微分方程的數(shù)值解法

時間：2022-10-07 14:26:06 數(shù)學(xué)畢業(yè)論文我要投稿

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微分方程的數(shù)值解法

　　微分方程的數(shù)值解法【1】

　　摘要：本文結(jié)合數(shù)例詳細闡述了最基本的解決常微分方程初值問題的數(shù)值法，即Euler方法、改進Euler法，并進行了對比，總結(jié)了它們各自的優(yōu)點和缺點，為我們深入探究微分方程的其他解法打下了堅實的基礎(chǔ)。

　　關(guān)鍵詞:常微分方程數(shù)值解法 Euler方法改進Euler法

　　1、Euler方法

　　由微分方程的相關(guān)概念可知，初值問題的解就是一條過點的積分曲線，并且在該曲線上任一點處的切線斜率等于函數(shù) 的值。

　　根據(jù)數(shù)值解法的基本思想，我們?nèi)〉染喙?jié)點，其中h為步長，在點處，以為斜率作直線交直線于點。

　　如果步長比較小，那么所作直線與曲線的偏差不會太大，所以可用的近似值，即：，再從點出發(fā)，以為斜率作直線，作為的近似值，即：

　　重復(fù)上述步驟，就能逐步求出準確解在各節(jié)點處的近似值。

　　一般地，若為的近似值，則過點以為斜率的直線為：

　　從而的近似值為：

　　此公式就是Euler公式。

　　因為Euler方法的思想是用折線近似代替曲線，所以Euler方法又稱Euler折線法。

　　Euler方法是初值問題數(shù)值解中最簡單的一種方法，由于它的精度不高，當步數(shù)增多時，由于誤差的積累，用Euler方法作出的折線可能會越來越偏離曲線。

　　舉例說明：

　　解： ,

　　精確解為：

　　1.2 -0.96 -1 0.04

　　1.4 -0.84 -0.933 0.933

　　1.6 -0.64 -0.8 0.16

　　1.8 -0.36 -0.6 0.24

　　2.0 0 -0.333 0.33

　　2.2 0.44 0 0.44

　　通過上表可以比較明顯地看出誤差隨著計算在積累。

　　2、改進Euler法

　　方法構(gòu)造

　　在常微分方程初值問題 ,對其從到進行定積分得:

　　用梯形公式將右端的定積分進行近似計算得：

　　用和來分別代替和得計算格式:

　　這就是改進的Euler法。

　　解：

　　解得：

　　由于 ,是線形函數(shù)可以從隱式格式中解出

　　問題的精確解是

　　誤差

　　0.2 2.421403 2.422222 0.000813 0.02140

　　0.4 2.891825 2.893827 0.00200 0.05183

　　0.6 3.422119 3.425789 0.00367 0.09411

　　2.0 10.38906 10.43878 0.04872 1.1973

　　通過比較上表的第四列與第五列就能非常明顯看出改進Euler方法精度比Euler方法精度高。

　　3、結(jié)語

　　Euler方法是一種最簡單的解決常微分方程初值問題的方法，相應(yīng)的它的精度最低，在計算中如果步長h較大的話，誤差將會比較大，所以使用時應(yīng)注意控制步長h，并且隨著步長的增多誤差的不斷積累，最后所得的結(jié)果誤差也會較大，只有在控制步長、精度要求不高的情況下使用，主要適用于對的估值上;雖然改進Euler法在取相同步長h時它的計算量是Euler方法的二倍，但它的精度比較高，能夠滿足一般要求，平時使用較多。

　　參考文獻

　　[1]朱思銘,王壽松,李艷會.常微分方程(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2006.

　　[2]余德浩,湯華中.《微分方程數(shù)值解法》.科學(xué)出版社,北京:2002.

　　[3]李慶樣等編.《數(shù)值分析》.高等教育出版社,2000.

　　微分方程數(shù)值解法雙語教學(xué)模式【2】

　　摘要：微分方程數(shù)值解是高等院校信息與計算科學(xué)專業(yè)的一門重要專業(yè)基礎(chǔ)課。

　　本課程既有數(shù)學(xué)上的嚴密性、邏輯性，又有數(shù)值計算的科學(xué)性，在數(shù)值分析中占有極其重要的地位。

　　雙語教學(xué)是教育部積極倡導(dǎo)的一種教學(xué)模式，主要采用漢語和英語相結(jié)合的方式進行授課。

　　本文主要探討該課程的雙語教學(xué)模式，并對教學(xué)過程中出現(xiàn)的一些問題進行了思考。

　　關(guān)鍵詞：微分方程數(shù)值解法雙語教學(xué) 有限差分法

　　微分方程數(shù)值解法就主要研究如何通過離散算法將連續(xù)形式的微分方程轉(zhuǎn)化為有限維問題，如代數(shù)方程組，進而來求解其近似解[1]。

