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數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)改革與實(shí)踐論文
數(shù)學(xué)分析是近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中應(yīng)用最廣泛的一門(mén)學(xué)科，是師范院校數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)主干基礎(chǔ)課。極限概念是數(shù)學(xué)分析中最重要的概念之一，數(shù)學(xué)分析中幾乎所有重要的概念，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、重積分、曲線積分、曲面積分以及級(jí)數(shù)的收斂性等定義都建立在極限的基礎(chǔ)上。極限理論是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)理論，極限思想貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)分析學(xué)科。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析時(shí)要掌握的第一個(gè)重要概念就是極限概念。然而，極限概念敘述冗長(zhǎng)，概念中的符號(hào)關(guān)系復(fù)雜，不易理解。初人數(shù)學(xué)分析門(mén)扉的讀者，都感覺(jué)極限概念不好捉摸，極限的精確定義不易理解。本文就極限思想的形成與發(fā)展、學(xué)生在學(xué)習(xí)極限概念時(shí)感到困惑的原因以及在教學(xué)中如何把握和理解極限概念等方面給予闡述。
1極限思想
初等數(shù)學(xué)主要研究事物相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)的數(shù)量關(guān)系，而數(shù)學(xué)分析則主要研究事物運(yùn)動(dòng)、變化過(guò)程的數(shù)量關(guān)系。從初等數(shù)學(xué)發(fā)展到數(shù)學(xué)分析，研究對(duì)象發(fā)生了根本變化，這就必然引起研究方法的革新。極限就是為了適應(yīng)研究事物運(yùn)動(dòng)、變化過(guò)程的數(shù)量關(guān)系而產(chǎn)生的一種新的數(shù)學(xué)方法。
從極限產(chǎn)生的歷史背景來(lái)看，極限概念產(chǎn)生于解決微積分學(xué)的基本問(wèn)題：求面積、體積、弧長(zhǎng)、瞬時(shí)速度以及曲線在一點(diǎn)的切線問(wèn)題。然而，極限思想，人們?cè)诤茉绲臅r(shí)候就已經(jīng)有了。極限思想起源于窮竭法，窮竭法通常以古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯（Eudoxus公元前400-公元前350)命名，他認(rèn)為量是無(wú)限可分的，建立了下列原理：“如果從任一量中減去不小于它的一半的部分，從余量中再減去不小于它的一半的另一部分，如此繼續(xù)下去，則最后留下一個(gè)小于任何給定的同類(lèi)量的量”。古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德（公元前284-公元前212)推廣了窮竭法，他在《論球和柱體》一書(shū)中，第一次給出了球和球冠的表面積，球和球缺的體積的正確公式。他指出，如果圓柱的底等于球的大圓，圓柱的高等于球的直徑，則球的表面積恰好等于圓柱的總面積的2/3，圓柱的體積恰好等于球的體積的3/2。這些結(jié)果是通過(guò)一系列命題一步一步推導(dǎo)出來(lái)的，這個(gè)過(guò)程蘊(yùn)涵著積分思想。阿基米德把一個(gè)量看成由大量的微元所組成，這與現(xiàn)代的積分法實(shí)質(zhì)上是相同的。但由于當(dāng)時(shí)沒(méi)有實(shí)數(shù)理論，沒(méi)有無(wú)限的概念，因而沒(méi)有形成極限的概念。
極限思想在我國(guó)古代的文獻(xiàn)中也有記載，戰(zhàn)國(guó)時(shí)代哲學(xué)家莊周所著的《莊子?天下篇》引用過(guò)一句話：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，也就是說(shuō)一根長(zhǎng)為一尺的木棒，每天截去一半，這樣的過(guò)程可以無(wú)限地進(jìn)行下去。公元263年，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在求圓的周長(zhǎng)時(shí)使用的“割圓求周”的方法，就使用了極限方法。劉徽借助圓的內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)來(lái)求圓的周長(zhǎng)。其作法是：依次作圓的內(nèi)接正六邊形、圓的內(nèi)接正十二邊形、圓的內(nèi)接正二十四邊形……，每個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形周長(zhǎng)都可求得。圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)越多，其周長(zhǎng)就與圓的周長(zhǎng)越接近，正如劉徽所說(shuō)“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣�！边@個(gè)方法蘊(yùn)涵了極限思想。
