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淺議高中數(shù)學(xué)中抽象函數(shù)問題的解法論文
本文從多個(gè)方面介紹了數(shù)學(xué)抽象函數(shù)的應(yīng)用，特別是從平移的角度說明了抽象函數(shù)的對(duì)稱問題，并就典型例題加以分析解答，對(duì)學(xué)生的常見錯(cuò)誤進(jìn)行了剖析。
抽象函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，關(guān)于抽象函數(shù)題目類型較多，形式靈活多變，考查內(nèi)容無論從深度和廣度，給人耳目一新的感受，現(xiàn)就其中幾個(gè)主要問題加以分類解析。
一、求抽象函數(shù)的定義域
1. 若已知函數(shù)f [g(x)]的定義域?yàn)閤∈(a，b)，求函數(shù)f(x)。
解決這類問題的方法是：利用a 例1. 已知函數(shù)f(x+1)的定義域是[-2，3]，求y=f(x)的定義域。
解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x+1)的定義域是[-2，3]，所以-2≤x≤3
所以-1≤x+1≤4， 因此y=f(x)的定義域是[-1，4]
2. 若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤∈(a，b)，求f [g(x)]函數(shù)的定義域。
解決這類問題的方法是：a 例2. 已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，1]，求函數(shù)g(x)=f(x+a)+f(x-a)(- 解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)?0，1]
所以0 由于- 所以不等式組(Ⅰ)的解為-a 即g(x)=f(x+a)+f(x-a)(-
二、抽象函數(shù)的周期性和奇偶性
1. 抽象函數(shù)的周期性
例3. 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=-f(x+2)，且當(dāng)x∈(-1，1]時(shí)，f(x)=x2+2x，
求當(dāng)x∈(3，5]時(shí)，f(x)的解析式。
解：∵f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x)
∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù)
設(shè)x∈(3，5]時(shí)，則-1 ∴f(x)=f(x-4)=(x+4)2+2(x-4)=x2-6x+8(3 評(píng)注：若對(duì)函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意，恒有下列條件之一成立(以下式子分母不為零，a≠0)
①f(x+a)=-f(x) ②f(x+a)= ③f(x+a)=-
�、躥(x+a)=- ⑤f(x+a)=- ⑥f(x+a)=f(x-a)
則函數(shù)f(x)是以2a為周期的周期函數(shù)①
2. 抽象函數(shù)的奇偶性
奇、偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)，有時(shí)為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，也往往需要先將函數(shù)進(jìn)行化簡，或運(yùn)用定義的等價(jià)形式，但對(duì)于抽象函數(shù)的奇偶性的判斷主要是用賦值法，構(gòu)造出定義的形式。
例4. 已知定義在上的函數(shù)f(x)，對(duì)于任意x，y∈R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0
(1)求f(0)的值
(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性
解：(1)令x=y=0，則有2f(0)=2[f(0)]2 ∵f(0)≠0∴ f(0)=1
(2)令x=0，得f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y)
所以f(-y)=f(y)這說明函數(shù)f(x)是偶函數(shù)。
三、抽象函數(shù)圖像的對(duì)稱變換
結(jié)論1：①函數(shù)y=f(-x)與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱;
②函數(shù)y=-f(x)與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱;
�、酆瘮�(shù)y=-f(-x)與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)軸對(duì)稱;
④函數(shù)y=f-1(x)與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線y=x軸對(duì)稱。
結(jié)論2：若對(duì)定義域內(nèi)的一切x均有f(x+m)=f(n-x)成立，則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x= 對(duì)稱。
結(jié)論3：函數(shù)y=f(x+a)與y=f(-x+b)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱(a，b為常數(shù))。
例5. 設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)�，則函數(shù)y=f(x-1)與y=f(1-x)的圖像關(guān)于( )
A. 直線y=0對(duì)稱 B. 直線x=0對(duì)稱
C. 直線y=1對(duì)稱 D. 直線x=1對(duì)稱
錯(cuò)解：因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x-1)=f(1-x)，所以函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=0對(duì)稱，故選擇B。
錯(cuò)解分析：錯(cuò)誤的原因是將兩個(gè)不同的對(duì)稱問題混為一談，即將兩個(gè)不同函數(shù)圖像的對(duì)稱問題，錯(cuò)誤地當(dāng)成一個(gè)函數(shù)的圖像對(duì)稱問題，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤。
正解：因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，而y=f(x-1)的圖像是y=f(x)圖像向右平移1個(gè)單位而得到的f(1-x)=f[-(x-1)]的圖像是y=f(-x)圖像向右平移1個(gè)單位而得到的，又因?yàn)閒(x)與f(-x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，因此函數(shù)y=f(x-1)與y=f(1-x的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故應(yīng)該選擇D。
四、求抽象函數(shù)的解析式
解決抽象函數(shù)解析式的問題，關(guān)鍵是構(gòu)造出函數(shù)f(x)。通常采取賦值法，賦予恰當(dāng)?shù)臄?shù)值或代數(shù)式后，通過合理運(yùn)算推理，最后得出結(jié)論。
例6. 已知f(0)=1，f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1)，求函數(shù)f(x)的解析式。
解：令a=0，則 f(-b)=f(0)-b(-b-1)=1+b(b-1)=b2-b+1
再令-b=x，即得f(x)=x2+x+1
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