微分方程數(shù)值解法

　　微分方程數(shù)值解法【1】

　　摘要：本文結合數(shù)例詳細闡述了最基本的解決常微分方程初值問題的數(shù)值法，即Euler方法、改進Euler法，并進行了對比，總結了它們各自的優(yōu)點和缺點，為我們深入探究微分方程的其他解法打下了堅實的基礎。

　　關鍵詞:常微分方程 數(shù)值解法 Euler方法 改進Euler法

　　1、Euler方法

　　由微分方程的相關概念可知，初值問題的解就是一條過點 的積分曲線 ，并且在該曲線上任一點 處的切線斜率等于函數(shù) 的值。

　　根據(jù)數(shù)值解法的基本思想，我們?nèi)〉染喙?jié)點 ，其中h為步長，在點 處，以 為斜率作直線 交直線 于點 。

　　如果步長 比較小，那么所作直線 與曲線 的偏差不會太大，所以可用 的近似值，即： ，再從點 出發(fā)，以 為斜率作直線 ，作為 的近似值，即：

　　重復上述步驟，就能逐步求出準確解 在各節(jié)點 處的近似值。

　　一般地，若 為 的近似值，則過點 以 為斜率的直線為：

　　從而 的近似值為：

　　此公式就是Euler公式。

　　因為Euler方法的思想是用折線近似代替曲線，所以Euler方法又稱Euler折線法。

　　Euler方法是初值問題數(shù)值解中最簡單的一種方法，由于它的精度不高，當步數(shù)增多時，由于誤差的積累，用Euler方法作出的折線可能會越來越偏離曲線 。

　　舉例說明：

　　解： ,

　　精確解為：

　　1.2 -0.96 -1 0.04

　　1.4 -0.84 -0.933 0.933

　　1.6 -0.64 -0.8 0.16

　　1.8 -0.36 -0.6 0.24

　　2.0 0 -0.333 0.33

　　2.2 0.44 0 0.44

　　通過上表可以比較明顯地看出誤差隨著計算在積累。

　　2、改進Euler法

　　方法構造

　　在常微分方程初值問題 ,對其從 到 進行定積分得:

　　用梯形公式將右端的定積分進行近似計算得：

　　用 和 來分別代替 和 得計算格式:

　　這就是改進的Euler法。

　　解：

　　解得：

　　由于 ,是線形函數(shù)可以從隱式格式中解出

　　問題的精確解是

　　誤差

　　0.2 2.421403 2.422222 0.000813 0.02140

　　0.4 2.891825 2.893827 0.00200 0.05183

　　0.6 3.422119 3.425789 0.00367 0.09411

　　2.0 10.38906 10.43878 0.04872 1.1973

　　通過比較上表的第四列與第五列就能非常明顯看出改進Euler方法精度比Euler方法精度高。

　　3、結語

　　Euler方法是一種最簡單的解決常微分方程初值問題的方法，相應的它的精度最低，在計算中如果步長h較大的話，誤差將會比較大，所以使用時應注意控制步長h，并且隨著步長的增多誤差的不斷積累，最后所得的結果誤差也會較大，只有在控制步長、精度要求不高的情況下使用，主要適用于對 的估值上;雖然改進Euler法在取相同步長h時它的計算量是Euler方法的二倍，但它的精度比較高，能夠滿足一般要求，平時使用較多。

　　參考文獻

　　[1]朱思銘,王壽松,李艷會.常微分方程(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2006.

　　[2]余德浩,湯華中.《微分方程數(shù)值解法》.科學出版社,北京:2002.

　　[3]李慶樣等編.《數(shù)值分析》.高等教育出版社,2000.

