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數(shù)學(xué)史與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)
數(shù)學(xué)史與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)是小編為大家?guī)淼恼撐姆段�，歡迎閱讀。
【摘要】20世紀(jì)70年代，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系就成了數(shù)學(xué)教育的研究領(lǐng)域。
在小學(xué)階段，能用于數(shù)學(xué)教學(xué)的歷史素材可以按照其作用來分類;學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解過程和數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展過程有一定的相似性;教師在教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的方式主要有附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式等。
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)史;教育取向;歷史相似性;運(yùn)用方式
【作者簡介】汪曉勤，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系(上海，200241)教授，博士生導(dǎo)師，中國科學(xué)院科學(xué)技術(shù)史博士，全國數(shù)學(xué)教育研究會副理事長，全國數(shù)學(xué)史學(xué)會副理事長，《數(shù)學(xué)教育學(xué)報》副主編。
奧地利著名物理學(xué)家和哲學(xué)家馬赫曾經(jīng)說過：“沒有任何科學(xué)教育可以不重視科學(xué)的歷史與哲學(xué)。”這一觀點(diǎn)同樣適用于數(shù)學(xué)教育。
也許有人會說：“我對數(shù)學(xué)史一無所知，不也把數(shù)學(xué)教得很好嗎?”誠然，在我們今天這個以分?jǐn)?shù)論英雄的時代，這句話或許并沒有錯。
但是，如何解決“分?jǐn)?shù)可觀、情感消極”“解題無數(shù)、理解缺失”等矛盾?如何在課堂上營造“知識之諧”、展示“方法之美”、實現(xiàn)“情感之悅”，從而讓學(xué)生接受更美好的數(shù)學(xué)教育呢?把數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，是值得我們探索的一條理想途徑。
實際上，早在20世紀(jì)70年代，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系(History and Pedagogy of Mathematics，簡稱HPM)就已經(jīng)成了數(shù)學(xué)教育的一個研究領(lǐng)域。
走進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)的世界，我們赫然發(fā)現(xiàn)，有關(guān)HPM研究的主題竟如此豐富多彩、引人入勝。
限于篇幅，本文只討論其中的三個主題。
一、教育取向的數(shù)學(xué)史
數(shù)學(xué)史是一座巨大的寶藏，其中包含大量的教學(xué)素材。
數(shù)學(xué)史之所以有著“高評價、低應(yīng)用”的境遇，原因固然有很多種，但數(shù)學(xué)教師手頭缺乏實用的數(shù)學(xué)史素材，是最主要的原因之一。
另一方面，對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中許多問題的探討，如小數(shù)和分?jǐn)?shù)孰先孰后、簡易方程的必要性等，都需要以數(shù)學(xué)史作為參照。
因此，教育取向的數(shù)學(xué)史研究是HPM領(lǐng)域不可或缺的基礎(chǔ)性工作。
教育取向的數(shù)學(xué)史料浩如煙海，大致可以按照其作用來分類，下面舉兩類例子。
1.“情感”取向的歷史素材。
比利時科學(xué)史家薩頓曾經(jīng)說過：“在科學(xué)和人文之間只有一座橋梁，那就是科學(xué)史，建造這座橋梁是我們這個時代的主要文化需要。”據(jù)此，我們同樣可以說：“在數(shù)學(xué)和人文之間只有一座橋梁，那就是數(shù)學(xué)史，建造這座橋梁是我們這個時代數(shù)學(xué)教育的需要。”小學(xué)數(shù)學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生掌握基本知識和技能的同時，還應(yīng)該傳遞數(shù)學(xué)背后的人文精神，為塑造學(xué)生的人格品質(zhì)提供正能量。
數(shù)學(xué)是人類的文化活動，不同時空的數(shù)學(xué)家都對數(shù)學(xué)的發(fā)展做出過貢獻(xiàn)，他們的勤奮、執(zhí)著、堅韌、擔(dān)當(dāng)，他們對真、善、美的不懈追求，無不是我們寶貴的精神財富。
古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯勤于天文觀測，堅持不懈，風(fēng)雨無阻，有一次竟不慎掉入水溝，他通過拼圖發(fā)現(xiàn)了三角形內(nèi)角和定理。
中國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖��(祖沖之之子)在思考問題時專心致志，天打響雷都聽不見，走路時竟撞上仆射徐勉，徐勉叫喚后才醒悟過來，他最終解決了球體積的難題。
17世紀(jì)英國哲學(xué)家霍布斯40歲開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，最終成為數(shù)學(xué)家。
19世紀(jì)蘇格蘭數(shù)學(xué)家華里司逆境成才，從一名書籍裝幀的學(xué)徒工到愛丁堡大學(xué)數(shù)學(xué)教授，譜寫了人生的傳奇。
溝通數(shù)學(xué)與人文，能更全面地發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人價值。
