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談數(shù)學(xué)史視角的球體積教學(xué)設(shè)計(jì)思考論文
摘要：對(duì)牟合方蓋法計(jì)算球體積教學(xué)中出現(xiàn)的三個(gè)難點(diǎn)——牟合方蓋的由來、抽象牟合方蓋的理解及牟合方蓋體積的計(jì)算進(jìn)行逐個(gè)突破,以期對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)有啟發(fā)和借鑒作用。
關(guān)鍵詞：球體積,牟合方蓋,數(shù)學(xué)史
一、問題的提出
球體積公式是高中數(shù)學(xué)基本內(nèi)容,不同的推導(dǎo)方法常常會(huì)達(dá)到不同的教育效果。有的教師通過切片求極限的方法得出球體積公式,培養(yǎng)了學(xué)生極限思想。有的教師利用球面小錐體結(jié)合球表面積公式推得球體積公式,培養(yǎng)了學(xué)生近似求和的思想。有的教師借此機(jī)會(huì)探尋古今中外的方法,向?qū)W生展示人類智慧的成果。比如,教師通過截面原理(祖暅原理)的引入,驗(yàn)證得出半球體積等于同底等高圓柱體挖去同底等高圓錐體的體積(公理法)。這種處理方式盡管介紹了中國(guó)古代的重要原理,卻舍棄了知識(shí)生動(dòng)的發(fā)生發(fā)展過程,未能充分展現(xiàn)其教學(xué)功能和文化功能。若能進(jìn)一步引入中國(guó)古代計(jì)算球體積的重要立體———牟合方蓋,利用牟合方蓋計(jì)算球體積,不僅可以讓學(xué)生經(jīng)歷古人“以方套圓,化圓為方”的求解歷程,拓展學(xué)生的思維,還是一次增強(qiáng)民族自豪感的文化教育和愛國(guó)教育。有教師嘗試向?qū)W生講授上述各種推導(dǎo)方法,從課后學(xué)生的問卷調(diào)查[1]來看,牟合方蓋法“太深?yuàn)W,難以理解,自己根本不可能想到,即使勉強(qiáng)看懂了,也無法掌握”。何以古人一千多年前的推導(dǎo)方法不能為學(xué)生接受?學(xué)生在理解上遇到哪些困難?只有知道了這些,教師才能更好地進(jìn)行針對(duì)性的教學(xué)設(shè)計(jì)。
二、牟合方蓋法計(jì)算球體積的教學(xué)難點(diǎn)及其對(duì)策
有學(xué)者將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)分為四種方式:附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式。[2]對(duì)于“深?yuàn)W,難以理解”的牟合方蓋法,教師首先應(yīng)該理解史料,并按照學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)際找到教學(xué)中的難點(diǎn),才能進(jìn)行創(chuàng)造性的教學(xué)設(shè)計(jì),將數(shù)學(xué)史料更好地融入教學(xué),最大化地發(fā)揮其教育功能。
難點(diǎn)1:構(gòu)造牟合方蓋的緣由
球體積的計(jì)算是古代幾何學(xué)中的一個(gè)難題。為了獲得球體積的精確公式,東西方都竭盡了好幾代人的智慧,利用當(dāng)時(shí)所有的科學(xué)成果,創(chuàng)造出許多重要的數(shù)學(xué)方法和精巧的幾何構(gòu)造物。在西方有古希臘阿基米德的力學(xué)方法和17 世紀(jì)意大利人卡瓦列利的不可分量方法,而在東方則有我國(guó)劉徽所構(gòu)造的牟合方蓋。牟合方蓋不是自然無形體的摹寫,而是為論證的需要構(gòu)造出來的特殊形狀的幾何體。因而,它的發(fā)明是以深刻的數(shù)學(xué)思想與方法為指導(dǎo)的,此數(shù)學(xué)思想即截面原理,就是我們現(xiàn)在所說的“祖暅原理”。
古人對(duì)截面原理早有深刻理解。從《九章算術(shù)》“商功章”各求積術(shù)的編排順序來看,作者有意將所有圓體安排在相應(yīng)方體之后,即按方堢壔(方柱體)與圓堢壔(圓柱體)、方亭(方臺(tái))與圓亭(圓臺(tái))、方錐與圓錐的順序敘述。古人先計(jì)算方體體積,進(jìn)而利用截面原理,通過“方體體積∶圓體體積= 截面方形面積∶截面圓面積”得出圓體體積(如圖1)。
