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趙爽的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想與應(yīng)用價(jià)值論文
摘要：趙爽是東漢末年至三國時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家，他在《周髀算經(jīng)》的注文中提出許多新的數(shù)學(xué)見解。同時(shí)，他的數(shù)學(xué)思想及方法對(duì)中國整個(gè)數(shù)學(xué)體系的形成及發(fā)展都有著重要的作用。
關(guān)鍵詞：唐代 絲綢之路 極盛而衰 歷史演變。
趙爽是東漢末年至三國時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家，同時(shí)也是中國歷史上著名的天文學(xué)家，他大約生活在 3 世紀(jì)，生卒不詳。他在數(shù)學(xué)上的成就主要表現(xiàn)為對(duì)勾股定理簡(jiǎn)潔的證明，重差術(shù)的理論，一元二次方程的求解及根與系數(shù)的關(guān)系四個(gè)方面的貢獻(xiàn)。2 世紀(jì)，趙爽開始深入研究《周髀算經(jīng)》，該書是中國歷史上最古老的天文學(xué)著作，其中就有對(duì)“勾股圓方圖”的注釋，總結(jié)出中國古代的勾股定理，這是對(duì)中國數(shù)學(xué)史的巨大貢獻(xiàn)。另外，趙爽還在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了創(chuàng)新，提出了新的證明公式。趙爽在數(shù)學(xué)方面的成就主要體現(xiàn)其所撰寫的《勾股圓方圖》，是中國歷史上第一次明確給出勾股定理明確證明的著作，而且這種證明簡(jiǎn)單實(shí)用，至今仍在沿用。趙爽還創(chuàng)造出世界上最早的求根公式，并對(duì)《九章算術(shù)》中的分?jǐn)?shù)計(jì)算方法上升到理論高度，創(chuàng)立了“齊同術(shù)”,足見稱其為數(shù)學(xué)宗師是非常恰當(dāng)?shù)摹?/p>
一、趙爽數(shù)學(xué)思想產(chǎn)生的社會(huì)背景。
1.來源于人類實(shí)踐活動(dòng)的數(shù)學(xué)思想。趙爽在《周髀算經(jīng)》的注文中提到“:大禹治水，望山川之形，定高下之勢(shì)，除滔天之災(zāi)，勾股之所由生也�！边@就說明，大禹治水時(shí)期便采用了疏通河流的辦法使大水流往大海，而無“浸溺逆”,這也是勾股定理產(chǎn)生的重要原因。趙爽的這一思想與古希臘數(shù)學(xué)家歐弟姆斯對(duì)幾何學(xué)的產(chǎn)生的思路不謀而合，歐弟姆斯曾說“:幾何學(xué)是埃及人發(fā)現(xiàn)的，是在測(cè)量土地的過程中產(chǎn)生的，因?yàn)槟菚r(shí)候的尼羅河泛濫成災(zāi)，經(jīng)常沖毀良田，這種幾何學(xué)的測(cè)量技術(shù)是必要的。”[1]17所以，幾何學(xué)起源于土地測(cè)量，一般從事農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的民族都有著豐富的幾何學(xué)知識(shí)。恩格斯曾說，數(shù)學(xué)是根據(jù)人的需要產(chǎn)生的，是從丈量土地面積、計(jì)算器具容積中產(chǎn)生的，是一種有目的改造客觀世界的活動(dòng)中產(chǎn)生的。所以，趙爽的數(shù)學(xué)思想也來源于實(shí)際，以滿足于客觀世界的需要。