　　微分方程數(shù)值解法雙語教學模式【2】

　　摘 要：微分方程數(shù)值解是高等院校信息與計算科學專業(yè)的一門重要專業(yè)基礎課。

　　本課程既有數(shù)學上的嚴密性、邏輯性，又有數(shù)值計算的科學性，在數(shù)值分析中占有極其重要的地位。

　　雙語教學是教育部積極倡導的一種教學模式，主要采用漢語和英語相結合的方式進行授課。

　　本文主要探討該課程的雙語教學模式，并對教學過程中出現(xiàn)的一些問題進行了思考。

　　關鍵詞：微分方程 數(shù)值解法 雙語教學 有限差分法

　　微分方程數(shù)值解法就主要研究如何通過離散算法將連續(xù)形式的微分方程轉化為有限維問題，如代數(shù)方程組，進而來求解其近似解[1]。

　　它以逼近論、數(shù)值代數(shù)等學科為基礎，探討有效的微分方程數(shù)值解法。

　　主要包括求解區(qū)域網(wǎng)格劃分、離散方程的建立、方程性能分析、近似解收斂性分析等環(huán)節(jié)。

　　探索微分方程數(shù)值解法是有積極而重要的科學意義的，這是因為：(1)在實際應用中，我們只關心方程在某個范圍內(nèi)對應于某些特定的自變量的解的取值或近似值;(2)絕大多數(shù)情況下，無法找到方程的解析解，即使解析解存在也不一定能表示為顯式解。

　　微分方程數(shù)值解法在計算物理、化學、流體力學航空航天等很多工程領域具有廣泛的應用。

　　目前已發(fā)展成為一門計算技術學科，其核心理論內(nèi)容也成為高校計算數(shù)學和應用數(shù)學等專業(yè)的核心基礎專業(yè)課程之一[2]。

　　1 雙語教學的必要性

　　現(xiàn)代社會的高素質專業(yè)人才不僅要具備扎實的專業(yè)知識，還須具備流利地應用英語進行溝通和交流的能力。

　　雙語教學是教育部積極倡導的一種課堂教學模式，在2001年公布的《關于加強高等學校本科教學工作提高教學質量的若干意見》中指出要“積極推動使用英語等外語進行教學”[3]，主要是在課堂教學過程中采用母語和以英文為代表的多種語言教學。

　　其目的就是為了跟上經(jīng)濟全球化的步伐和迎接科技革命的挑戰(zhàn)。

　　對高新技術領域中的諸如信息技術、生物技術、金融、法律等專業(yè)，力爭三年內(nèi)，外語教學課程達到所開課程的5%～10%[3]。

　　2005年，在教育部頒布的《關于進一步加強高等學校本科教學工作的若干意見》中進一步要求高校要“以大學英語教學改革為突破口，提高大學生的國際交流與合作能力”，進一步明確了要“提高雙語教學課程的質量并擴大雙語教學的課堂數(shù)量”[4]。

　　可見，國家教育部門對高校采用雙語教學給予了相當?shù)闹匾暫推谕��?/p>

　　微分方程數(shù)值解法既有數(shù)學上嚴密的邏輯性、獨特的理論結構體系，又在各種工程計算中有著重要的應用，因此是聯(lián)系純數(shù)學理論和工程應用的橋梁和紐帶。

　　另一方面，很多數(shù)值計算軟件開發(fā)平臺和幫助文件都是用英文開發(fā)的，而數(shù)值微分各種理論算法又可以直接用偽代碼表示，如何對數(shù)學專業(yè)英語很嫻熟，那么應用這些數(shù)值計算軟件就得心應手，亦可以熟練與國際同行交流。

　　再者，該課程一般在高年級開設，通過大學兩年的英語教學積累，大部分同學已經(jīng)達到了大學英語四級水平，可以較容易的閱讀數(shù)學專業(yè)文獻。

　　同時，高年級的同學對數(shù)學基礎理論知識，如數(shù)學分析、高等代數(shù)、數(shù)值分析、常微分方程、偏微分方程等有了較好的掌握，繼續(xù)接受方程的數(shù)值解的概念和理論是順理成章的事情。

　　因此，無論是實際工程需要還是學生自身素質，對微分方程數(shù)值解進行雙語教學都是可行的、必須的。

　　本文擬結合重慶理工大學信息與計算科學專業(yè)課程的設置，對微分方程數(shù)值解法的雙語教學模式進行探討，以尋求適合我校數(shù)學專業(yè)課程的雙語教學模式。