類似地,在計(jì)算球體積時(shí),古人仍試圖利用截面原理,只是還缺一個(gè)重要的輔助工具,即球的方體“外套”。這個(gè)外套的體積較易求得,進(jìn)而利用截面積之比求得球體積。
劉徽之前的古人使用的球外套為圓柱,“圓囷為方率,渾為圓率”,而圓柱的外套則為正方體(如圖2,d表示球直徑)。按照劉徽推測(cè),古人認(rèn)為球體積∶圓柱體積= 圓柱體積∶正方體體積=π∶4(這里 π 取近似值3),從而推知球體積 (《九章算術(shù)》的《少?gòu)V》章有所謂的“開立圓術(shù)”,即已知球體積,求其直徑的方法。開立圓術(shù)曰:置積尺數(shù),以十六乘之,九而一,所得開立方除之,即丸徑。以現(xiàn)代公式表達(dá),即 由此推知 ,V代表球體積,d表示球直徑)。劉徽指出《九章算術(shù)》中的該公式是不正確的,并在“開立圓術(shù)”注文中指出了一條推算球體積公式的正確途徑。他創(chuàng)造了一個(gè)新的立體形———牟合方蓋(“方”,指截面為正方形;“蓋”,原為白茅編成的覆蓋物,后用作器物上的蓋子;“牟合方蓋”一詞可謂語意雙關(guān),它既指球的四面切合的方外罩,又指它形似上下結(jié)合的兩把方傘[3]),并利用牟合方蓋來求得球體積。
我們不妨來重溫劉徽創(chuàng)造牟合方蓋的過程。圖2 中,圓柱與正方體的截面面積比始終為 π∶4,按照這種思路給球套的外套也應(yīng)有這種截面性質(zhì)。劉徽發(fā)現(xiàn)以圓柱套球,圓與外方仍有兩面不切合(圖3(1)),如要達(dá)到四面都切合,則按垂直方向再套上一個(gè)圓柱即可,經(jīng)過一番思考,劉徽終于發(fā)明了球的牟合方蓋(圖3(2)為半個(gè)牟合方蓋)。
劉徽發(fā)明牟合方蓋,正是古人“以方套圓,化圓為方”的解題思路,而最終能由方求圓則依賴截面原理這一重要公理。如果教師能在呈現(xiàn)牟合方蓋前講以上這些作為鋪墊,學(xué)生就能對(duì)“為什么要引入牟合方蓋”有所體會(huì)。
難點(diǎn)2:如何理解抽象的牟合方蓋
一般的教學(xué)材料中呈現(xiàn)的牟合方蓋有兩種情形(如圖4):通過圖4(1)正方體中兩垂直圓柱的公共部分,或者圖4(2)中兩根垂直的相同圓柱的公共部分,來得出圖4(3)中的牟合方蓋。無論(1)圖還是(2)圖,要讓學(xué)生想象出相交公共部分是(3)都不是一件容易的事情。這時(shí)學(xué)生就會(huì)感覺牟合方蓋太抽象,不易理解。有些教師可能會(huì)求助于3D多媒體,有些教師可能會(huì)求助于實(shí)物制作。其實(shí),教師不妨沿用劉徽創(chuàng)造出牟合方蓋的思想,即截面以正方形外切圓形,讓學(xué)生想象牟合方蓋的外觀。如圖5 所示,讓學(xué)生想象一刀一刀平行地切球體,得到一個(gè)個(gè)大小不同的圓,以圓的外切正方形代替圓,保證這些正方形中心重合,對(duì)角線疊合,這樣就形成了牟合方蓋的外形(這里教師也可以讓學(xué)生畫出牟合方蓋的三維圖來加深理解)。
經(jīng)歷過這番想象與操作后,再向?qū)W生介紹圖3和圖4,學(xué)生更能接受牟合方蓋的形象。這里教師需要對(duì)學(xué)生提出更進(jìn)一步的要求,以便為計(jì)算牟合方蓋體積做準(zhǔn)備。球內(nèi)切牟合方蓋,相切于哪些部分?教師可通過平面的方圓相切圖幫助學(xué)生理解,相切部分在牟合方蓋的面上,正好是球的兩個(gè)垂直大圓。
難點(diǎn)3:如何計(jì)算牟合方蓋的體積
劉徽指出,在每一高度上的水平截面圓與其外切正方形的面積之比都等于 π∶4,因此球體積與牟合方蓋體積之比也應(yīng)該等于 π∶4。牟合方蓋的體積怎么求呢?最終劉徽沒有能夠解決,他說“敢不闕疑,以俟能言者”,他提出問題,等待后人來解題。盡管劉徽沒有推證出球體積公式,但他為后人指出了解決球體積的正確方向。
兩百年后,劉徽的問題終于被祖沖之和他的兒子祖暅解決了。我們來簡(jiǎn)單回顧他們的解決方法,考慮到牟合方蓋的對(duì)稱性,祖暅計(jì)算其1/8 體積,將其放于小正方體中考慮(圖6)。祖暅不直接求1/8牟合方蓋體積,轉(zhuǎn)而求小正方體中扣除1/8 牟合方蓋后的剩余體積。常規(guī)說來,剩余立體形狀不規(guī)則,更不易求。但是祖暅利用截面原理,發(fā)現(xiàn)剩余部分體積應(yīng)等于一個(gè)“陽馬”(一棱垂直于底面,且底面為正方形的棱錐,圖7(3)中椎體O-ABCD即為一個(gè)倒置的陽馬)的體積,而陽馬體積又等于小正方體體積的1/3,從而得出1/8 牟合方蓋的體積為小正方體體積的2/3。