2.吳國推行發(fā)展教育的文教政策。根據(jù)史料考證，趙爽為三國時(shí)期吳國人，由于當(dāng)時(shí)吳國為戰(zhàn)事需要采取了一系列發(fā)展生產(chǎn)的措施，使得社會(huì)經(jīng)濟(jì)有了較大的進(jìn)步。同時(shí)，在思想及文學(xué)領(lǐng)域也出現(xiàn)了秦漢以來前所未有的局面，其中數(shù)學(xué)思想的進(jìn)展尤為明顯。當(dāng)時(shí)的吳國推行了發(fā)展數(shù)學(xué)教育的文教政策，孫權(quán)于黃武三年推行“改四分，用乾象歷，詔令教學(xué)諸子”.永安二年，孫休推行教學(xué)為先的政策“,道世冶性，為時(shí)養(yǎng)器”.當(dāng)時(shí)吳國推行的這些教育建國，培養(yǎng)人才的措施，極大推進(jìn)了社會(huì)的發(fā)展及經(jīng)濟(jì)的繁榮。當(dāng)時(shí)，吳國還在地方設(shè)立官學(xué)“,濟(jì)陽人篤學(xué)好古，瑜厚之，使百人受業(yè)，遂立學(xué)官”.雖然吳國“學(xué)官”措施推行并沒多久，但當(dāng)時(shí)確實(shí)出現(xiàn)許多的數(shù)學(xué)及天文人才，如陳馳善九章術(shù)，與漢代許商、王柔并稱。除官學(xué)之外，吳國也非常流行私學(xué)，如“虞凡講學(xué)不倦，門徒數(shù)百人，又為《老子》、《荀子》、《國語》訓(xùn)注”.吳國的私學(xué)者多潛心學(xué)術(shù)，熱愛教學(xué)工作，對(duì)教育事業(yè)全心投入，《周髀算經(jīng)注》中就有“后學(xué)之徒知數(shù)皆然”[2]73.
二、趙爽的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想與應(yīng)用價(jià)值。
1.“數(shù)形”與“歸納、演繹”統(tǒng)一的思想。趙爽在《周髀算經(jīng)注》中提到“:數(shù)之法理出于方圓，方圓者天地之形狀，陰陽之?dāng)?shù)，陳方圓之形，以見其象，因奇偶之?dāng)?shù)，以制其法。物有方圓，數(shù)有奇偶，天動(dòng)為圓其數(shù)奇，地靜為方其數(shù)偶。”所以，趙爽的天地之形含有幾何方面的內(nèi)容，同時(shí)，數(shù)之法出于圓方也含有代數(shù)思想。就是說，通過數(shù)的計(jì)算，著重考察圖形中數(shù)的關(guān)系，通過得出的數(shù)值來解決實(shí)際生活問題。同時(shí)，也可以通過“形”的直觀解決數(shù)的算法，這就將數(shù)形完美結(jié)合在一起。其實(shí)，數(shù)與形的結(jié)合并不是偶然產(chǎn)生的，中國作為一個(gè)農(nóng)業(yè)大國，在丈量土地、儲(chǔ)存糧食、開挖水渠時(shí)都會(huì)遇到大量關(guān)于面積、體積的問題，如用代數(shù)方法解決幾何問題將起到事半功倍的效果。實(shí)際上，數(shù)與形并不是完全分開的，在計(jì)算長度、面積的時(shí)候就很容易將兩者聯(lián)系起來。趙爽的《周髀算經(jīng)注》便體現(xiàn)這種數(shù)形統(tǒng)一的思想。
歸納是將特殊或個(gè)別的事物中概括出一般性的結(jié)論，而演繹則是由一般原理推出個(gè)別或特殊事物的結(jié)論。歸納與演繹是人們認(rèn)識(shí)事物過程中相輔相成的兩個(gè)方面。趙爽的數(shù)學(xué)思想中包含歸納、演繹統(tǒng)一的思想，在其《周髀算經(jīng)》注文中提到“:善哉，言明曉之意，所謂問一事而萬事達(dá)。”這里的“問一事而萬事達(dá)”就是從個(gè)別到一般的歸納思維過程。他還曾提到“:引而伸之，觸類而長之，天下事畢矣。”[3]77這又從一般原理引申出個(gè)別的演繹思維過程。所以，趙爽在數(shù)學(xué)研究中將歸納與演繹兩者統(tǒng)一起來“,勾股各自乘，并之為弦實(shí)，開方除之即為弦”.這就是從個(gè)別到一般的推理過程。所以，驗(yàn)證數(shù)學(xué)命題的真?zhèn)尉托枰ㄟ^演繹推理來實(shí)現(xiàn)。趙爽在其《勾股圓方圖注》中有十多個(gè)命題，并全部采用演繹推理的方式給出了證明。
