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巧解積分的幾種方法
巧解積分的幾種方法【1】
【摘要】 有些積分用傳統(tǒng)的積分方法計(jì)算比較繁瑣，該文總結(jié)了常用的巧解積分的幾種方法和技巧.這些方法和技巧既可以減少計(jì)算量，提高計(jì)算效率，同時(shí)又可以開拓解題思路，提高學(xué)生的積分計(jì)算能力.
【關(guān)鍵詞】 對(duì)稱性;巧解;計(jì)算技巧.
積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中，許多問題都可以歸結(jié)為積分的計(jì)算問題，而且重積分、曲線、曲面積分最終都轉(zhuǎn)化為定積分的計(jì)算.計(jì)算定積分的一種行而有效的工具是微積分基本公式，即牛頓―萊布尼茨公式.但一個(gè)顯見的事實(shí)是：若被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，則牛頓―萊布尼茨公式就失去了效力;另一方面當(dāng)被積函數(shù)本身形式復(fù)雜，傳統(tǒng)的積分方法也相形見絀，發(fā)揮不了作用.為了減少計(jì)算量和提高計(jì)算效率，我們總結(jié)了如下幾種常見的巧解積分的方法和技巧.
一般情況下，積分并不是這種形式，需要通過換元或?qū)ΨQ性對(duì)積分進(jìn)行變換或變形.
5.巧用對(duì)偶性
有些積分單獨(dú)考慮時(shí)比較難以積出結(jié)果，倘若構(gòu)造出另一個(gè)積分作為對(duì)偶，兩個(gè)積分同時(shí)考慮則可利用兩積分相互之間的良好關(guān)聯(lián)性質(zhì)，即可簡(jiǎn)單地求出原積分，這種利用對(duì)偶求解積分的方法稱為對(duì)偶(“伴侶”)法.
總之，由于積分的形式具有多樣性，導(dǎo)致積分的計(jì)算有很強(qiáng)的靈活性.對(duì)具體函數(shù)的積分，我們不能只停留在一般的方法上，要積極嘗試新的方法，具體問題具體分析，才能尋求到最佳解法提高積分的解題技能.
【參考文獻(xiàn)】
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巧解排列組合題的幾種方法【2】
〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué);排列組合題;解答;方法
排列、組合題是高中數(shù)學(xué)中相對(duì)獨(dú)立的部分內(nèi)容，它與其他知識(shí)聯(lián)系較少，內(nèi)容比較抽象。不少學(xué)生在學(xué)習(xí)排列、組合問題時(shí)，感到束手無策，并時(shí)常出現(xiàn)錯(cuò)誤。那么，怎樣才能快速解答排列組合題呢?首先必須認(rèn)真審題，明確是屬于排列問題還是組合問題，或者屬于排列與組合的混合問題;其次要抓住問題的本質(zhì)特征，靈活運(yùn)用基本原理和公式進(jìn)行分析，同時(shí)還要講究一些策略和方法方面的技巧。
一、相鄰問題合一法
對(duì)于相鄰問題，先將相鄰元素“合并在一起”，當(dāng)作一個(gè)元素進(jìn)行全排列，然后再把個(gè)別相鄰元素進(jìn)行交換排列。
例1 6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙兩人必須排在一起的不同排法有( )
A.720種 B.360種 C.240種 D.120種
分析：因?yàn)榧�、乙必須排在一起，姑且把他�?ldquo;合并”在一起，當(dāng)作一個(gè)人對(duì)待。這樣就相當(dāng)于只有5名同學(xué)進(jìn)行全排列，共有A =120種排法，但甲、乙相鄰有兩種排法，因而共有2A =2×120=240種排法。
二、不相鄰問題定位法
對(duì)于不相鄰問題，可先將不相鄰元素進(jìn)行“定位”排列，然后再對(duì)其他元素進(jìn)行全排列。
例2 6個(gè)人站成一排，甲、乙之間必須間隔兩人的不同站法有( )
A.144種 B.72種 C.48種 D.24種
分析：因?yàn)榧�、乙不相鄰，并且他倆之間必須間隔兩人。先將甲(乙)安排(或不排)在某位置，后排其他人，按照甲(乙)所站的位置可分3類。
1.甲(乙)站在左起第一位時(shí)，乙(甲)必須站在第4位，共有2A =48種。
2.甲(乙)站在左起第二位時(shí)，乙(甲)必須站在第5位，共有2A=48種。
3.甲(乙)站在左起第三位時(shí)，乙(甲)必須站在第6位，共有2 A=48種。
所以，根據(jù)加法原理得，合乎題意的不同排法種數(shù)為48+48+48=144種。
三、特殊元素(位置)先排法
對(duì)于帶有特殊元素(位置)的排列、組合問題，先滿足特殊元素或特殊位置，即先考慮特殊元素(位置)，后考慮其他一般元素(位置)。
例3 學(xué)校上午共四節(jié)課，某班上午要排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、物理、體育四門課程，要求體育課不能排在第一節(jié)和第四節(jié)，共有多少種不同排課方案?
分析：本題有兩種方法，可以優(yōu)先安排特殊元素，也可以優(yōu)先安排特殊位置。下面就優(yōu)先安排特殊元素的方法進(jìn)行講解。
由于體育課不能排在第一節(jié)，也不能排在第四節(jié)課，故體育課就是“特殊元素”，應(yīng)優(yōu)先安排。按體育課排在第二節(jié)和第三節(jié)課分兩類。
1.體育課排在第二節(jié)，其余課程做全排列有 A=6種排法排課方案。
2.體育課排在第三節(jié)，其余課程做全排列有A=6種排法。
由分類計(jì)數(shù)原理，共A+A=2A=12種排課方案。
四、先選后排法
從幾個(gè)元素中選出符合條件的幾個(gè)元素，然后進(jìn)行排列組合。
例4 由5男4女中選出3男2女組成體育代表隊(duì)，但正、副隊(duì)長(zhǎng)必得由男隊(duì)員擔(dān)任，問共有( )種選法?
A.126種 B.180種 C.360種 D.720種
分析：5名男運(yùn)動(dòng)員中選出3名，有C=10種選法。4名女運(yùn)動(dòng)員選出2名，有C=6種選法。按乘法原理，共有C·C=10×6=60種選法。但選出的3名男生哪兩名擔(dān)任正、副隊(duì)長(zhǎng)，這是一個(gè)排列問題。于是選正、副隊(duì)長(zhǎng)共有A=6種選法。
把以上隊(duì)員的選取和正、副隊(duì)長(zhǎng)的選舉結(jié)合起來，由分步計(jì)數(shù)原理便知共有C·C·A=10×6×6=360種選法。
五、不相鄰問題插空法
對(duì)于幾個(gè)元素不相鄰的排列問題，可先將無特殊要求的元素進(jìn)行全排，再將規(guī)定不相鄰的元素在已排好的元素之間及兩端空隙處插入。
例5 3個(gè)男生和4個(gè)女生站成一排，男生不能相鄰，有多少種不同的排法?
分析：先將4名女生進(jìn)行排列，共有A=24種排法，再在這四名女生之間及兩端的5個(gè)“空檔”處選三個(gè)位置讓3名男生插入，則有A=60種排法，所以共有A·A=24×60=1440種排法。
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