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數(shù)學(xué)例題的教育功能的拓展論文
眾所周知，例題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié).可是在日常教學(xué)中，部分教師的例題教學(xué)具有太多的隨意性，影響例題教學(xué)功能的正常發(fā)揮.帶著這個(gè)問(wèn)題，筆者不拘泥于校內(nèi)，廣泛學(xué)習(xí)，開(kāi)展教學(xué)研究，有所領(lǐng)悟.下面以一節(jié)高三復(fù)習(xí)課為例，探討例題教學(xué)的功能問(wèn)題.
一、聽(tīng)課筆錄
1.流淌一題多解，打開(kāi)解題思路
教師:零點(diǎn)問(wèn)題是函數(shù)的重點(diǎn)問(wèn)題，也是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，請(qǐng)大家一起來(lái)探討題目:“已知函數(shù)f(x)=2a+2x-3-a在區(qū)間[-1，1]上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍”的解法.
學(xué)生1:當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上沒(méi)有零點(diǎn)，不合題意，故a≠0.
當(dāng)a≠0時(shí)，二次函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1，1]上有一個(gè)零點(diǎn)或兩個(gè)零點(diǎn)，故f(1)f(-1)≤0或
教師:好!一人一種方法，兩位同學(xué)就給出了兩種解法，打開(kāi)了解題思路.學(xué)生1根據(jù)二次函數(shù)的圖象，將零點(diǎn)分布問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式組的問(wèn)題，自然流暢.學(xué)生2巧妙地將零點(diǎn)分布問(wèn)題轉(zhuǎn)化為考察兩條曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為解不等式組的問(wèn)題，一氣呵成.兩位同學(xué)勇于探索，殊途同歸，都是利用數(shù)形結(jié)合的思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式組的問(wèn)題，值得大家學(xué)習(xí).但是答案不同，問(wèn)題出現(xiàn)在哪里?你還有不同的解法嗎?
2.審視思維過(guò)程，利用錯(cuò)解資源
學(xué)生3:學(xué)生1的思路容易想到，不但利用了數(shù)形結(jié)合思想，還用到了分類(lèi)討論的思想.但是解不等式組時(shí)出現(xiàn)了計(jì)算方面的錯(cuò)誤，結(jié)果是“1≤a≤5或或a≥5”，即學(xué)生2的答案是對(duì)的.
學(xué)生4:學(xué)生2得到的不等式組有些突然，兩個(gè)同學(xué)的答案不同，使我懷疑學(xué)生2的結(jié)果，順著他的思路想下去，通過(guò)畫(huà)圖，感到思路其實(shí)也很簡(jiǎn)單、自然.當(dāng)a>0時(shí)，拋物線的開(kāi)口向上，頂點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，拋物線與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在區(qū)間[-1，1]上;當(dāng)a<0時(shí)，拋物線的開(kāi)口向下，頂點(diǎn)在y軸的正半軸上，要以直線的縱截距為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)展開(kāi)討論.當(dāng)a≤-3時(shí)，與a>0時(shí)的做法類(lèi)似;當(dāng)-3<0時(shí)，拋物線與直線從相交到相切，故得出-3><.>
學(xué)生5:之所以感到這種問(wèn)題的挑戰(zhàn)性，錯(cuò)誤常發(fā)生在所列出的不等式(組)，但是，有時(shí)也發(fā)生在解不等式組.因此，解題時(shí)既要重視解題思路的探求，也要重視運(yùn)算、變形等操作層次的基本功訓(xùn)練.當(dāng)答案不同時(shí)，可以運(yùn)用“一題多解”進(jìn)行驗(yàn)證，把思路打開(kāi).
教師:有見(jiàn)解!學(xué)生3和學(xué)生4不但審視了兩位同學(xué)的思維過(guò)程，而且從宏觀著眼，提出了解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想，從微觀入手，提出了問(wèn)題解決過(guò)程中的細(xì)節(jié)問(wèn)題.學(xué)生5從學(xué)生1的錯(cuò)解和自己的解題經(jīng)歷出發(fā)，談解題心得體會(huì).請(qǐng)大家重新審視學(xué)生1和學(xué)生2的解題思路，思考得到的不等式組的合理性，驗(yàn)算結(jié)果，看看從中還能得到什么啟發(fā)?