2.“變與不變”的思維方法及“實(shí)用”的數(shù)學(xué)思想�？陀^事物是不斷發(fā)生變化的，且事物的大多數(shù)性質(zhì)也會(huì)發(fā)生改變，而有些性質(zhì)卻相對(duì)穩(wěn)定，這就是變與不變的性質(zhì)，即事物的相對(duì)穩(wěn)定性。趙爽在證明勾股定理的過程中，就是將圓形進(jìn)行“割補(bǔ)”,其面積卻保持不變，這即為“變與不變”數(shù)學(xué)思維，趙爽通過“割補(bǔ)”的方式證明勾股定理是非常巧妙的，他說“形詭而量均，體殊而數(shù)齊”,即體形雖然有差異，但數(shù)量是不變的。將一個(gè)形體首先分割為有限的分體，然后再拼湊起來，便成為一個(gè)與它等面積的新個(gè)體。趙爽的這一“變與不變”思想對(duì)中國古代幾何的發(fā)展有著重要影響。劉徽在其《九章算術(shù)注》中將這種出入相補(bǔ)的思想視作以后“演段法”的基礎(chǔ)。中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的平面幾何問題一般都采用這種“出入相補(bǔ)”的拼湊方法進(jìn)行處理。直到 12 世紀(jì)，國外才有關(guān)于趙爽這種“割補(bǔ)”方法的證明，由當(dāng)時(shí)印度數(shù)學(xué)家巴斯卡蘭給出，晚于趙爽的近九百多年。
數(shù)學(xué)來源于實(shí)際并應(yīng)用于實(shí)際，作為一門研究空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，數(shù)學(xué)有廣泛的用途。中國古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)是以實(shí)用為目的的，其內(nèi)容大多與生產(chǎn)及生活實(shí)際相關(guān)，并廣泛用于生產(chǎn)生活各方面，這也使得中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)長期處于世界數(shù)學(xué)的領(lǐng)先地位。趙爽也有著深厚的數(shù)學(xué)實(shí)用思想，他在《周髀算經(jīng)》的注文中提到“:萬事萬物圓方用矣，大匠造制而有規(guī)矩�！彼�，他明確指出圓方的設(shè)計(jì)可用于萬事萬物“,大匠造制”則充分說明數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性及其價(jià)值意義。
三、趙爽的數(shù)學(xué)成就及重要?dú)v史貢獻(xiàn)。
1.《周髀算經(jīng)注》透析了數(shù)學(xué)之理。南宋數(shù)學(xué)家稱趙爽為“乘勾股竹黃之實(shí)，以近開方之妙，百世之下莫人能及，算學(xué)宗師也”.趙爽在他的《周髀算經(jīng)注》中詳細(xì)注解了勾股術(shù)法之妙，透析了數(shù)學(xué)教育之理。根據(jù)史料考證，趙爽曾經(jīng)深入研究了劉洪撰寫的《乾象歷》及天文學(xué)家張衡的《靈憲》等著作，并多次談及算學(xué)之術(shù)。在出入相補(bǔ)方面，圖形的總面積總保持不變，這就是趙爽創(chuàng)立的“割補(bǔ)之術(shù)”.同時(shí)，他還為《九章算術(shù)》進(jìn)行了注釋，并將其歸納為出入相補(bǔ)原理，這也成為后世“演段術(shù)”形成的重要基礎(chǔ)。另外，趙爽還在其注文中提到與韋達(dá)定理類似的結(jié)果，并進(jìn)一步研究一元二次方程的解法，證明了與其相關(guān)的二十多個(gè)命題。其實(shí)，趙爽還是一個(gè)未脫離體力勞動(dòng)的數(shù)學(xué)家，他曾說自己一直在從事體力勞動(dòng)的時(shí)候進(jìn)行《周髀》的研究工作，最終完成了《周髀算經(jīng)注》。該作品大約成書于前 100 年前后，是一部關(guān)于構(gòu)圖定律、分?jǐn)?shù)運(yùn)算的數(shù)學(xué)著作。在《周髀算經(jīng)注》中，趙爽對(duì)原作的經(jīng)文進(jìn)行逐段逐句的解讀，其中尤以勾股圓方圖最為精彩，簡(jiǎn)練的五百多字高度概括了《周髀算經(jīng)》的主要內(nèi)容。
