證明數(shù)學(xué)教案

　　舉反例和證明同樣重要，注重反例教學(xué)以培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性、靈活性，以及注重反例構(gòu)建培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、深刻性和創(chuàng)新性在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性已越來越被人們重視和認(rèn)可。反例構(gòu)建還是誘發(fā)學(xué)生創(chuàng)造力的很好載體。教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)，不但要適當(dāng)?shù)厥褂梅蠢匾氖且朴谝龑?dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，這實(shí)際上是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一種探索情境。因此，構(gòu)建反例的過程也是學(xué)生發(fā)散思維的充分發(fā)揮和訓(xùn)練過程。

　　二、教學(xué)目標(biāo)：

　�。ㄒ唬� 知識(shí)與技能

　　通過實(shí)際問題的分析，理解反例的意義和作用。掌握在簡(jiǎn)單情況下利用反例證明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的。

　�。ǘ┙虒W(xué)思考

　　通過判定引入命題的真假培養(yǎng)學(xué)生的思維能力; 在思考爭(zhēng)論的過程中，學(xué)會(huì)合作，交流思想；通過獨(dú)立思考與小組合作，小組競(jìng)賽培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立自主精神、合作精神和競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)；

　�。ㄈ┙鉀Q問題

　　會(huì)利用一些簡(jiǎn)單的例子，對(duì)一個(gè)命題作出合理的解釋判斷與證明；提高他們處理問題和解決問題能力；

　�。ㄋ模┣楦信c態(tài)度

　　通過數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用，滲透數(shù)學(xué)來源于生活又應(yīng)用于生活的思想，體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，從而激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。

　　【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】

　　重點(diǎn)：用反例證明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的．

　　難點(diǎn)：如何構(gòu)造一個(gè)反例去證明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的．因?yàn)橐獜臈l件出發(fā)又不能使其滿足結(jié)論，要求學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解能力較高。

　　【教學(xué)過程】

　　一、談話引入，激發(fā)興趣

　　讀一讀：

　　高斯說：“給我最大快樂的，不是已懂得知識(shí)，而是不斷地學(xué)習(xí)；不是已有的東西，而是不斷地獲��；不是已達(dá)到的高度，而是繼續(xù)不斷地攀登”。

　　師：高斯是偉大的數(shù)學(xué)家，他告訴我們要不斷學(xué)習(xí)，學(xué)無止境，讓我們繼續(xù)不斷地向上攀登吧！

　�。ㄔO(shè)計(jì)意圖：師生交流，聯(lián)絡(luò)感情，通過一起學(xué)習(xí)名人名言可縮小師生之間的距離，使學(xué)生體會(huì)到師生之間是平等的，另一方面通過學(xué)習(xí)名言可對(duì)學(xué)生進(jìn)行思想教育，希望他們能繼續(xù)努力，永攀高峰。）

　　二、師生交流，引入新課

　　高斯是偉大的數(shù)學(xué)家嗎？這句話是命題嗎？

　　（通過它來復(fù)習(xí)命題的概念，請(qǐng)學(xué)生將這句話改成一個(gè) 命題）

　　高斯是偉大的數(shù)學(xué)家。再問這個(gè) 命題正確嗎？（學(xué)生答）

　　我們?cè)賮?判斷下列命題的真假[

　�。�1）會(huì)飛的動(dòng)物都是鳥。

　�。▽W(xué)生會(huì)說是假命題。）

　　師問：為何是假命題？學(xué)生舉出蝴蝶、蒼蠅、蜻蜓等會(huì)飛，但不是鳥。

　�。ㄔO(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生能夠分辨一個(gè)命題的真假，能夠舉出適當(dāng)?shù)姆蠢�。使學(xué)生初步有通過舉反例可以說明一個(gè)命題是假命題的思想，以便在解決下面三題時(shí)能想出舉出反例。）

　�。�2）素?cái)?shù)是奇數(shù) （學(xué)生答：假命題，舉例2）

　�。�3）黃皮膚、黑頭發(fā)的人是中國(guó)人（學(xué)生答：假命題，舉例韓國(guó)人，日本人等）

　　（4）在不同頂點(diǎn)上有兩個(gè)外角是鈍角的三角形是銳角三角形（學(xué)生答：假命題，等腰直角三角形等）

　　師：我們對(duì)真命題的證明，掌握了一定的方法和技能，那么如何來說明一個(gè)命題是假命題呢？如上述四個(gè)命題你是如何來說明它是假命題的？（學(xué)生能夠答：舉個(gè)例子說明）

