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獨(dú)立學(xué)院線性代數(shù)教學(xué)點(diǎn)滴論文
獨(dú)立學(xué)院線性代數(shù)教學(xué)點(diǎn)滴論文【1】
摘要：線性代數(shù)課程內(nèi)容具有一定的抽象性，是高校公共數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。
指導(dǎo)學(xué)生熟練掌握具有應(yīng)用性的知識(shí)，培養(yǎng)抽象思維和邏輯推理能力，是高校教師義不容辭的責(zé)任和進(jìn)行教學(xué)改革的主要方向。
關(guān)鍵詞：線性代數(shù);獨(dú)立學(xué)院;教學(xué)改革
線性代數(shù)課程內(nèi)容具有一定的抽象性，是高校公共數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。
信息技術(shù)迅猛發(fā)展的今天，學(xué)科間不斷地相互交叉、滲透，作為基礎(chǔ)科學(xué)的數(shù)學(xué)更顯示出它的廣泛應(yīng)用性。
指導(dǎo)學(xué)生熟練掌握具有應(yīng)用性的知識(shí)，培養(yǎng)抽象思維和邏輯推理能力，是高校教師義不容辭的責(zé)任和進(jìn)行教學(xué)改革的主要方向。
目前獨(dú)立學(xué)院線性代數(shù)教學(xué)面臨的情況，較為突出的有兩個(gè)方面。
首先，教學(xué)對象即學(xué)生在快節(jié)奏的環(huán)境中成長，與以往精英教育時(shí)代學(xué)生最大的不同在于，他們思想活躍興趣廣泛，渴望學(xué)習(xí)新事物新知識(shí)，希望從老師那里學(xué)到更新、更具有實(shí)用價(jià)值的知識(shí)，這是他們的優(yōu)勢和特點(diǎn)，然而他們的生活?yuàn)蕵贩绞蕉鄻踊�，�?jié)奏又快，微博、手機(jī)、QQ、看小說等情形課間隨處可見，無形中對新時(shí)期教師授課提出更高的要求;其次，多年來線性代數(shù)課程教學(xué)內(nèi)容基本沒有太大變化。
從行列式、矩陣、線性方程組求解、向量空間到二次型，但獨(dú)立學(xué)院教學(xué)學(xué)時(shí)要減少到32課時(shí)且都是大班授課，學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱、獨(dú)立且思考能力較差，趕進(jìn)度似的匆忙輸入這些內(nèi)容，不可避免地使學(xué)生對線性代數(shù)產(chǎn)生排斥和抵觸情緒。
為此教師必須精心組織教學(xué)內(nèi)容，在傳統(tǒng)教學(xué)的基礎(chǔ)上尋找新的教學(xué)方式，達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果的目的。
本文結(jié)合所在獨(dú)立學(xué)院的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勛约旱捏w會(huì)。
一、把握中心 緊扣主線 合理布局 突出應(yīng)用
仔細(xì)看整個(gè)線性代數(shù)可以理解為圍繞著線性方程組的求解展開，從開始行列式的介紹，為解決一類特殊的線性方程組鋪墊，其中方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)一樣，之后的萊姆法則利用行列式工具把這一問題理論上解決了。
但實(shí)際計(jì)算起來未知量個(gè)數(shù)越多計(jì)算量越大，并且對于未知量個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)不等的線性方程組，此法則顯然不適用，主要原因是方程組的系數(shù)已經(jīng)不能構(gòu)成行列式。
有人就會(huì)問：“方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)不一樣時(shí)線性方程組如何求解”?由此開啟矩陣板塊的學(xué)習(xí)。
矩陣是線性代數(shù)這門課程最重要的工具，一般方程組的具體求解和判定理論都化為矩陣的相關(guān)問題，對矩陣的方法掌握得好壞直接影響到整門課程的學(xué)習(xí)，可以從經(jīng)濟(jì)學(xué)中的投入產(chǎn)出模型和通路矩陣等實(shí)際例子引入矩陣為一數(shù)表的概念，相關(guān)性質(zhì)這部分內(nèi)容必須精講。