3.多向提出問(wèn)題，溝通因果關(guān)系
教師:好，有點(diǎn)探索的味道.不過(guò)，這個(gè)問(wèn)題與所討論的題目有什么關(guān)系呢?
教師:好哇!學(xué)生7建立了與已有問(wèn)題的聯(lián)系，利用學(xué)生1的方法求解，體現(xiàn)了一法多用.學(xué)生8更是另辟蹊徑，將零點(diǎn)分布問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題，讓人耳目一新.但是，兩人的結(jié)果又不一樣，怎樣評(píng)價(jià)?
教師:學(xué)生9具有實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，驗(yàn)算能夠“吸取精華，去掉糟粕”，誰(shuí)又能夠解答學(xué)生9的困惑?
學(xué)生10:問(wèn)題發(fā)生在轉(zhuǎn)化的等價(jià)性方面，即不是充要條件.因此，對(duì)于區(qū)間端點(diǎn)，還是要進(jìn)行檢驗(yàn).
4.聚焦解題智慧，升華數(shù)學(xué)思想
教師:不錯(cuò)，學(xué)生10既找出了錯(cuò)因，也提出了解決問(wèn)題的辦法.只有幾分鐘就要下課了，大家發(fā)掘一下，可能得到更多啟迪，受到更多啟發(fā).
學(xué)生11:解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題有三種途徑，一是直接根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在條件得到不等式(組);二是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，按照交點(diǎn)位置建立不等式(組);三是分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域.
學(xué)生12:溝通了函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，函數(shù)在給定區(qū)間不單調(diào)，其本質(zhì)是它的導(dǎo)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間有零點(diǎn)，且沒(méi)有相同的零點(diǎn)，2009年高考數(shù)學(xué)浙江卷文科第21題第(Ⅱ)問(wèn)、理科第22題第(Ⅰ)問(wèn)(其實(shí)就是學(xué)生6給出的題目)都是這樣的問(wèn)題.
學(xué)生13:我用學(xué)生8的方法求解第一個(gè)題目，能夠得到正確的答案，但是在分離參數(shù)時(shí)遇到要考慮系數(shù)不為零的問(wèn)題.
學(xué)生14:學(xué)生11概括的三種方法，都是在化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想指導(dǎo)下，得到不等式(組)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)解題中的指導(dǎo)作用.
學(xué)生15:說(shuō)實(shí)在的，這些問(wèn)題我感覺(jué)較難，難就難在如何正確得到不等式組.通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我找到了破解“含參函數(shù)零點(diǎn)(不單調(diào))問(wèn)題”的思想方法.
學(xué)生16:當(dāng)我們遇到不太容易的問(wèn)題時(shí)，我們要聯(lián)想與之相關(guān)的問(wèn)題，用熟悉問(wèn)題的處理方式、已有的方法去解決問(wèn)題;當(dāng)不太容易的問(wèn)題得到解決后，我們還要聯(lián)系與之相關(guān)的問(wèn)題，比較分析，組題研究，以尋求一類(lèi)問(wèn)題的解決方法和解題規(guī)律.
教師:真是太好了!學(xué)生12溝通了函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，多題歸一，有化歸意識(shí);學(xué)生15給這節(jié)課的問(wèn)題“命名”，給出了問(wèn)題的識(shí)別標(biāo)志;學(xué)生11總結(jié)得到這類(lèi)問(wèn)題的三種解法，為大家提供了解決問(wèn)題的方法;學(xué)生14結(jié)合探索過(guò)程，概括了解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想;經(jīng)過(guò)學(xué)生16的升華，升格為我們處理不太容易問(wèn)題的思想策略;請(qǐng)大家關(guān)注學(xué)生13的問(wèn)題，作為研究性學(xué)習(xí)課題，對(duì)這節(jié)課的問(wèn)題進(jìn)行深入研究，我想大家還會(huì)有意想不到的收獲.