　　今天我們將一起來探討如何說明一個(gè)命題是假命題。從而引出課題反例與證明

　　三、師生互動(dòng)，學(xué)習(xí)新知

　　1、小組合作，共同進(jìn)步

　　師生總結(jié)：從引例知道判斷一個(gè)命題是假命題只要舉出一個(gè)例子即可。

　　學(xué)生討論：怎么樣例子才能判斷一個(gè)命題是假命題？

　　學(xué)生分小組討論，教師巡回指導(dǎo)，每小組代表發(fā)言

　　師生總結(jié)：具備命題條件但不具備命題結(jié)論的例子，這樣的例子稱為反例。

　　師：如可以舉2是素?cái)?shù)，但不是奇數(shù)，從而證明“素?cái)?shù)是奇數(shù)”是假命題.

　　韓國(guó)人，日本人也是黃皮膚、黑頭發(fā)的人從而證明“黃皮膚、黑頭發(fā)的人是中國(guó)人”是假命題。這些例子都符合命題的條件但不具備命題的結(jié)論。

　�。ㄔO(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生充分討論我們所需要的反例有什么要求，因?yàn)榕e反例有時(shí)比較困難。通過學(xué)生激烈的爭(zhēng)論可以給學(xué)生一個(gè)舉反例的指導(dǎo)方向，學(xué)生在爭(zhēng)論中更易接受正確的知識(shí)，使學(xué)生能在判定具體命題真假時(shí)舉出適當(dāng)反例。）[

　　2、比一比，賽一賽（小組競(jìng)賽）

　　判斷下列命題是真命題還是假命題，是真命題請(qǐng)證明，是假命題請(qǐng)舉反例.

　　（1）三角形的外角和等于360

　�。�2）三線兩兩相交,必有三個(gè)交點(diǎn)

　　（3）若ab＜0，則a＞0,b＜0

　�。�4）任何三條線段都能組成一個(gè)三角形

　　（5）若 x+y=0，則

　�。ㄔO(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生競(jìng)賽，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。趁熱打鐵，及時(shí)鞏固，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力，讓學(xué)生能夠分辨一個(gè)命題的真假，對(duì)真命題能夠證明，對(duì)假命題能夠舉出適當(dāng)?shù)姆蠢?/p>

　　3、設(shè)置一個(gè)互動(dòng)游戲：讓一個(gè)學(xué)生出一個(gè)命題，另一學(xué)生判斷真假。

　　（設(shè)計(jì)意圖此處設(shè)置互動(dòng)游戲，一方面是為了更好地以另一種方式促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)參與，另一方面也是為了調(diào)節(jié)課堂的氣氛，因?yàn)檫@段時(shí)間學(xué)生在下午的學(xué)習(xí)總是感覺疲勞，興趣不是很高，這樣就可以更好地促進(jìn)學(xué)生，調(diào)節(jié)氣氛。）

　　師：我們已經(jīng)能舉出反例說明一個(gè)命題是假命題，如何在解題過程中將反例用數(shù)學(xué)語言規(guī)范的表述，請(qǐng)同學(xué)們嘗試解決以下兩題。

　　例題：判斷下列命題的真假，并給出證明(第一題較簡(jiǎn)單學(xué)生易舉出反例，第二題學(xué)生需要構(gòu)造出圖形較為困難，老師巡視時(shí)給予適當(dāng)引導(dǎo)。)

　�。�1）若2 x + y = 0，則x = y = 0

　�。�2）有一條邊、兩個(gè)角相等的兩個(gè)三角形全等

　　學(xué)生先自主解決，然后小組內(nèi)交流糾錯(cuò)。老師巡視發(fā)現(xiàn)學(xué)生的表述不規(guī)范之處，予以糾正。挑出學(xué)生解題中普遍存在問題，用投影儀集體糾錯(cuò)，規(guī)范解題步驟。

　�。ㄔO(shè)計(jì)意圖：學(xué)生先嘗試數(shù)學(xué)問題中反例的表述，使學(xué)生感覺到學(xué)習(xí)并不是一件很容易或很困難的事情。然后通過合作學(xué)習(xí)，為每位學(xué)生提供交流的空間，讓他們能積極參與，勇于發(fā)表自己的觀點(diǎn)，幫助其他同學(xué)修正錯(cuò)誤，給學(xué)生以成就感。）