　　它以逼近論、數(shù)值代數(shù)等學(xué)科為基礎(chǔ)，探討有效的微分方程數(shù)值解法。

　　主要包括求解區(qū)域網(wǎng)格劃分、離散方程的建立、方程性能分析、近似解收斂性分析等環(huán)節(jié)。

　　探索微分方程數(shù)值解法是有積極而重要的科學(xué)意義的，這是因為：(1)在實際應(yīng)用中，我們只關(guān)心方程在某個范圍內(nèi)對應(yīng)于某些特定的自變量的解的取值或近似值;(2)絕大多數(shù)情況下，無法找到方程的解析解，即使解析解存在也不一定能表示為顯式解。

　　微分方程數(shù)值解法在計算物理、化學(xué)、流體力學(xué)航空航天等很多工程領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用。

　　目前已發(fā)展成為一門計算技術(shù)學(xué)科，其核心理論內(nèi)容也成為高校計算數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)等專業(yè)的核心基礎(chǔ)專業(yè)課程之一[2]。

　　1 雙語教學(xué)的必要性

　　現(xiàn)代社會的高素質(zhì)專業(yè)人才不僅要具備扎實的專業(yè)知識，還須具備流利地應(yīng)用英語進行溝通和交流的能力。

　　雙語教學(xué)是教育部積極倡導(dǎo)的一種課堂教學(xué)模式，在2001年公布的《關(guān)于加強高等學(xué)校本科教學(xué)工作提高教學(xué)質(zhì)量的若干意見》中指出要“積極推動使用英語等外語進行教學(xué)”[3]，主要是在課堂教學(xué)過程中采用母語和以英文為代表的多種語言教學(xué)。

　　其目的就是為了跟上經(jīng)濟全球化的步伐和迎接科技革命的挑戰(zhàn)。

　　對高新技術(shù)領(lǐng)域中的諸如信息技術(shù)、生物技術(shù)、金融、法律等專業(yè)，力爭三年內(nèi)，外語教學(xué)課程達到所開課程的5%～10%[3]。

　　2005年，在教育部頒布的《關(guān)于進一步加強高等學(xué)校本科教學(xué)工作的若干意見》中進一步要求高校要“以大學(xué)英語教學(xué)改革為突破口，提高大學(xué)生的國際交流與合作能力”，進一步明確了要“提高雙語教學(xué)課程的質(zhì)量并擴大雙語教學(xué)的課堂數(shù)量”[4]。

　　可見，國家教育部門對高校采用雙語教學(xué)給予了相當?shù)闹匾暫推谕?/p>

　　微分方程數(shù)值解法既有數(shù)學(xué)上嚴密的邏輯性、獨特的理論結(jié)構(gòu)體系，又在各種工程計算中有著重要的應(yīng)用，因此是聯(lián)系純數(shù)學(xué)理論和工程應(yīng)用的橋梁和紐帶。

　　另一方面，很多數(shù)值計算軟件開發(fā)平臺和幫助文件都是用英文開發(fā)的，而數(shù)值微分各種理論算法又可以直接用偽代碼表示，如何對數(shù)學(xué)專業(yè)英語很嫻熟，那么應(yīng)用這些數(shù)值計算軟件就得心應(yīng)手，亦可以熟練與國際同行交流。

　　再者，該課程一般在高年級開設(shè)，通過大學(xué)兩年的英語教學(xué)積累，大部分同學(xué)已經(jīng)達到了大學(xué)英語四級水平，可以較容易的閱讀數(shù)學(xué)專業(yè)文獻。

　　同時，高年級的同學(xué)對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論知識，如數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、數(shù)值分析、常微分方程、偏微分方程等有了較好的掌握，繼續(xù)接受方程的數(shù)值解的概念和理論是順理成章的事情。

　　因此，無論是實際工程需要還是學(xué)生自身素質(zhì)，對微分方程數(shù)值解進行雙語教學(xué)都是可行的、必須的。

　　本文擬結(jié)合重慶理工大學(xué)信息與計算科學(xué)專業(yè)課程的設(shè)置，對微分方程數(shù)值解法的雙語教學(xué)模式進行探討，以尋求適合我校數(shù)學(xué)專業(yè)課程的雙語教學(xué)模式。