在講圖6 的水平截面之前,教師有必要與學(xué)生一起對(duì)圖6 作深入觀察。學(xué)生應(yīng)能理解弧AE,AG實(shí)則為大圓周長(zhǎng)的1/4,AF為牟合方蓋的棱的一部分。明確這些之后,教師可與學(xué)生一起討論圖6 立體的水平截面(見圖7)。
圖7 中,設(shè)球半徑為r,取截面高為h,三幅圖中陰影部分面積依次為S1,S2,S3。通過勾股定理和比例等知識(shí),易得S1=r2-h2,S2=S3=h2。由截面原理 ,故 。再由V球∶V牟合方蓋=π∶4,得 。
三、進(jìn)一步地反思
教學(xué)中引入數(shù)學(xué)史料可以有多種教學(xué)功能,不僅可以拓展學(xué)生的視野,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,而且可以讓學(xué)生在“再發(fā)現(xiàn)”和“再創(chuàng)造”的過程中感悟其中的數(shù)學(xué)思想及精髓,為鍛煉學(xué)生思維提供絕佳契機(jī)。在經(jīng)歷了古人的探索過程后,教師可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思。
思考一:牟合方蓋的體積計(jì)算還有其他方法嗎
祖暅在計(jì)算牟合方蓋體積時(shí)利用了對(duì)稱性,首先計(jì)算1/8 的體積。教師可以鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)此方法作進(jìn)一步拓展。能不能首先計(jì)算1/4 或者1/2 的體積呢?如何借助截面原理構(gòu)造新的立體呢?以1/2 牟合方蓋(圖8(1))為例,設(shè)球半徑為r,則高h(yuǎn)處的截面面積為4(r2-h2)。教師可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比思想,得出形如圖8(2)的新立體—與1/2 牟合方蓋同底等高的柱體挖去一個(gè)同底等高的倒方錐。顯然,兩副圖中陰影部分面積相同。進(jìn)而借助新立體求得1/2牟合方蓋的體積。
思考二:球體積公式的推導(dǎo)能否簡(jiǎn)化
中國(guó)古人計(jì)算球體積利用了其外套“牟合方蓋”間接求得。教師可引導(dǎo)學(xué)生簡(jiǎn)化推導(dǎo)過程,如果不利用牟合方蓋,是否可以直接利用截面原理得出球體積公式?考慮半個(gè)球體,若球半徑為r,截面高為h處的水平截面圓面積為 π(r2-h2),這時(shí)構(gòu)造的新立體截面積等于兩圓之差(如圖9),該新立體為與半球同底等高的圓柱內(nèi)挖掉一個(gè)同底等高的圓錐。這就是我們通常在教科書上看到的推導(dǎo)方法。
經(jīng)過這樣一些步驟的改進(jìn),學(xué)生不僅可以知曉古人的計(jì)算方法,贊嘆古人的聰明才智;更能通過自己的智慧改進(jìn)古人的方法,拓展思維,求簡(jiǎn)求優(yōu)。
通過上述推導(dǎo)過程得出球體積公式,相信學(xué)生對(duì)截面原理會(huì)有更深刻地理解,對(duì)于中國(guó)古代計(jì)算球體積過程中的重要?jiǎng)?chuàng)造———牟合方蓋的產(chǎn)生及體積計(jì)算會(huì)有更深入的體會(huì)。這里我們只是對(duì)牟合方蓋法教學(xué)中可能遇到的難點(diǎn)進(jìn)行分析,以期對(duì)教師的教學(xué)設(shè)計(jì)有借鑒作用。而合適的教學(xué)融入方式,則有待教師作進(jìn)一步的嘗試與探究。
參考文獻(xiàn)
[1]任明駿.關(guān)于球體積公式教學(xué)各異的調(diào)查與分析[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2005(4).
[2]汪曉勤.HPM的若干研究與展望[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2012(2).
[3]李繼閔.《九章算術(shù)》及其劉徽注研究[M].太原:山西人民教育出版社,1990.
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