求數列通項的方法總結

　　求數列的通項公式是數列中一類常見的題型，這類題型如果單純的看某一個具體的題目，它的求解方法靈活是靈活多變的，分享了求數列通項的方法，一起來看看吧！

　　一、累加法：利用an=a1+（a2-a1）+…（an-an-1）求通項公式的方法稱為累加法。累加法是求型如an+1=an+f（n）的遞推數列通項公式的基本方法（f（n）可求前n項和）.

　　例1.已知數列an滿足an+1=an+2n+1，a1=1，求數列an的通項公式。

　　解：由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1則

　　an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+ （a2-a1）+a1

　　=[2（n-1）+1]+[2（n-2）+1]+…+（2×2+1）+（2×1+1）+1

　　=2[（n-1）+（n-2）+…+2+1]+（n-1）+1

　　=2+（n-1）+1

　　=（n-1）（n+1）+1

　　=n2

　　所以數列an的通項公式為an=n2。

　　例2：在數列{an}中，已知an+1= ，求該數列的通項公式.

　　備注：取倒數之后變成逐差法。

　　解：兩邊取倒數遞推式化為：=+，即-=所以-=，-=，-=…-=.…，

　　將以上n-1個式子相加，得：-=++…+即=+++…+==1-故an==

　　二、累乘法：利用恒等式an=a1…（an≠0，n？叟n）求通項公式的方法稱為累乘法，累乘法是求型如：an+1=g（n）an的遞推數列通項公式的基本方法（數列g（n）可求前n項積）.

　　例3.已知數列{an}中a1=，an=an-1（n？叟2）求數列{an}的通項公式。

　　解：當n？叟2時，=，=，=，…=將這n-1個式子累乘，得到=，從而an=×=，當n=1時，==a1，所以an= 。

　　注：在運用累乘法時，還是要特別注意項數，計算時項數容易出錯.

　　三、公式法：利用熟知的的公式求通項公式的方法稱為公式法，常用的公式有an=Sn-Sn-1（n？叟2），等差數列或等比數列的通項公式。

　　例4.已知Sn為數列an的前n項和，且Sn=2n+1，求數列an的通項公式.

　　解：當n=1時，a1=S1=2+1=3，當n？叟2時，an=Sn-Sn-1=（2n+1）-（2n-1+1）=2n-1.

　　而n=1時，21-1=1≠a1，∴an3（n=1）2n-1（n？叟2）。

　　四、構造新數列（待定系數法）： ①將遞推公式an+1=qan+d（q，d為常數，q≠0，d≠0）通過（an+1+x）=q（an+x）與原遞推公式恒等變成an+1+=q（an+）的方法叫構造新數列.

　　例5.在數列an中，a1=1，當n？叟2時，有an=3an-1+2，求an的通項公式。

　　解：設an+m=3（an-1+m），即有an=3an-1+2m，對比an=3an-1+2，得m=1，于是得an+1=3（an-1+1），數列an+1是以a1+1=2為首項，以3為公比的等比數列，所以有an=23n-1-1。

　　類似題型練習：已知數列an滿足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）求數列an的通項公式.

　　注：此種類型an+1=pan+g（n）（p為常數，且p≠0，p≠1）與上式的區(qū)別，其解法如下：將等式兩邊同除以pn+1，則=+，令bn=，則bn+1=bn=，這樣此種數列求通項的問題可以轉化為逐差法的問題，當然這種數列的通項公式也常用待定系數法解決，關鍵要根據g（n）選擇適當的形式。

　　如：an的首項a1=1，且an+1=4an+2n，求an

　　五、數學歸納法（用不完全歸納法猜想，用數學歸納法證明）

　　例6.設數列an滿足：a1=1，an+1an-2n2（an+1-an）+1=0求數列an的通項公式.

　　解：由an+1an-2n2（an+1-an）+1=0得an+1=，可算得a2=3，a3=5，a4=7，猜想an=2n-1，并用數學歸納法予以證明（以下略）

　　六、待定系數法

　　例7.已知數列an滿足an+1=2an+3×5n，a1=6，求數列an的通項公式。

　　解：設an+1+x×5n+1=2（an+x×5n） ④

　　將an+1=2an+3×5n代入④式，得2an+3×5n+x×5n+1=2an+2x×5n，等式兩邊消去2an，得35n+x5n+1=2x5n，兩邊除以5n，得3+5x=2x，則x=-1，代入④式得an+1-5n+1=2（an-5n） ⑤

　　由a1-51=6-5=1≠0及⑤式得an-5n≠0，則=2，則數列{an-5n}是以a1-51=1為首項，以2為公比的等比數列，則an-5n=2n-1，故an=2n-1+5n。

　　評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式an+1=2an+3×5n轉化為an-1-5n+1=2（an-5n），從而可知數列{an-5n}是等比數列，進而求出數列{an-5n}的通項公式，最后再求出數列{an}的通項公式。

　　七、特征根法

　　形如遞推公式為an+2=pan+1+qan（其中p，q均為常數）。對于由遞推公式an+2=pan+1+qan，a1=α，a2=β，給出的數列an，方程x2-px-q=0，叫做數列an的特征方程。

　　若x1，x2是特征方程的兩個根， 當x1≠x2時，數列an的通項為an=Axn-11+Bxn-12，其中A，B由a1=α，a2=β決定（即把a1，a2，x1，x2和n=1，2，代入an=Axn-11+Bxn-12，得到關于A、B的方程組）；

　　當x1=x2時，數列an的通項為an=（A+Bn）xn-11，其中A，B由1=α，a2=β決定（即把a1，a2，x1，x2和n=1，2，代入an=（A+Bn）xn-11，得到關于A、B的方程組）。

　　例8.數列an：3an+2-5an+1+2an=0（n？叟0，n∈N），a1=a，a2=b求an

　　解：特征方程是3x2-5x+2=0，∵x1=1，x2= ，∴an=Axn-11+Bxn-12=A+B（）n-1。

　　又由a1=a，a2=b，于是a=A+Bb=A+B？圯A=3b-2aB=3（a-b）

　　故an=3b-2a+3（a-b）（）n-1

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