之后用消元法求解線性方程組，這一最基本的思想學(xué)生在高中有過接觸，選擇兩道二階和三階階線性方程組為引例，先把消元法的思想交代清楚，強(qiáng)調(diào)保證同解只會(huì)實(shí)施三種行初等變換，關(guān)鍵還要將每一步求解用矩陣與之對應(yīng)表示，使學(xué)生清晰地看到線性方程組的求解過程完全等同于將其增廣矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形的過程，這是獨(dú)立學(xué)院線性代數(shù)教學(xué)的重點(diǎn)。
這前三章的教學(xué)內(nèi)容必須保證學(xué)生絕大部分都能充分理解并熟練掌握。
第四章《向量的線性相關(guān)性》概念非常抽象。
學(xué)生對“向量間的線性相關(guān)與線性無關(guān)”的定義接受起來總是很困難，多年來一直是學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的難點(diǎn)。
如何克服這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)?首先在宏觀上要做好與上一章節(jié)的銜接，研究對象依然是線性方程組，對齊次線性方程組我們換個(gè)角度看它，橫看成嶺側(cè)成峰，寫成向量形式便得到系數(shù)矩陣列向量之間的關(guān)系式。
此時(shí)開始引導(dǎo)學(xué)生明白這一關(guān)系式的作用，在空間解析幾何上有其對應(yīng)的幾何意義，系數(shù)矩陣的列向量能否通過尺度伸縮變換和平行四邊形法則回到原點(diǎn)，因此原來齊次線性方程組有非零解時(shí)，系數(shù)矩陣的列向量能夠齊心協(xié)力回到原點(diǎn)。
從而將向量的線性相關(guān)性概念與大家熟悉的線性方程組聯(lián)系起來，新問題的研究全部化為線性方程組解的判定以及它的主要工具——矩陣問題。
在這一章要給學(xué)生建立線性方程組—矩陣形式—向量形式“三位一體”的模型，形式不同實(shí)質(zhì)一樣，這一模型的建立和相互間的轉(zhuǎn)化在本章和后續(xù)章節(jié)學(xué)習(xí)中至關(guān)重要。
那么研究向量的線性相關(guān)性對線性方程組又有什么貢獻(xiàn)呢?慢慢給學(xué)生撥開迷霧，有了向量的線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念，就會(huì)很自然地有了向量組的極大無關(guān)組概念。
啟發(fā)學(xué)生思考：有一特殊的向量，齊次線性方程組有非零解時(shí)的解空間，它的極大無關(guān)組是什么樣子呢?繼而得到線性方程組解的結(jié)構(gòu)理論，對比上一章按部就班的具體求解，深化了我們對線性方程組解空間的認(rèn)識(shí)，對空間的面貌有了清晰準(zhǔn)確的把握。
第五章也可以從線性方程組開啟，將同學(xué)們非常熟悉的AX=b形式稍作修改為AX=y，這便是Rn→Rn空間的映射，不同于高等數(shù)學(xué)中的普通函數(shù)，舉個(gè)簡單的二位圖案經(jīng)此類線性映射后形狀發(fā)生了較大的變化，學(xué)生有了一個(gè)形象直觀的感覺。
結(jié)合例子提出問題，強(qiáng)調(diào)該變換中有一現(xiàn)象非常值得關(guān)注，即AX與y平行，從而引入矩陣“特征值和特征向量”的概念，步步逼近為什么叫矩陣的“特征值和特征向量”，反饋出矩陣什么樣的特征呢?從而導(dǎo)出矩陣的可對角化問題，其中實(shí)對稱矩陣的正交相似對角化問題在工程技術(shù)上有著廣泛的應(yīng)用，第六章的二次型可以理解為這一舊問題的重新包裝。
整門課程安排上緊緊圍繞中心問題，合理布局，把不同的知識(shí)串在一起，以前看起來零散的內(nèi)容，忽然不再繁雜了，成為一個(gè)有機(jī)的整體。
這種分析能力同樣適用于我們平時(shí)的日常生活。
二、鼓勵(lì)思考 勤于實(shí)踐 加強(qiáng)概念 歸納總結(jié)
課堂上教師以講清主干概念為原則，枝節(jié)問題留給學(xué)生去思考、歸納，同時(shí)加入相應(yīng)背景知識(shí)以增加課堂信息量。
上課前要交待清楚講授的主要問題是什么，然后引導(dǎo)學(xué)生共同逐一地解決這些問題，把學(xué)生擺在解決問題的主人翁的位置，而不是要求學(xué)生被動(dòng)地聽課。
