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學(xué)習(xí)方法

借助方程求解數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)方法

時(shí)間:2022-10-26 07:15:38 學(xué)習(xí)方法 我要投稿
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借助方程求解數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)方法

  數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題離不開(kāi)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離。為了便于初一年級(jí)學(xué)生對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的分析,不妨先明確以下幾個(gè)問(wèn)題:

  1.數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離,即為這兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)差的絕對(duì)值,也即用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)的差。即數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離=右邊點(diǎn)表示的數(shù)—左邊點(diǎn)表示的數(shù)。

  2.點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),由于數(shù)軸向右的方向?yàn)檎较颍虼讼蛴疫\(yùn)動(dòng)的速度看作正速度,而向作運(yùn)動(dòng)的速度看作負(fù)速度。這樣在起點(diǎn)的基礎(chǔ)上加上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程就可以直接得到運(yùn)動(dòng)后點(diǎn)的坐標(biāo)。即一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)為a,向左運(yùn)動(dòng)b個(gè)單位后表示的數(shù)為a—b;向右運(yùn)動(dòng)b個(gè)單位后所表示的數(shù)為a+b。

  3.數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物,分析數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析,點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)形成的路徑可看作數(shù)軸上線段的和差關(guān)系。

  例1.已知數(shù)軸上有A、B、C三點(diǎn),分別代表—24,—10,10,兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)相向而行,甲的速度為4個(gè)單位/秒。

  ⑴問(wèn)多少秒后,甲到A、B、C的距離和為40個(gè)單位?

  ⑵若乙的速度為6個(gè)單位/秒,兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)相向而行,問(wèn)甲、乙在數(shù)軸上的哪個(gè)點(diǎn)相遇?

  ⑶在⑴⑵的條件下,當(dāng)甲到A、B、C的距離和為40個(gè)單位時(shí),甲調(diào)頭返回。問(wèn)甲、乙還能在數(shù)軸上相遇嗎?若能,求出相遇點(diǎn);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由。

  分析:如圖1,易求得AB=14,BC=20,AC=34

 、旁O(shè)x秒后,甲到A、B、C的距離和為40個(gè)單位。此時(shí)甲表示的數(shù)為—24+4x。

 、偌自贏B之間時(shí),甲到A、B的距離和為AB=14

  甲到C的距離為10—(—24+4x)=34—4x

  依題意,14+(34—4x)=40,解得x=2

 、诩自贐C之間時(shí),甲到B、C的距離和為BC=20,甲到A的距離為4x

  依題意,20+4x)=40,解得x=5

  即2秒或5秒,甲到A、B、C的距離和為40個(gè)單位。

  ⑵是一個(gè)相向而行的相遇問(wèn)題。設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒相遇。

  依題意有,4t+6t=34,解得t=3.4

  相遇點(diǎn)表示的數(shù)為—24+4×3.4=—10.4 (或:10—6×3.4=—10.4)

 、羌椎紸、B、C的距離和為40個(gè)單位時(shí),甲調(diào)頭返回。而甲到A、B、C的距離和為40個(gè)單位時(shí),即的位置有兩種情況,需分類(lèi)討論。

  ①甲從A向右運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)返回。設(shè)y秒后與乙相遇。此時(shí)甲、乙表示在數(shù)軸上為同一點(diǎn),所表示的數(shù)相同。甲表示的數(shù)為:—24+4×2—4y;乙表示的數(shù)為:10—6×2—6y

  依題意有,—24+4×2—4y=10—6×2—6y,解得y=7

  相遇點(diǎn)表示的數(shù)為:—24+4×2—4y=—44 (或:10—6×2—6y=—44)

 、诩讖腁向右運(yùn)動(dòng)5秒時(shí)返回。設(shè)y秒后與乙相遇。甲表示的數(shù)為:—24+4×5—4y;乙表示的數(shù)為:10—6×5—6y

  依題意有,—24+4×5—4y=10—6×5—6y,解得y=—8(不合題意,舍去)

  即甲從A點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)2秒后調(diào)頭返回,能在數(shù)軸上與乙相遇,相遇點(diǎn)表示的數(shù)為—44。