　　幻燈片給出具體解題過程

　　解（1）是假命題。

　　取x = -1 , y = 2 ，

　　則2 x + y = 2 （-1）+ 2 = 0

　　但x0且y0。

　　即x = -1，y = 2 具備2 x + y = 0 的條件，

　　但不具備命題的結(jié)論，

　　所以此命題為假命題

　�。�2）假命題。

　　如圖：△ABC和△ABC中，

　　A=75

　　C=45

　　AB=AB=2.5cm

　　但很明顯△ABC和△ABC不全等，

　　所以此命題為假命題

　　例題小結(jié)：如果要證明或判斷一個(gè)命題是假命題，那么我們只要舉出一個(gè)符合題設(shè)而不符合結(jié)論的例子就可以了。涉及數(shù)的問題舉出一些特殊值，一些幾何問題可以構(gòu)造出適當(dāng)幾何圖形，構(gòu)造的圖形也是解題的步驟，需要輔助幾何表述，才能成為解題過程。

　　四、應(yīng)用新知，體驗(yàn)成功

　�。ㄔO(shè)計(jì)意圖：學(xué)生能夠分辨一個(gè)命題的真假，對(duì)真命題能夠證明，對(duì)假命題能夠舉出適當(dāng)?shù)姆蠢４鷶?shù)問題稍好解決，幾何問題構(gòu)造圖形是學(xué)習(xí)中較為難解決的問題，予以適當(dāng)強(qiáng)化。）

　　判斷命題“兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”的真假，并給出證明。（學(xué)生小組討論，構(gòu)造反例。）

　　老師分析引導(dǎo)：這是一個(gè)假命題，要證明它是一個(gè)假命題，關(guān)鍵是看如何構(gòu)造反例。

　　（老師巡視挑出解答較好的兩個(gè)反例投影展示，請(qǐng)學(xué)生介紹解題思路。老師點(diǎn)評(píng)并做補(bǔ)充。）

　　本題可以從以下兩方面考慮，如圖444（1）三角形ABC中，AB=AC，在底邊BC延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D，連DA，這樣在△ADB和△ADC中，AD=AD，D，AB=AC，顯然觀察圖形可知△ADB與△ADC不全等，或者，在BC上任取一點(diǎn)E（E不是中點(diǎn)），如圖4-4-4（2），則在△ABE和△ACE中，AB=AC，C，AE=AE，顯然它們不全等。

　　解這是一個(gè)假命題，證明如下：

　　如圖444（1），在 △ABC中，AB=AC，延長(zhǎng)CB到D，連結(jié)AD。

　　則AB=AC，（已知）

　　AD=AD，（公共邊）

　　D=D，（公共角）

　　但△ADB與△ADC不全等。

　　評(píng)注能舉反例說明一個(gè)命題是假命題，反例不在于多，只要能找到一個(gè)說明即可。

　　五、課堂小結(jié)，形成系統(tǒng)

　　暢所欲言：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)勀愕氖斋@與體會(huì)。

　�。ㄔO(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自己總結(jié)本堂課的得失，一方面培養(yǎng)學(xué)生善于總結(jié)反思的良好習(xí)慣；另一方面可以提高學(xué)生的語言表達(dá)能力，為自己和其他同學(xué)梳理了知識(shí)體系，使其系統(tǒng)化，起到畫龍點(diǎn)睛的作用。）

　　老師給出本節(jié)知識(shí)點(diǎn)：1、判斷一個(gè)命題是假命題只要舉出一個(gè)反例即可。

　　2、反例是具備命題條件但不具備命題結(jié)論的例子。

　　3、涉及數(shù)的問題舉出一些特殊值，一些幾何問題可以構(gòu)造出適當(dāng)幾何圖形，構(gòu)造的圖形也是解題的步驟，需要輔助幾何表述，才能成為解題過程。

　　六、布置作業(yè)，深化提高

　　1、作業(yè)本作業(yè)。見《作業(yè)本》（分不同層次布置不同要求的作業(yè)，必做題，選做題）

　　2、探索與思考：

　　判斷命題 “一角和夾這角的一邊對(duì)應(yīng)相等，且這邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等” 是真命題，還是假命題？請(qǐng)給出證明。

　�。ㄔO(shè)計(jì)意圖：根據(jù)學(xué)生的不同層次布置不同的作業(yè)，真正體現(xiàn)因材施教原則。）

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