注意講課的藝術(shù)性，善于提出問題并向?qū)W生尋求答案，鼓勵(lì)大家思考甚至討論也是素質(zhì)教育的體現(xiàn)。
比如正交矩陣概念的引入，可以讓學(xué)生自己動(dòng)筆算算空間中n個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交組作列構(gòu)成的矩陣，其轉(zhuǎn)置與自身的乘積有什么樣的效果，從而水到渠成地得到一類新的特殊矩陣，正好把以前學(xué)過的矩陣家族里的特殊成員一并復(fù)習(xí)一下。
對提出的問題一步步深入，一個(gè)個(gè)解決。
做到語言簡練而不重復(fù)，重點(diǎn)地方應(yīng)加強(qiáng)語氣放慢速度引起重視，讓學(xué)生一字一句聽得清清楚楚，同時(shí)給學(xué)生一種緊迫感，讓學(xué)生感覺到思維一停頓就會(huì)脫節(jié)接不上，保證上課全神貫注注意聽講。
當(dāng)學(xué)生身臨其境地經(jīng)歷提出問題、討論問題、解決問題的過程后，最終目的還是要引導(dǎo)他們學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)并找到結(jié)論，找到一個(gè)新的知識(shí)點(diǎn)，形成一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念。
獨(dú)立學(xué)院學(xué)生普遍不喜歡推敲抽象的理論和內(nèi)容上串講章節(jié)的基本概念和重點(diǎn)，他們比較樂于接受直接講題做題，因此因材施教選取一些具有代表性的例子，哪怕是以前講過的典型例子都可以拿過來，總結(jié)出其中的規(guī)律，理清思路，點(diǎn)明解決的方法，從而做到舉一反三，以點(diǎn)帶面，通過例子使學(xué)生充分理解、掌握基本內(nèi)容和方法。
三、更新知識(shí) 自我提升 教書育人 教學(xué)相長
教師僅僅從教材本身來講解本課程是不夠全面的，倘若能借助各方面的知識(shí)，運(yùn)用多種教學(xué)手段如matlab在線性代數(shù)中的應(yīng)用舉例，全方位地進(jìn)行立體多維教學(xué)，對學(xué)生而言更有吸引力。
這對教師便提出了更高的要求，在課余時(shí)間多看相關(guān)參考書和資料，擴(kuò)大自己的知識(shí)面，這樣做無論對于教學(xué)工作、教師的自我成長和提升都有百利而無一害，參加全國教師網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)和高校教師的暑期學(xué)校也是不錯(cuò)的選擇。
另外，相比一般普通本科學(xué)校學(xué)生，獨(dú)立學(xué)院學(xué)生有兩類特征鮮明：一部分學(xué)生高中基礎(chǔ)知識(shí)相對不錯(cuò)，進(jìn)校后卻產(chǎn)生迷茫找不到方向，應(yīng)鼓勵(lì)他們充分發(fā)揮自身潛力，盡快進(jìn)行四年大學(xué)學(xué)習(xí)生活職業(yè)規(guī)劃，他們是優(yōu)秀班風(fēng)良好學(xué)風(fēng)構(gòu)建的核心力量，極有可能將來成為本屆學(xué)生的佼佼者和學(xué)院樹立的標(biāo)桿榜樣;另一部分學(xué)生是在比較優(yōu)越的家庭環(huán)境中長大，習(xí)慣于對家長和老師的依賴，有一定的學(xué)習(xí)積極性但不穩(wěn)定，遇到困難缺乏積極主動(dòng)意識(shí)，倘若教師實(shí)時(shí)給予鼓勵(lì)啟發(fā)他們多思考，學(xué)會(huì)去圖書館查閱資料或與同學(xué)交流尋求幫助，這部分學(xué)生可以與前部分相得益彰，成為構(gòu)建和諧向上的學(xué)習(xí)氛圍的中流砥柱。
作為教師在教書的同時(shí)不忘育人，掌握他們的心理特點(diǎn)和需求，有了學(xué)生熱情互動(dòng)和參與，教學(xué)才會(huì)變得流暢實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長。
參考文獻(xiàn)：
[1]趙慧斌.問題驅(qū)動(dòng)是線性代數(shù)有效的教學(xué)法之一[J].高等數(shù)學(xué)研究，2008，(4).
[2]周玲.《線性代數(shù)》課程教學(xué)點(diǎn)滴談[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2005，(8).