　　2 課堂教學模式探討和上機實驗

　　課堂理論教學是學習《微分方程數(shù)值解法》的主要方式，務必引起足夠重視。

　　大學教育離不開課堂教學，而課堂教學離不開講授。

　　理論是科學的基礎，理論是創(chuàng)新的基石，只有掌握了理論結果和相關概念，才能進一步有所創(chuàng)新。

　　在教材選取上面，我們選取了李榮華、劉播等主編的《微分方程數(shù)值解法》[1]作為主要參考教材。

　　選用Arieh Iserles主編的《A first course in the numerical analysis of differential equations》為主要輔助教材(網(wǎng)站下載)[5]。

　　該英文版教材作者英文功底深厚，相應的概念、定理、定義表達簡潔容易理解，閱讀該教材有種閱讀英文科技小品的感受，對提高學生的英文水平非常有幫助。

　　授課采用計算機多媒體輔助教學。

　　首先讓學生閱讀中文教材以熟悉所學概念定理等內(nèi)容，同時對所學的算法知識、理論知識也有一定的了解。

　　上課PPT采用全英文書寫，采用中文授課。

　　當用英文表示所學概念時，老師給出其相應的中文含義，由于學生先期對該概念有了一定的預習，那么接受英文概念則不是太困難。

　　只要教師及時對這個英文專業(yè)詞匯進行解釋，學習過程中則不會存在太大的困難。

　　英文概念詞匯有助于學生獲悉如何用英語表達我們常見的數(shù)學概念和定義定理等內(nèi)容。

　　同時也有助于學生進一步理解數(shù)學概念內(nèi)涵和激發(fā)學生學習英語的熱情。

　　例如，第一章中對于常微分方程的向量場的概念，如果采用英文Vector field則更容易理解。

　　對于Euler 法的重要基礎地位，英文教材描述頗有味道：In a deep and profound sense， all the fancy multi-step and Runge-Kutta schemes are nothing but a generalization of the basic paradigm (yn+1=yn+hf(tn，yn)，n=0，1，…)[5]。

　　這句話既強調(diào)了Euler迭代公式的基礎地位，進一步說明多步法(multi-step)和龍格-庫塔法(Runge-Kutta)的新奇性和實用性。

　　雖然Runge-Kutta法是Euler法的推廣，但是其理論推導在短時間內(nèi)不容易弄清楚，主要困難在于需要學生了解數(shù)值積分的代數(shù)精度概念、誤差收斂階，多元函數(shù)的Taylor展開，即如何靈活應用未知函數(shù)y(t)的各階導數(shù)與右端函數(shù)f(t，y)的偏導數(shù)之間關系來對參數(shù)ki進行Taylor級數(shù)展開。

　　在實踐教學方面，教育部對高校本科教學工作的若干意見中重點強調(diào)了要進一步加強實踐教學，注重學生創(chuàng)新精神和實踐能力的培養(yǎng)，切實提高大學生的實踐能力，切實加強實驗等實踐教學環(huán)節(jié)[3～4]。