2.推動(dòng)中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的發(fā)展。在相當(dāng)長的時(shí)間內(nèi)，中國的數(shù)學(xué)長期處于世界領(lǐng)先地位。數(shù)學(xué)作為一門研究空間與數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，有著現(xiàn)實(shí)的應(yīng)用需要，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系就是在此基礎(chǔ)上建立的，并廣泛應(yīng)用于社會(huì)實(shí)際。趙爽的數(shù)學(xué)思想極大地推動(dòng)了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時(shí)在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的影響下，趙爽在其《周髀算經(jīng)》的注文中多次證明了數(shù)學(xué)的實(shí)際操作意義及應(yīng)用的廣泛性。趙爽曾指出，為了有效解決實(shí)際問題，通過考察圖形中的數(shù)量關(guān)系及運(yùn)算關(guān)系，就可以得到人們所需要的數(shù)值。趙爽認(rèn)為“:夫高者莫大于天，厚廣者莫廣于地，皆可導(dǎo)儀驗(yàn)其長短�！彼麑⒆匀唤缈醋魇且粋�(gè)相互聯(lián)系的物質(zhì)集合，并可以通過儀器間接測(cè)量出來。趙爽認(rèn)為數(shù)學(xué)能應(yīng)用于天地之道，神明之德，這是其承襲中國歷代數(shù)學(xué)家思想的反映。他對(duì)商高的測(cè)量方法中提到“:以水繩之，慎毫厘之差，防千里之失，既可追求情理，又可造制畫方�！盵4]57這段內(nèi)容記述了趙爽通過勾股定理進(jìn)行測(cè)量的方法，充分體現(xiàn)其經(jīng)世致用的實(shí)用思想。
3.數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育方面的創(chuàng)新�！吨荀滤憬�(jīng)》采用問答的形式，由此可知其屬于數(shù)學(xué)教材，而趙爽的《周髀算經(jīng)注》則屬于數(shù)學(xué)教材的指導(dǎo)用書，他在《周髀算經(jīng)注》中的“統(tǒng)敘群倫，裁制萬物”思想，展示其先進(jìn)的數(shù)學(xué)教育思想�！吨荀滤憬�(jīng)》中有對(duì)勾股定理經(jīng)典的描述，即“勾廣三，股修四，徑隅五”.然而，在趙爽的注文中則給出了勾股定理的一般形式，即“勾股各自乘，并之為弦實(shí)”,這就將數(shù)學(xué)知識(shí)推廣開來。趙爽繼承了孔子的啟發(fā)式教學(xué)模式“,凡教之道， 舉一隅，反之以三也”.他還根據(jù)自己多年的數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)出數(shù)學(xué)教育的一般規(guī)律，最后達(dá)到“啟發(fā)”的效果。其實(shí)，學(xué)習(xí)是一項(xiàng)艱苦的智力勞動(dòng)，只有學(xué)思結(jié)合才能最終完成“,不精思，不學(xué)習(xí)，則言吾無隱”.所以，趙爽一直反對(duì)反而不思的學(xué)習(xí)方式，并提倡“精思、善思、深思”,這樣才能開闊思維�！把晕釤o隱”便是引用孔子的教學(xué)思想，即“盡其知”,毫無隱瞞。所以，趙爽還是一位“不隱其學(xué)”的數(shù)學(xué)教育家。趙爽的“熟思”理念，就是強(qiáng)調(diào)要發(fā)展學(xué)生的思維，調(diào)動(dòng)其學(xué)習(xí)的積極性，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考。由此可知，趙爽不但在數(shù)學(xué)上有著極高的造詣，而且還是在數(shù)學(xué)教育上有著較高水平的數(shù)學(xué)大師。在數(shù)學(xué)教育上，趙爽的“貫幽人微，鉤深致遠(yuǎn)”思想，便是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程及學(xué)生心理狀態(tài)的把握。他總結(jié)的“審問、累思、所學(xué)、通類、精習(xí)”五個(gè)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)是一種由感性到理性的認(rèn)識(shí)過程，這也是儒家學(xué)習(xí)論的核心。
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