線性代數(shù)教學(xué)點(diǎn)滴【2】
【摘要】本文總結(jié)了作者上線性代數(shù)課的一些經(jīng)驗(yàn)，老師應(yīng)該向?qū)W生講清楚為什么必須學(xué)線性代數(shù)，要抓住核心內(nèi)容和核心方法，要積累一些反例，要培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神，對優(yōu)秀學(xué)生要進(jìn)行特別培養(yǎng)，努力提高研究生升學(xué)率.
【關(guān)鍵詞】線性代數(shù);核心內(nèi)容;核心方法;反例;團(tuán)隊(duì)合作
引 言
線性代數(shù)是理工科本科生的必修課程，是研究生入學(xué)考試必考的數(shù)學(xué)科目之一.這門課成績的好壞，直接影響到學(xué)生將來考研的成績.從應(yīng)用來看，工程計(jì)算上遇有太多變量時(shí)，時(shí)常將問題線性化，然后用線性代數(shù)方法處理問題，足見這門課的重要性.如何教好這門課，是值得我們每一位上課老師深思的問題.這門課有些概念，對于初學(xué)者來說，的確太抽象了，作為老師，該怎么教，才能讓學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣，才能自覺去鉆研這門課?我想用這篇文章拋磚引玉，希望引起同行們的廣泛討論，共同提高教學(xué)水平.
1.為什么要學(xué)習(xí)線性代數(shù)
這個(gè)問題有必要向?qū)W生作些簡要介紹.否則，由于這門課比較抽象，學(xué)生可能沒興趣學(xué)這門課.作為這門課程的老師，應(yīng)該對此有些了解.
線性代數(shù)的計(jì)算方法是處理現(xiàn)代工程計(jì)算的重要方法，比如線性性質(zhì)、向量、線性空間、矩陣等等，在工程計(jì)算中，經(jīng)常用到.有時(shí)工程上研究的問題相當(dāng)復(fù)雜，用到成百上千的變量，這樣復(fù)雜的問題，用矩陣來處理，是比較好的方法.線性代數(shù)已成為現(xiàn)代工程技術(shù)人員必修的課程之一.
線性擬合和非線性擬合是數(shù)據(jù)處理常用的方法，以往由于計(jì)算手段的限制,非線性擬合幾乎無法實(shí)現(xiàn).因此,傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理方法中非線性問題線性化計(jì)算是一種基本手段.目前,盡管計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)處理已經(jīng)很普遍,但由于習(xí)慣于傳統(tǒng)的方法,或是由于非線性擬合過程常遇到不收斂等問題,非線性問題線性化計(jì)算這一傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理方法仍在廣泛使用.作為線性代數(shù)的主要軟件工具有MATLAB，它是矩陣計(jì)算的主要工具.
從數(shù)學(xué)上來講，很多非線性化問題可以通過一些數(shù)學(xué)變換化成線性問題.比如一些非線性回歸問題就可以通過變量的倒代換對數(shù)變換等化成線性回歸問題.我們也可以利用泰勒公式，將一個(gè)復(fù)雜函數(shù)化成近似的多項(xiàng)式，再將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為線性方程(這只要將各個(gè)冪函數(shù)當(dāng)作一個(gè)新變量就可以).
2.抓住核心內(nèi)容和核心方法
工科線性代數(shù)，課時(shí)比較少，我們學(xué)校只有32學(xué)時(shí).在這么短時(shí)間內(nèi)，要教好或?qū)W好這門課程，老師要下些工夫，學(xué)生也要有足夠的學(xué)習(xí)興趣和精力的投入.若老師抓不住核心內(nèi)容和核心方法，就很難教好這門課.線性代數(shù)課，一般包括行列式、向量、矩陣、線性方程組、二次型、線性空間.由于課時(shí)少，我們實(shí)在是沒時(shí)間講解線性空間的內(nèi)容，只能講解向量空間一些基本概念，并在線性方程組中講解向量空間時(shí)加以應(yīng)用.
線性代數(shù)課程的核心內(nèi)容是線性方程組，核心方法是矩陣的初等變換方法.行列式、克萊姆法則、向量、矩陣都圍繞著線性方程組展開.克萊姆法則，解決了當(dāng)系數(shù)矩陣是方陣時(shí)，何時(shí)有唯一解，并用行列式給出了解的表達(dá)式，在線性方程組理論中有重要價(jià)值.向量模型為線性方程組解決了解空間模型的問題，認(rèn)為線性方程組的解是向量空間中的向量，可以定義解向量之間的線性運(yùn)算.