但是，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上太缺乏數(shù)學(xué)故事了，需要我們不斷從數(shù)學(xué)史文獻(xiàn)中去發(fā)掘、整理和加工。
2.“方法”取向的歷史素材。
每一個公式和法則都有它的歷史，無論是它背后的思想方法，還是它從不完善到完善的演進(jìn)過程，都能為教學(xué)提供借鑒。
以“分?jǐn)?shù)除法”為例，成書于1世紀(jì)的《九章算術(shù)》采用通分法：■÷■=■÷■=■;而印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多(7世紀(jì))和婆什迦羅(12世紀(jì))采用我們熟悉的顛倒除數(shù)分子分母法：■÷■=■×■=■;這種方法在15―16世紀(jì)的歐洲卻鮮為人知。
歐洲人除了采用《九章算術(shù)》中的通分法，還采用了很流行的交叉相乘法[1]：■。
直到17世紀(jì)，顛倒除數(shù)分子分母法才逐漸被人們廣泛采用。
從教材中我們可能只能看見一棵樹，從歷史中我們卻可能會看到一片森林。
二、歷史相似性
所謂歷史相似性，是指人對數(shù)學(xué)的理解過程與數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展過程具有一定的平行性，這是數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的理論基礎(chǔ)。
但是，學(xué)生對某個數(shù)學(xué)概念的理解是否真的存在歷史相似性，需要我們做深入細(xì)致的實證研究。
如果歷史相似性得到印證，那么，數(shù)學(xué)史就成了一面鏡子，通過這面鏡子，教師可以預(yù)測學(xué)生對有關(guān)知識點(diǎn)可能會產(chǎn)生的認(rèn)知困難，從而制訂合理的教學(xué)策略。
例如學(xué)生對“除以零”的理解。
數(shù)學(xué)上為什么要做出這樣的規(guī)定?其實，歷史上數(shù)學(xué)家對這個問題也多有困惑。
婆羅摩笈多認(rèn)為0÷0=0;摩訶毗羅認(rèn)為a÷0=a(a≠0);釋律帕提認(rèn)為a÷0=0(a≠0);而婆什迦羅雖然用相當(dāng)于我們今天的專有名詞來表示a÷0的結(jié)果，但他認(rèn)為(a×0)÷0=a。
Reys和Grouws對中學(xué)生進(jìn)行訪談[2]，一位八年級學(xué)生認(rèn)為0÷0=0，并解釋說：“一無所有除以一無所有，什么都得不到。”Wheeler和Feghali對52名職前小學(xué)教師的研究發(fā)現(xiàn)[3]：職前小學(xué)教師在“除以零”的理解上存在困難，67%的職前教師認(rèn)為0÷0=0。
Ball對19名職前中小學(xué)教師進(jìn)行訪談[4]，發(fā)現(xiàn)很少有人能合理解釋為什么0不能作為除數(shù)。
Even和Tirosh對33名以色列中學(xué)數(shù)學(xué)教師進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)很多教師對于“為何4÷0無意義”的解釋是“一種規(guī)定”[5]。
Crespo和Nicol在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)[6]：小學(xué)生和職前小學(xué)教師普遍認(rèn)為5÷0=0。
上述研究表明，今天學(xué)生對于“除以零”的困惑或誤解確實具有歷史相似性。
三、教學(xué)實踐
要讓小學(xué)數(shù)學(xué)教師充分認(rèn)識和普遍接受HPM，首先要讓他們看到成功的教學(xué)案例。
HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)，不能生硬地為歷史而歷史，必須兼顧知識點(diǎn)的歷史發(fā)生、發(fā)展順序、邏輯順序以及兒童的心理發(fā)生、發(fā)展順序。
數(shù)學(xué)史的運(yùn)用方式也并不是單一的，有附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式，視課堂需求而定。
附加式是指在課堂上講述數(shù)學(xué)故事、人物生平、歷史背景等。
例如：在引入“大數(shù)”時，講述古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德數(shù)沙的故事;在講授“三角形的內(nèi)角和”時，講述法國數(shù)學(xué)家帕斯卡少年時代通過折紙證明三角形內(nèi)角和定理的故事;在講授“用字母表示數(shù)”時，講述“未知數(shù)為什么用x來表示”的故事;在引入“眾數(shù)”時，講述古希臘伯羅奔尼撒戰(zhàn)爭中普拉提亞人數(shù)城墻磚塊的故事;等等。
復(fù)制式是指在教學(xué)中直接使用歷史上的數(shù)學(xué)問題。
例如，人教版六上“數(shù)學(xué)廣角”單元即含有兩個古代數(shù)學(xué)名題：一是《孫子算經(jīng)》中的“雉兔同籠”問題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何?”一是《算法統(tǒng)宗》中的“僧分饅頭”問題：“一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭。
小僧三人分一個，大小和尚得幾丁?”古代數(shù)學(xué)名題猶如陳年佳釀，必能在課堂上散發(fā)醇香。
順應(yīng)式是指將數(shù)學(xué)史上的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行改編，或利用數(shù)學(xué)史材料編制數(shù)學(xué)問題，以順應(yīng)當(dāng)前教學(xué)的需要。
例如，歐幾里得《幾何原本》第1卷命題37為：“同底且位于相同的兩條平行線之間的三角形(面積)相等。”[8]利用該命題，可編制如下問題(人教版五上)：圖1中有幾對面積相等的三角形?(陰影部分的一對三角形被稱為“歐幾里得蝴蝶”)利用中國古代的七巧板，可編制如下分?jǐn)?shù)問題(人教版五下)：圖2中每個圖形的面積占整個正方形面積的幾分之幾?圖形7和4共占幾分之幾?圖形3、4、5共占幾分之幾?