　　2 課堂教學(xué)模式探討和上機實驗

　　課堂理論教學(xué)是學(xué)習(xí)《微分方程數(shù)值解法》的主要方式，務(wù)必引起足夠重視。

　　大學(xué)教育離不開課堂教學(xué)，而課堂教學(xué)離不開講授。

　　理論是科學(xué)的基礎(chǔ)，理論是創(chuàng)新的基石，只有掌握了理論結(jié)果和相關(guān)概念，才能進一步有所創(chuàng)新。

　　在教材選取上面，我們選取了李榮華、劉播等主編的《微分方程數(shù)值解法》[1]作為主要參考教材。

　　選用Arieh Iserles主編的《A first course in the numerical analysis of differential equations》為主要輔助教材(網(wǎng)站下載)[5]。

　　該英文版教材作者英文功底深厚，相應(yīng)的概念、定理、定義表達簡潔容易理解，閱讀該教材有種閱讀英文科技小品的感受，對提高學(xué)生的英文水平非常有幫助。

　　授課采用計算機多媒體輔助教學(xué)。

　　首先讓學(xué)生閱讀中文教材以熟悉所學(xué)概念定理等內(nèi)容，同時對所學(xué)的算法知識、理論知識也有一定的了解。

　　上課PPT采用全英文書寫，采用中文授課。

　　當用英文表示所學(xué)概念時，老師給出其相應(yīng)的中文含義，由于學(xué)生先期對該概念有了一定的預(yù)習(xí)，那么接受英文概念則不是太困難。

　　只要教師及時對這個英文專業(yè)詞匯進行解釋，學(xué)習(xí)過程中則不會存在太大的困難。

　　英文概念詞匯有助于學(xué)生獲悉如何用英語表達我們常見的數(shù)學(xué)概念和定義定理等內(nèi)容。

　　同時也有助于學(xué)生進一步理解數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)英語的熱情。

　　例如，第一章中對于常微分方程的向量場的概念，如果采用英文Vector field則更容易理解。

　　對于Euler 法的重要基礎(chǔ)地位，英文教材描述頗有味道：In a deep and profound sense， all the fancy multi-step and Runge-Kutta schemes are nothing but a generalization of the basic paradigm (yn+1=yn+hf(tn，yn)，n=0，1，…)[5]。

　　這句話既強調(diào)了Euler迭代公式的基礎(chǔ)地位，進一步說明多步法(multi-step)和龍格-庫塔法(Runge-Kutta)的新奇性和實用性。

　　雖然Runge-Kutta法是Euler法的推廣，但是其理論推導(dǎo)在短時間內(nèi)不容易弄清楚，主要困難在于需要學(xué)生了解數(shù)值積分的代數(shù)精度概念、誤差收斂階，多元函數(shù)的Taylor展開，即如何靈活應(yīng)用未知函數(shù)y(t)的各階導(dǎo)數(shù)與右端函數(shù)f(t，y)的偏導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系來對參數(shù)ki進行Taylor級數(shù)展開。

　　在實踐教學(xué)方面，教育部對高校本科教學(xué)工作的若干意見中重點強調(diào)了要進一步加強實踐教學(xué)，注重學(xué)生創(chuàng)新精神和實踐能力的培養(yǎng)，切實提高大學(xué)生的實踐能力，切實加強實驗等實踐教學(xué)環(huán)節(jié)[3～4]。

　　所以，微分方程數(shù)值解法的計算式實驗環(huán)節(jié)也需引起足夠重視。

　　通過計算機編程，有助于學(xué)生更好的理清各種算法的運算步驟，深入理解算法內(nèi)涵，對掌握微分方程數(shù)值解法的學(xué)習(xí)方法能起到重要的作用。

　　3 存在的問題和總結(jié)

　　在教學(xué)伊始，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性并不高漲。

　　主要是因為同學(xué)們接受新鮮事物有一個過程，心底里認為使用英語教學(xué)沒有必要，課前預(yù)習(xí)不充分，不愿意花精力去記憶消化英文概念和理解英文句法。

　　為達到較理想的教學(xué)效果，還需要學(xué)生在思想上高度重視。

　　國外原版英文教材價格太貴，并且教材內(nèi)容比我們教學(xué)大綱要多，我們必須有針對性地選擇重點章節(jié)講解，并不能面面俱到。

　　受師資水平和學(xué)生英文水平限制，我們目前上課還無法使用英語口語教學(xué)。

　　一是授課教師沒有在國外高校進行過改門課程的講授，口語不純正;二是學(xué)生的專業(yè)數(shù)學(xué)概念詞匯少和聽力理解。

　　這就要求在平時教學(xué)過程中，師生都要有目的的加強練習(xí)，及時發(fā)現(xiàn)問題并提出可行的解決方案并不斷積累經(jīng)驗。

　　參考文獻

　　[1] 黃振侃.數(shù)值計算-微分方程數(shù)值解[M].北京工業(yè)大學(xué)出版社，2006.