- 相關(guān)推薦
微分方程的近似解法
微分方程的近似解法【1】
【摘要】微分方程的近似解具有很大的理論意義，而微分方程的解和解的唯一性又是進(jìn)行近似計(jì)算的前提，也是求微分方程近似解的理論基礎(chǔ)。對(duì)于有初始條件的微分方程可以選用，歐拉方法和逐次逼近的方法來(lái)求得微方程近似解。
【關(guān)鍵詞】微分方程的近似解;歐拉折線法;逐次逼近法;唯一性定理
微分方程理論中最基本的內(nèi)容是微分方程解存在唯一性定理，它具有重大的理論意義。但是，由于能求出精確的微分方程為數(shù)不多，那么，微分方程近似解法就顯得十分重要，而解的存在和唯一又是進(jìn)行近似計(jì)算的前提。
如果微分方程的解存在，而不唯一，由于不知道要確定哪一個(gè)解卻要近似地去確定它，問(wèn)題也是不明確的，這樣一來(lái)，微分方程解的存在和唯一，也就是近似求解的前提和理論基礎(chǔ)。下面我就只有已知初始值的問(wèn)題，對(duì)這個(gè)問(wèn)題說(shuō)明歐拉方法和逐次逼近法的思想，來(lái)近似求解微分方程。
歐拉折線法
設(shè)在平面上點(diǎn)(x，y)上某個(gè)區(qū)域D中給定微分方程：
(1)
且該方程在區(qū)域D上定義了一個(gè)方向，(1)在D上任取一點(diǎn)(x0，y0)，經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)作直線L0。(2)在直線L0上任取一點(diǎn)(x1，y1)且使(x1，y1)相當(dāng)接近于(x0，y0)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(x1，y1)作直線L1。(3)在L1上任取一點(diǎn)(x2，y2)，且使(x2，y2)相當(dāng)接近(x1，y1)，再作直線L2………….
設(shè)x0
我們希望通過(guò)(x0，y0)點(diǎn)的每一條歐拉折線，當(dāng)每一段都很短時(shí)，可以作為通過(guò)點(diǎn)(x0，y0)的積分曲線L的某種表示，當(dāng)最長(zhǎng)的線段都趨于零時(shí)，即每段也都趨于零時(shí)，歐拉折線就接近于積分曲線。
當(dāng)然在這里我們首先必須假定積分曲線存在是唯一的。事實(shí)上只要函數(shù)f(x，y)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，就可以得出無(wú)限序列的歐拉折線，其最長(zhǎng)的直線趨近于零。則這個(gè)序列就收斂于某個(gè)積分曲線L.
但在此時(shí)僅是存在，一般說(shuō)來(lái)還不是唯一的。可能存在不同序列的歐拉折線，它們收斂于不同的積分曲線，且均通過(guò)同一個(gè)點(diǎn)(x0，y0)。
例如：僅含有一個(gè)未知數(shù)的一階微分方程.