  點(diǎn)評(píng):分析數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),要結(jié)合數(shù)軸上的線段關(guān)系進(jìn)行分析。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)后所表示的數(shù),以起點(diǎn)所表示的數(shù)為基準(zhǔn),向右運(yùn)動(dòng)加上運(yùn)動(dòng)的距離,即終點(diǎn)所表示的數(shù);向左運(yùn)動(dòng)減去運(yùn)動(dòng)的距離,即終點(diǎn)所表示的數(shù)。

  例2.如圖,已知A、B分別為數(shù)軸上兩點(diǎn),A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為—20,B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為100。

 、徘驛B中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù);

  ⑵現(xiàn)有一只電子螞蟻P從B點(diǎn)出發(fā),以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng),同時(shí)另一只電子螞蟻Q恰好從A點(diǎn)出發(fā),以4個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng),設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的C點(diǎn)相遇,求C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù);

 、侨舢(dāng)電子螞蟻P從B點(diǎn)出發(fā)時(shí),以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng),同時(shí)另一只電子螞蟻Q恰好從A點(diǎn)出發(fā),以4個(gè)單位/秒的速度也向左運(yùn)動(dòng),設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的D點(diǎn)相遇,求D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)。

  分析:⑴設(shè)AB中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為x,由BM=MA

  所以x—(—20)=100—x,解得 x=40 即AB中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為40

  ⑵易知數(shù)軸上兩點(diǎn)AB距離,AB=140,設(shè)PQ相向而行t秒在C點(diǎn)相遇,

  依題意有,4t+6t=120,解得t=12

  (或由P、Q運(yùn)動(dòng)到C所表示的數(shù)相同,得—20+4t=100—6t,t=12)

  相遇C點(diǎn)表示的數(shù)為:—20+4t=28(或100—6t=28)

 、窃O(shè)運(yùn)動(dòng)y秒,P、Q在D點(diǎn)相遇,則此時(shí)P表示的數(shù)為100—6y,Q表示的數(shù)為—20—4y。P、Q為同向而行的追及問(wèn)題。

  依題意有,6y—4y=120,解得y=60

  (或由P、Q運(yùn)動(dòng)到C所表示的數(shù)相同,得—20—4y=100—6y,y=60)

  D點(diǎn)表示的數(shù)為:—20—4y=—260 (或100—6y=—260)

  點(diǎn)評(píng):熟悉數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離以及數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的表示方法是解決本題的關(guān)鍵。⑵是一個(gè)相向而行的相遇問(wèn)題;⑶是一個(gè)同向而行的追及問(wèn)題。在⑵、⑶中求出相遇或追及的時(shí)間是基礎(chǔ)。

  例3.已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為—1,3,點(diǎn)P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn),其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x。

  ⑴若點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等,求點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù);

 、茢(shù)軸上是否存在點(diǎn)P,使點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和為5?若存在,請(qǐng)求出x的值。若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由?

  ⑶當(dāng)點(diǎn)P以每分鐘一個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從O點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)A以每分鐘5個(gè)單位長(zhǎng)度向左運(yùn)動(dòng),點(diǎn)B一每分鐘20個(gè)單位長(zhǎng)度向左運(yùn)動(dòng),問(wèn)它們同時(shí)出發(fā),幾分鐘后P點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等?

  分析:⑴如圖,若點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等,P為AB的中點(diǎn),BP=PA。

  依題意,3—x=x—(—1),解得x=1

 、朴葾B=4,若存在點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和為5,P不可能在線段AB上,只能在A點(diǎn)左側(cè),或B點(diǎn)右側(cè)。

 、貾在點(diǎn)A左側(cè),PA=—1—x,PB=3—x

  依題意,(—1—x)+(3—x)=5,解得 x=—1.5

 、赑在點(diǎn)B右側(cè),PA=x—(—1)=x+1,PB=x—3

  依題意,(x+1)+(x—3)=5,解得 x=3.5

 、屈c(diǎn)P、點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)向左運(yùn)動(dòng),點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)速度最快,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度最慢。故P點(diǎn)總位于A點(diǎn)右側(cè),B可能追上并超過(guò)A。P到A、B的距離相等,應(yīng)分兩種情況討論。

  設(shè)運(yùn)動(dòng)t分鐘,此時(shí)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為—t,B對(duì)應(yīng)的數(shù)為3—20t,A對(duì)應(yīng)的數(shù)為—1—5t。