很多概念如果直接按照歷史進(jìn)行教學(xué)，可能并不自然，因而需要對歷史進(jìn)行重構(gòu)。
以“負(fù)數(shù)”為例，我們知道，中國古代數(shù)學(xué)家因為解方程的需要而率先使用負(fù)數(shù)。
漢代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》方程章第3題所解的三元一次方程組問題是2x+y=13y+z=14z+x=1，第三個方程兩邊乘2，與第一個方程相減，出現(xiàn)了正數(shù)不夠用的情形：y的系數(shù)等于0-1。
《九章算術(shù)》中不僅有正負(fù)數(shù)，還建立了正負(fù)數(shù)加減法則，即“正負(fù)術(shù)”。
加法法則為：“異名相除，同名相益;正無人正之，負(fù)無人負(fù)之。”即異號兩數(shù)相加，絕對值相減;同號兩數(shù)相加，絕對值相加;0加正數(shù)為正，0加負(fù)數(shù)為負(fù)。
類似地，減法法則為：“同名相除，異名相益;正無人負(fù)之，負(fù)無人正之。”魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在注釋“正負(fù)術(shù)”時說：“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之。”在西方，13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契認(rèn)為：方程x+36=33沒有根，除非第一個人(x)欠債3個錢幣。
16世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾指出：零減去一個大于零的數(shù)所得結(jié)果“小于一無所有”，是“荒謬的數(shù)”。
17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家帕斯卡則認(rèn)為：0減去4純屬無稽之談。
18世紀(jì)，仍有數(shù)學(xué)家感到困惑：世界上還有什么東西會“小于一無所有”?直到19世紀(jì)，還有數(shù)學(xué)家不接受負(fù)數(shù)。
顯然，我們不能直接通過一元一次方程或二元一次方程組來引入負(fù)數(shù);而歷史又告訴我們，學(xué)生對于“直接從零中減去一個正數(shù)”這樣的運(yùn)算會感到困惑，所以也不能用它來引入負(fù)數(shù)，因此，只能通過重構(gòu)式了。
四、結(jié)語
數(shù)學(xué)史有助于營造“知識之諧”，展現(xiàn)“方法之美”，成就“情感之悅”，實為數(shù)學(xué)教育所不可或缺。
數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系博大精深，足以成為小學(xué)數(shù)學(xué)教育中一個前景無限廣闊的研究領(lǐng)域。
然而，無論是文獻(xiàn)研究還是實證研究，目前我們所見到的有價值的成果還是很有限的。
雖然蔡宏圣老師和他的團(tuán)隊篳路藍(lán)縷，取得了引人注目的成績，但一個“小學(xué)HPM學(xué)術(shù)共同體”還有待建立。
我們熱切期待有更多的小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究者和一線教師關(guān)注HPM、走進(jìn)HPM、研究HPM、實踐HPM。
【參考文獻(xiàn)】
[1]Smith，D.E.(1925).History of Mathematics(Vol.2).Boston：Ginn & Company，1925.226-227.
[2]Reys，R.E.& Grouws，D.A.(1975).Division involving zero：Some revealing thoughts from interviewing children.School Science and Mathematics，75(7)：593-605.
[3]Wheeler，M.M.& Feghali，I.(1983).Much ado about nothing：Preservice elementary school teachers’ concept of zero.Journal for Research in Mathematics Education，14(3)：147-155.
[4]Ball，D.L.(1990). Prospective elementary and secondary teachers’ understanding of division.Journal for Research in Mathematics Education，21：132-144.
[5]Even，R.，& Tirosh，D.(1995). Subject-matter knowledge and knowledge about students as sources of teacher presentations of the subject-matter.Educational Studies in Mathematics，29：1-20.
[6]Crespo，S.，Nicol，C.(2006).Challenging preservice teachers’ mathematical understanding：the case of division by zero.School Science and Mathematics，106(2)：84-97.
[7]Keiser，J.M.(2004).Struggles with developing the concept of angle：comparing sixth-grade students’ discourse to the history of angle concept.Mathematical Thinking and Learning，6(3)：285-306.
[8]Heath，T.L.(1968).The Thirteen Books of Euclid’s Elements(Vol.1).Cambridge：The University Press.332.
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