　　所以，微分方程數(shù)值解法的計算式實驗環(huán)節(jié)也需引起足夠重視。

　　通過計算機編程，有助于學生更好的理清各種算法的運算步驟，深入理解算法內(nèi)涵，對掌握微分方程數(shù)值解法的學習方法能起到重要的作用。

　　3 存在的問題和總結

　　在教學伊始，學生的學習積極性并不高漲。

　　主要是因為同學們接受新鮮事物有一個過程，心底里認為使用英語教學沒有必要，課前預習不充分，不愿意花精力去記憶消化英文概念和理解英文句法。

　　為達到較理想的教學效果，還需要學生在思想上高度重視。

　　國外原版英文教材價格太貴，并且教材內(nèi)容比我們教學大綱要多，我們必須有針對性地選擇重點章節(jié)講解，并不能面面俱到。

　　受師資水平和學生英文水平限制，我們目前上課還無法使用英語口語教學。

　　一是授課教師沒有在國外高校進行過改門課程的講授，口語不純正;二是學生的專業(yè)數(shù)學概念詞匯少和聽力理解。

　　這就要求在平時教學過程中，師生都要有目的的加強練習，及時發(fā)現(xiàn)問題并提出可行的解決方案并不斷積累經(jīng)驗。

　　參考文獻

　　[1] 黃振侃.數(shù)值計算-微分方程數(shù)值解[M].北京工業(yè)大學出版社，2006.

　　[2] 李榮華，劉播.微分方程數(shù)值解法[M]. 高等教育出版社，2009.

　　[3] 教育部.關于加強高等學校本科教學工作提高教學質量的若干意見[Z].2001.

　　[4] 教育部.關于進一步加強高等學校本科教學工作的若干意見[Z].2005.

　　[5] Arieh Iserles， A first course in the numerical analysis of differential equations[M].Cambridge University Press，2008.

　　微分方程的近似解【3】

　　【摘要】微分方程的近似解具有很大的理論意義，而微分方程的解和解的唯一性又是進行近似計算的前提，也是求微分方程近似解的理論基礎。

　　對于有初始條件的微分方程可以選用，歐拉方法和逐次逼近的方法來求得微方程近似解。

　　【關鍵詞】微分方程的近似解;歐拉折線法;逐次逼近法;唯一性定理

　　微分方程理論中最基本的內(nèi)容是微分方程解存在唯一性定理，它具有重大的理論意義。

　　但是，由于能求出精確的微分方程為數(shù)不多，那么，微分方程近似解法就顯得十分重要，而解的存在和唯一又是進行近似計算的前提。

　　如果微分方程的解存在，而不唯一，由于不知道要確定哪一個解卻要近似地去確定它，問題也是不明確的，這樣一來，微分方程解的存在和唯一，也就是近似求解的前提和理論基礎。

　　下面我就只有已知初始值的問題，對這個問題說明歐拉方法和逐次逼近法的思想，來近似求解微分方程。

　　歐拉折線法

　　設在平面上點(x，y)上某個區(qū)域D中給定微分方程：(1)

　　且該方程在區(qū)域D上定義了一個方向，(1)在D上任取一點(x0，y0)，經(jīng)過這個點作直線L0。

　　(2)在直線L0上任取一點(x1，y1)且使(x1，y1)相當接近于(x0，y0)，經(jīng)過點(x1，y1)作直線L1。

　　(3)在L1上任取一點(x2，y2)，且使(x2，y2)相當接近(x1，y1)，再作直線L2………….

　　設x0　　我們希望通過(x0，y0)點的每一條歐拉折線，當每一段都很短時，可以作為通過點(x0，y0)的積分曲線L的某種表示，當最長的線段都趨于零時，即每段也都趨于零時，歐拉折線就接近于積分曲線。

　　當然在這里我們首先必須假定積分曲線存在是唯一的。

　　事實上只要函數(shù)f(x，y)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，就可以得出無限序列的歐拉折線，其最長的直線趨近于零。

　　則這個序列就收斂于某個積分曲線L.

　　但在此時僅是存在，一般說來還不是唯一的。

　　可能存在不同序列的歐拉折線，它們收斂于不同的積分曲線，且均通過同一個點(x0，y0)。

　　例如：僅含有一個未知數(shù)的一階微分方程.(2)

　　為使得在區(qū)域D中任何點的斜率為f(x，y)，必須除掉平行于oy軸的方向，我們研究的曲線只是x的函數(shù)圖形。

　　因此，如果某一曲線它與垂直于于X軸的另一直線有多于一點的交點，這個函數(shù)就不是單值對應，此時，我們把(2)的求解問題加以推廣，而考慮：

　　還有基于其它思想，找尋微分方程解的近似方法，比如克雷洛夫方法也是可行的方法之一。

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