矩陣運(yùn)算為線性方程組的求解提供了行初等變換方法，利用這個(gè)方法，可以判別非齊次線性方程組是否有解，用行初等變換求解.向量線性關(guān)系為線性方程組通解提供了理論基礎(chǔ)，非齊次線性方程組的任一解都可由其本身的一個(gè)特解及對應(yīng)齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的線性運(yùn)算來表示.矩陣特征值、特征向量、二次型內(nèi)容，是線性方程組理論及方法的一個(gè)應(yīng)用，這個(gè)應(yīng)用也為空間解析幾何中討論二次曲線、二次曲面標(biāo)準(zhǔn)形問題提供了很好的方法.
矩陣的初等變換方法，可以用于求行列式，求向量組的秩，并判別向量組是否線性相關(guān)，求向量組的最大線性無關(guān)組，用最大線性無關(guān)組線性表示其余向量，求逆矩陣，用行初等變換求解線性方程組的通解，求矩陣的特征向量.
3.用實(shí)際問題引入線性代數(shù)的基本概念，用反例說明一些運(yùn)算的“奇怪”性質(zhì)
在講解矩陣相乘、向量(幾何學(xué)及力學(xué)中，向量是作為有大小并有方向的量，而在線性代數(shù)中，向量是作為有序數(shù)組)、向量線性運(yùn)算、向量線性相關(guān)、向量線性無關(guān)等基本概念時(shí)，要盡可能地用一些實(shí)際問題來引入，不要直接給出定義，以免讓學(xué)生覺得太抽象，還以為這只是數(shù)學(xué)老師在故弄玄虛.在這方面，李尚志教授就做得很好，值得我們學(xué)習(xí).
我們可以用坐標(biāo)變換公式來引入一般的線性變換，由線性變換的復(fù)合(簡單點(diǎn)，就講3個(gè)變量的線性變換的復(fù)合)引入矩陣相乘概念.也可以借用銷售與收益的模型(收益矩陣=銷量矩陣×價(jià)格矩陣)來引入矩陣相乘的概念.在高等數(shù)學(xué)中，兩個(gè)向量的內(nèi)積也可看作一個(gè)行矩陣與一個(gè)列矩陣相乘.
由于我們的工資表、成績表、線性方程組的解，都只關(guān)心各個(gè)項(xiàng)的取值，而且取值的順序不同，所代表的意義就不相同。
因此，我們有必要研究有序數(shù)組，把這種有序數(shù)組稱為向量.線性代數(shù)中講的向量就是有序數(shù)組，這一點(diǎn)一定要強(qiáng)調(diào).因?yàn)�，我們發(fā)現(xiàn)不少同學(xué)做線性代數(shù)作業(yè)時(shí)，向量還是標(biāo)出箭頭，沒辦法忘記幾何、力學(xué)中所講的向量，把握不住線性代數(shù)中所講的向量與幾何、力學(xué)中所講的向量的共性.由具體過渡到抽象，必須忘記一個(gè)一個(gè)具體的事物，而只把握住這些事物的共性.這就是所謂“聰明難，糊涂難，由聰明變糊涂更難”!(鄭板橋語)
為什么平面直角坐標(biāo)系，要而且只要兩條坐標(biāo)軸?為什么空間直角坐標(biāo)系，要而且只要三條坐標(biāo)軸?我相信，很多沒學(xué)過線性代數(shù)的同學(xué)都沒法回答這個(gè)問題.為什么有些線性方程組中，方程個(gè)數(shù)會(huì)比未知數(shù)個(gè)數(shù)更多?根據(jù)學(xué)生在中學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，線性方程組中方程個(gè)數(shù)應(yīng)該與未知數(shù)個(gè)數(shù)一樣多，才能確定未知數(shù)的取值.那么，這是否意味著方程個(gè)數(shù)太多了,也就是說有些方程是多余的?
有些方程只是另外一些方程通過同解變換就可得到的?由這些問題展開討論，我們就可引入向量組的線性運(yùn)算、線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念了.像這樣由一些具體問題引入抽象的概念，原本抽象的概念就變得很自然了.
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