二、教研思考
1.生“動(dòng)”:發(fā)揮例題教學(xué)的基本功能
文[1]認(rèn)為，“生動(dòng)”課堂的內(nèi)涵還應(yīng)涵蓋學(xué)生的表現(xiàn)，要看學(xué)生是否積極參與了課堂，即“生動(dòng)”課堂要求生“動(dòng)”，這里的“動(dòng)”不僅要有“學(xué)生的說(shuō)、學(xué)生的做”這些顯性的動(dòng)，更要有“學(xué)生的思、學(xué)生的想”這些隱性的動(dòng).
應(yīng)該說(shuō)，案例中教師給出的例題對(duì)學(xué)生具有智力挑戰(zhàn)性.但是，作為高三第一輪復(fù)習(xí)的一節(jié)綜合應(yīng)用課，具有思維訓(xùn)練的價(jià)值.本節(jié)課中，“學(xué)生的說(shuō)、學(xué)生的做”這些顯性的動(dòng)比較多，有15位學(xué)生上黑板進(jìn)行板書(shū)或發(fā)表意見(jiàn)，教師給出例題后，學(xué)生進(jìn)行了8分鐘的自主探索，就是學(xué)生5談解題心得體會(huì)后，教師還要求學(xué)生“重新審視學(xué)生1和學(xué)生2的解題思路”，進(jìn)行驗(yàn)算.生“動(dòng)”，增加了學(xué)生的體驗(yàn)、說(shuō)的底氣;生“動(dòng)”，提供了思的素材、思的線索;生“動(dòng)”，帶動(dòng)了學(xué)生的思、學(xué)生的想”，發(fā)揮了例題教學(xué)導(dǎo)思、導(dǎo)行等方面的基本功能.
其實(shí)，例題教學(xué)的功能是多方面的.例題教學(xué)是使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基本知識(shí)，形成數(shù)學(xué)基本技能，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)能力，改變學(xué)習(xí)方式的重要環(huán)節(jié).按照一定的教學(xué)意圖設(shè)置一定的例題，是發(fā)揮例題教學(xué)基本功能的基礎(chǔ).正例可以同化知識(shí)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念;反例可以順應(yīng)知識(shí)，重組認(rèn)知結(jié)構(gòu);匹配好的例題、練習(xí)題的解題教學(xué)，可以訓(xùn)練思維，引領(lǐng)研究性學(xué)習(xí).
當(dāng)然，一個(gè)例題不可能承載眾多的教育功能，就是有較多的教學(xué)功能也不可能在一節(jié)課中發(fā)揮得淋漓盡致，畢竟一節(jié)課的教學(xué)時(shí)間是有限的.要按照教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)例題教學(xué)，以發(fā)揮例題教學(xué)的基本功能、保障教學(xué)意圖的落實(shí).對(duì)于學(xué)生確有困難的題目，可以引導(dǎo)學(xué)生先審題，探求出解題思路后，再讓學(xué)生動(dòng)手去做、去落實(shí).對(duì)于一般的例題，可以讓學(xué)生先做、先嘗試，積累一定的經(jīng)驗(yàn)后再組織學(xué)生去研討.
2.“互動(dòng)”:突出例題教學(xué)的主要功能
文[2]認(rèn)為，“在培養(yǎng)思維能力的成效上，對(duì)一個(gè)問(wèn)題從不同層次和維度上開(kāi)掘100次，比對(duì)100個(gè)問(wèn)題各只淺挖1次的效果要好得多”.
案例中，對(duì)例題的“開(kāi)掘”有獨(dú)到之處.教師給出例題后，學(xué)生進(jìn)行了8分鐘的自主探索，從不同維度進(jìn)行“開(kāi)掘”.15位學(xué)生上黑板進(jìn)行板書(shū)或發(fā)表意見(jiàn)，在互動(dòng)中
匯集他們從不同層次和維度上“開(kāi)掘”得到的信息，生成新的“開(kāi)掘”點(diǎn)和“開(kāi)掘”方向，引發(fā)思維“風(fēng)暴”，時(shí)而發(fā)生認(rèn)知“沖突”，引出探索問(wèn)題;時(shí)而產(chǎn)生思維“碰撞”，閃爍理性智慧.互動(dòng)，增添了學(xué)生學(xué)習(xí)的信心、心靈感應(yīng);互動(dòng)，產(chǎn)生了各種“意外”、探索氛圍;互動(dòng)激發(fā)了學(xué)生參與的熱情，促進(jìn)了學(xué)生的思維運(yùn)動(dòng)，突出了培養(yǎng)思維能力的主要功能.