(2)
為使得在區(qū)域D中任何點(diǎn)的斜率為f(x，y)，必須除掉平行于oy軸的方向，我們研究的曲線只是x的函數(shù)圖形。因此，如果某一曲線它與垂直于于X軸的另一直線有多于一點(diǎn)的交點(diǎn)，這個(gè)函數(shù)就不是單值對(duì)應(yīng)，此時(shí)，我們把(2)的求解問(wèn)題加以推廣，而考慮：
還有基于其它思想，找尋微分方程解的近似方法，比如克雷洛夫方法也是可行的方法之一。
微分方程的數(shù)值解法【2】
摘要：本文結(jié)合數(shù)例詳細(xì)闡述了最基本的解決常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值法，即Euler方法、改進(jìn)Euler法，并進(jìn)行了對(duì)比，總結(jié)了它們各自的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，為我們深入探究微分方程的其他解法打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
關(guān)鍵詞:常微分方程 數(shù)值解法 Euler方法 改進(jìn)Euler法
1、Euler方法
由微分方程的相關(guān)概念可知，初值問(wèn)題的解就是一條過(guò)點(diǎn) 的積分曲線 ，并且在該曲線上任一點(diǎn) 處的切線斜率等于函數(shù) 的值。
根據(jù)數(shù)值解法的基本思想，我們?nèi)〉染喙?jié)點(diǎn) ，其中h為步長(zhǎng)，在點(diǎn) 處，以 為斜率作直線 交直線 于點(diǎn) 。如果步長(zhǎng) 比較小，那么所作直線 與曲線 的偏差不會(huì)太大，所以可用 的近似值，即： ，再?gòu)狞c(diǎn) 出發(fā)，以 為斜率作直線 ，作為 的近似值，即：
重復(fù)上述步驟，就能逐步求出準(zhǔn)確解 在各節(jié)點(diǎn) 處的近似值。一般地，若 為 的近似值，則過(guò)點(diǎn) 以 為斜率的直線為：
從而 的近似值為：
此公式就是Euler公式。因?yàn)镋uler方法的思想是用折線近似代替曲線，所以Euler方法又稱(chēng)Euler折線法。Euler方法是初值問(wèn)題數(shù)值解中最簡(jiǎn)單的一種方法，由于它的精度不高，當(dāng)步數(shù)增多時(shí)，由于誤差的積累，用Euler方法作出的折線可能會(huì)越來(lái)越偏離曲線 。舉例說(shuō)明：
解： ,
精確解為：
1.2 -0.96 -1 0.04
1.4 -0.84 -0.933 0.933
1.6 -0.64 -0.8 0.16
1.8 -0.36 -0.6 0.24
2.0 0 -0.333 0.33
2.2 0.44 0 0.44
通過(guò)上表可以比較明顯地看出誤差隨著計(jì)算在積累。
2、改進(jìn)Euler法
方法構(gòu)造
在常微分方程初值問(wèn)題 ,對(duì)其從 到 進(jìn)行定積分得:
用梯形公式將右端的定積分進(jìn)行近似計(jì)算得：
用 和 來(lái)分別代替 和 得計(jì)算格式:
這就是改進(jìn)的Euler法。
解：
解得：
由于 ,是線形函數(shù)可以從隱式格式中解出
問(wèn)題的精確解是
誤差
0.2 2.421403 2.422222 0.000813 0.02140
0.4 2.891825 2.893827 0.00200 0.05183
0.6 3.422119 3.425789 0.00367 0.09411
2.0 10.38906 10.43878 0.04872 1.1973
通過(guò)比較上表的第四列與第五列就能非常明顯看出改進(jìn)Euler方法精度比Euler方法精度高。
3、結(jié)語(yǔ)
Euler方法是一種最簡(jiǎn)單的解決常微分方程初值問(wèn)題的方法，相應(yīng)的它的精度最低，在計(jì)算中如果步長(zhǎng)h較大的話，誤差將會(huì)比較大，所以使用時(shí)應(yīng)注意控制步長(zhǎng)h，并且隨著步長(zhǎng)的增多誤差的不斷積累，最后所得的結(jié)果誤差也會(huì)較大，只有在控制步長(zhǎng)、精度要求不高的情況下使用，主要適用于對(duì) 的估值上;雖然改進(jìn)Euler法在取相同步長(zhǎng)h時(shí)它的計(jì)算量是Euler方法的二倍，但它的精度比較高，能夠滿(mǎn)足一般要求，平時(shí)使用較多。
參考文獻(xiàn)
[1]朱思銘,王壽松,李艷會(huì).常微分方程(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2006.
[2]余德浩,湯華中.《微分方程數(shù)值解法》.科學(xué)出版社,北京:2002.
[3]李慶樣等編.《數(shù)值分析》.高等教育出版社,2000.
【微分方程的近似解法】相關(guān)文章：
近似數(shù)教學(xué)教案02-05
分式方程的解法教學(xué)教案10-07
近似數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)教案10-08
簡(jiǎn)述計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)軟件在常微分方程中的應(yīng)用10-06
求商的近似值設(shè)計(jì)教案10-09
商的近似值的教學(xué)方案10-07