十七世紀(jì)中葉，已形成了初等數(shù)學(xué)。由于生產(chǎn)力的發(fā)展，也推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。在十七世紀(jì)，物理學(xué)、天文學(xué)、航海學(xué)向數(shù)學(xué)界提出了許多新的問(wèn)題，如：天體的運(yùn)行軌道問(wèn)題、變速運(yùn)動(dòng)物體瞬時(shí)速度問(wèn)題、不規(guī)則幾何形體面積計(jì)算問(wèn)題。這些問(wèn)題用初等數(shù)學(xué)都不能獲得解決，要求用新的數(shù)學(xué)工具來(lái)解決，從而，人們開(kāi)始研究運(yùn)動(dòng)著的物體和變化著的量，開(kāi)始研究變量和函數(shù)。研究函數(shù)需用新的方法，因此，人們開(kāi)始研究極限運(yùn)算。十七世紀(jì)下半葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲分別總結(jié)了前人的工作，創(chuàng)立了一個(gè)新的學(xué)科-一數(shù)學(xué)分析。這個(gè)學(xué)科的特點(diǎn)是，需要運(yùn)用無(wú)限過(guò)程運(yùn)算，即極限運(yùn)算。數(shù)學(xué)分析的核心內(nèi)容是微分學(xué)和積分學(xué)，而微分和積分的概念是通過(guò)極限來(lái)定義的。但當(dāng)時(shí)極限概念是含糊不清的，許多理論常常不能自圓其說(shuō)，也引出一些相互矛盾的東西。例如牛頓在1704年發(fā)表了《曲線的求積》一文，其中他確定了x3的導(dǎo)數(shù)。牛頓當(dāng)時(shí)作法如下：
在這里Ax既可作分母，又可忽略，無(wú)窮小量既不是零卻又等于零，“召之即來(lái)，呼之即去”，完全隨心所欲。由于極限概念含糊不清，數(shù)學(xué)分析沒(méi)有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，因此悖論不斷產(chǎn)生。數(shù)學(xué)家在研究級(jí)數(shù)時(shí)做出了許多錯(cuò)誤的證明，并由此得到許多錯(cuò)誤的結(jié)論。
進(jìn)人19世紀(jì)，數(shù)學(xué)陷人了巨大的矛盾之中，一方面，數(shù)學(xué)在描述和預(yù)測(cè)物理現(xiàn)象方面取得巨大成就，另一方面，由于大量的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)沒(méi)有邏輯基礎(chǔ)，因此不能保證數(shù)學(xué)是正確無(wú)誤的。歷史要求給微積分以嚴(yán)格的基礎(chǔ)。在德國(guó)數(shù)學(xué)家的倡導(dǎo)下，數(shù)學(xué)界對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行了一場(chǎng)批判性的檢查運(yùn)動(dòng)，對(duì)一些理論進(jìn)行了嚴(yán)密的定義和嚴(yán)格的證明�？挛髟�1821-1823年間出版了《分析教程》、《無(wú)窮小計(jì)算講義》兩書(shū)，在書(shū)中，柯西給出了極限的精確定義，然后用極限定義連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分和無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性，這些定義為數(shù)學(xué)分析奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
2極限概念教學(xué)
2.1極限概念是數(shù)學(xué)分析中最重要并且是最難掌握的一個(gè)概念，初學(xué)極限的人，都感覺(jué)極限概念難以掌握，極限概念的精確定義難以理解，弄不清為什么要這樣定義，表現(xiàn)出多方面的困惑：
2.11學(xué)生從小學(xué)到高中學(xué)習(xí)的都是常量數(shù)學(xué)，被研究的量都是固定不變的，且都是有限的。學(xué)生沒(méi)有遇到過(guò)無(wú)限的數(shù)學(xué)模型，習(xí)慣用一種靜態(tài)不變的觀點(diǎn)來(lái)分析問(wèn)題。而極限是-個(gè)無(wú)限過(guò)程，需用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)來(lái)考察問(wèn)題。初學(xué)極限者，最難解決的是從有限到無(wú)限的轉(zhuǎn)變。學(xué)生在敘述極限概念時(shí)常會(huì)出現(xiàn)如下錯(cuò)誤：“l(fā)ima?=a<^vs>0,有l(wèi)a?-al<e”、“l(fā)imf(x)=b<=>Ve>0,有l(wèi)f(x)-bl<e”。
2.12在數(shù)列極限定義中，e是用來(lái)衡量^和^接近程度的，e愈小，表示接近得愈好，它除限于正數(shù)外，不受任何限制，這正說(shuō)明《?和《能夠接近到任何程度。然而，盡管e有它的任意性，但當(dāng)一經(jīng)給出，就應(yīng)暫時(shí)看作固定不變的，即e又有給定性，給定以后，以便根據(jù)它來(lái)確定N。另外，在應(yīng)用中常用ke(k>0)、e2、A…代替e或把e限制在0<e<ro(r0是一大于零的實(shí)數(shù)）。學(xué)生常對(duì)E在定義中所充當(dāng)?shù)慕巧械阶矫煌�，e的雙重性給學(xué)生帶來(lái)困惑。如學(xué)生在極限證明中，常會(huì)選取e=ei+e2就是對(duì)e的任意性不太理解所致。
對(duì)于教學(xué)上的重點(diǎn)與難點(diǎn)，學(xué)生不易理解，常會(huì)出現(xiàn)記憶不牢，理解不透的現(xiàn)象，教師在教學(xué)中可采用講、論、練相結(jié)合的教學(xué)形式，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際，注意改進(jìn)教學(xué)方法，突被極限概念這一教學(xué)難點(diǎn)是不困難的。
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