一節(jié)課，例題教學(xué)的主要教育功能是什么?這既取決于教學(xué)目標(biāo)，又取決于學(xué)生的現(xiàn)實(shí)水平，還取決于教師對(duì)課標(biāo)的理解及教學(xué)立意.從聽(tīng)課筆記中可以看出，本課例中教師試圖通過(guò)解剖所提供的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生探求解決“含參函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題”的思想方法，以此為“抓手”，培育、發(fā)展學(xué)生的思維能力.而從學(xué)生課堂上的表現(xiàn)也可以看出，素材選擇符合學(xué)生的實(shí)際，教法有利于落實(shí)教學(xué)意圖、突出思維訓(xùn)練功能.
3.“聯(lián)動(dòng)”:追求例題教學(xué)功能最大化
所謂聯(lián)動(dòng)，狹義上講，是指知識(shí)之間的前后聯(lián)系、個(gè)體的思維運(yùn)動(dòng)，前面的積累是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，后續(xù)學(xué)習(xí)又不斷深化對(duì)前面所學(xué)東西的認(rèn)識(shí)，相互聯(lián)系，形成學(xué)習(xí)觀點(diǎn)的變化，促進(jìn)個(gè)體思維進(jìn)動(dòng);廣義地說(shuō)，是群體的價(jià)值聯(lián)系、聯(lián)合行動(dòng)，它得到群體認(rèn)同，產(chǎn)生群體行動(dòng)，形成一定的氛圍，促進(jìn)群體思維運(yùn)動(dòng).
案例給人的感覺(jué)是“聯(lián)動(dòng)”效應(yīng).從學(xué)生6提出的問(wèn)題可以看出，學(xué)生6注意積累、關(guān)注知識(shí)之間的前后聯(lián)系，由當(dāng)前問(wèn)題能夠聯(lián)想到與之相關(guān)聯(lián)的問(wèn)題.他的問(wèn)題得到了群體的響應(yīng)，有學(xué)生7利用學(xué)生1的方法所進(jìn)行的嘗試，還有學(xué)生8“另辟蹊徑，將零點(diǎn)分布問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題”求解的探索.從而溝通了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，為群體提供了研究性學(xué)習(xí)材料和研究方法.特別是課堂的“后半段”，學(xué)生參與小結(jié)，一個(gè)個(gè)來(lái)自學(xué)習(xí)過(guò)程的真實(shí)感受，一個(gè)個(gè)閃爍著理性與智慧的發(fā)言，得到了群體的呼應(yīng)，推動(dòng)著群體的思維運(yùn)動(dòng)。
新課程倡導(dǎo)“以學(xué)論教”，主張為學(xué)生的“終身學(xué)習(xí)”奠定基礎(chǔ).課例中教師不拘泥“預(yù)設(shè)”，實(shí)行教學(xué)民主，尊重學(xué)生的首創(chuàng)精神，以學(xué)生的問(wèn)題、觀點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，生成教學(xué)資源，引領(lǐng)探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)習(xí)方式，為落實(shí)新課程教育理念進(jìn)行了有益的探索、積極的嘗試.當(dāng)然，不能說(shuō)課例盡善盡美，比如學(xué)生12說(shuō)“2009年高考數(shù)學(xué)浙江卷文科第21題第(Ⅱ)問(wèn)、理科第22題第(Ⅰ)問(wèn)”就是相關(guān)的問(wèn)題，教師可以利用現(xiàn)代信息技術(shù)展示給學(xué)生看，以此強(qiáng)化學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)、聯(lián)系的學(xué)習(xí)觀點(diǎn)和利用信息技術(shù)手段解決問(wèn)題的觀念.
不應(yīng)該苛求一節(jié)課例題教學(xué)功能的全面性，但要追求例題教學(xué)功能，特別是主要功能的最大化.我們應(yīng)該將課程目標(biāo)分解到各個(gè)教學(xué)模塊、各節(jié)數(shù)學(xué)課，不斷強(qiáng)化導(dǎo)學(xué)、導(dǎo)思、導(dǎo)行功能，以追求“不教而教”的終極目標(biāo)。
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