 、貰未追上A時(shí),PA=PA,則P為AB中點(diǎn)。B在P的右側(cè),A在P的左側(cè)。

  PA=—t—(—1—5t)=1+4t,PB=3—20t—(—t)=3—19t

依題意有,1+4t=3—19t,解得 t=

 、贐追上A時(shí),A、B重合,此時(shí)PA=PB。A、B表示同一個(gè)數(shù)。

依題意有,—1—5t=3—20t,解得 t= 即運(yùn)動(dòng) 或 分鐘時(shí),P到A、B的距離相等。

  點(diǎn)評(píng):⑶中先找出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中P、A、B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù),再根據(jù)其位置關(guān)系確定兩點(diǎn)間距離的關(guān)系式,這樣就理順了整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程。

  例4.點(diǎn)A1、A2、A3、……An(n為正整數(shù))都在數(shù)軸上,點(diǎn)A1在原點(diǎn)O的左邊,且A1O=1,點(diǎn)A2在點(diǎn)A1的右邊,且A2A1=2,點(diǎn)A3在點(diǎn)A2的左邊,且A3A2=3,點(diǎn)A4在點(diǎn)A3的右邊,且A4A3=4,……,依照上述規(guī)律點(diǎn)A2008、A2009所表示的數(shù)分別為( )。

  A.2008,—2009 B.—2008,2009 C.1004,—1005 D.1004,—1004

  分析:如圖,

  點(diǎn)A1表示的數(shù)為—1;

  點(diǎn)A2表示的數(shù)為—1+2=1;

  點(diǎn)A3表示的數(shù)為—1+2—3=—2;

  點(diǎn)A4表示的數(shù)為—1+2—3+4=2 ……

  點(diǎn)A2008表示的數(shù)為—1+2—3+4—……—2007+2008=1004

  點(diǎn)A2009表示的數(shù)為—1+2—3+4—……—2007+2008—2009=1005

  點(diǎn)評(píng):數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)為a,向左運(yùn)動(dòng)b個(gè)單位后表示的數(shù)為a—b;向右運(yùn)動(dòng)b個(gè)單位后所表示的數(shù)為a+b。運(yùn)用這一特征探究變化規(guī)律時(shí),要注意在循環(huán)往返運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的方向變化。

  練習(xí)題:

  1.已知數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)分別為—2,4,P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn),對(duì)應(yīng)數(shù)為x。

 、湃鬚為線段AB的三等分點(diǎn),求P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)。

 、茢(shù)軸上是否存在P點(diǎn),使P點(diǎn)到A、B距離和為10?若存在,求出x的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

  ⑶若點(diǎn)A、點(diǎn)B和P點(diǎn)(P點(diǎn)在原點(diǎn))同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)。它們的速度分別為1、2、1個(gè)單位長(zhǎng)度/分鐘,則第幾分鐘時(shí)P為AB的中點(diǎn)?

  (參考答案:⑴0或2;⑵—4或6;⑶2)

  2.電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點(diǎn)K0,第一步從K0向左跳一個(gè)單位到K1,第二步由K1向右跳2個(gè)單位到K2,第三步由K2向左跳3個(gè)單位到K3,第四步由K3向右跳4個(gè)單位到K4……按以上規(guī)律跳了100步時(shí),電子跳蚤落在數(shù)軸上的K100所表示的數(shù)恰是19.94。試求電子跳蚤的初始位置K0點(diǎn)表示的數(shù)。

  (提示:設(shè)K0點(diǎn)表示的數(shù)為x,用含x的式子表示出K100所表示的數(shù),建立方程,求得x=—30.06)

  作者簡(jiǎn)介:宋毓彬,男,45歲,中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師。在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》、《數(shù)理天地》、《中學(xué)生數(shù)學(xué)》、《數(shù)理化學(xué)習(xí)》、《數(shù)理化解題研究》、《中學(xué)課程輔導(dǎo)》、《語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)》、《數(shù)學(xué)周報(bào)》、《數(shù)學(xué)輔導(dǎo)報(bào)》、《數(shù)理報(bào)》、《少年智力開(kāi)發(fā)報(bào)》、《學(xué)習(xí)報(bào)》、《小博士報(bào)》、《課程導(dǎo)報(bào)》等報(bào)刊發(fā)表教學(xué)輔導(dǎo)類(lèi)文章80多篇。主要致力于初中數(shù)學(xué)中考及解題方法、技巧等教學(xué)方面的研究。

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