二項(xiàng)分布與其他分布的關(guān)系

　　論文常用來指進(jìn)行各個(gè)學(xué)術(shù)領(lǐng)域的研究和描述學(xué)術(shù)研究成果的文章，簡(jiǎn)稱之為論文。它既是探討問題進(jìn)行學(xué)術(shù)研究的一種手段，又是描述學(xué)術(shù)研究成果進(jìn)行學(xué)術(shù)交流的一種工具。它包括學(xué)年論文、畢業(yè)論文、學(xué)位論文、科技論文、成果論文等。下面是小編精心整理的，歡迎大家分享。

　　摘 要：

　　二項(xiàng)分布是一種常見的離散型隨機(jī)變量的概率模型，在概率教學(xué)中占有重要地位。本文從二項(xiàng)分布的定義入手，重點(diǎn)分析和闡述了二項(xiàng)分布和“0-1”分布、超幾何分布、泊松分布、正態(tài)分布的近似關(guān)系及基于這些關(guān)系所帶來的計(jì)算上的便利。以期在教學(xué)中能使學(xué)生更全面深入的理解和認(rèn)識(shí)二項(xiàng)分布。

　　關(guān)鍵詞：

　　二項(xiàng)分布 “0-1”分布 超幾何分布 泊松分布 正態(tài)分布 近似

　　1.二項(xiàng)分布的定義

　　設(shè)隨機(jī)變量X示n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，其概率函數(shù)為：

　　p(x)=P(X=x)=Cxnpxqn-x x=0，1，…，n

　　則稱設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，記為X～B(n，p)，也稱廣義貝努里試驗(yàn)。

　　2.二項(xiàng)分布與其它分布的關(guān)系

　　2.1二項(xiàng)分布與“0-1”分布間的關(guān)系

　　進(jìn)行一次試驗(yàn)，其結(jié)果要么“成功”，要么“失敗”，記X=1成功0失敗，即隨機(jī)變量X表示一次試驗(yàn)中成功的次數(shù)，且p(x)=P(X=x)=pxq1-x(x=0，1)則稱隨機(jī)變量X～“0-1”分布，p為試驗(yàn)結(jié)果“成功”發(fā)生的概率。該試驗(yàn)也稱為貝努里試驗(yàn)。

　　X～“0-1”分布，其期望、平方的期望、方差及特征函數(shù)容易得到：

　　E(X)=0×(1-p)+1×p=p

　　E(X2)=02×(1-p)+12×p=p

　　D(X)=E(X2)-E2(X)=p-p2=p(1-p)

　　φ(t)=E(eitX)=eit?o×(1-p)+eit?1×p=1-p+peit

　　將貝努里試驗(yàn)在相同條件下獨(dú)立進(jìn)行n次，并以隨機(jī)變量Y表示n次試驗(yàn)中“成功”的次數(shù)，則Y～B(n，p)。若以Xi表示第i次試驗(yàn)中成功的次數(shù)，則X1，X2…Xn，獨(dú)立同“0-1”分布(i=1，2…n)且Y=∑ni=1Xi。則二項(xiàng)分布的期望、方差及特征函數(shù)可由二項(xiàng)分布和“0-1”分布間的函數(shù)關(guān)系得到：

　　E(Y)=E(∑ni=1Xi)=∑ni=1E(Xi)=np

　　D(Y)=D(∑ni=1Xi)=∑ni=1D(Xi)=np(1-p)

　　φY(t)=E(eitY)=E(eit∑ni=1Xi)=∏ni=1E(eitXk)=∏ni=1(1-p+peit)=(1-p+peit)n

　　易見，在教學(xué)中利用二項(xiàng)分布和“0-1”分布的關(guān)系，使二項(xiàng)分布的上述特征數(shù)更容易計(jì)算和理解。

　　2.2二項(xiàng)分布與超幾何分布的關(guān)系

　　從含有M件次品的N件產(chǎn)品中任取n件(每次任意取出一個(gè)，取后不放回，連續(xù)取n次)，設(shè)隨機(jī)變量X表示n件產(chǎn)品中出現(xiàn)的次品數(shù)，則X～H(n，M，N)，概率函數(shù)為：

　　p(x)=P(X=x)=CxMCn-xN-MCnN=p(x，n，M，N)x=0，1，…，n

　　若將上述取件方式變?yōu)槊看稳我馊〕鲆粋�(gè)，取后放回，連續(xù)取n次，則易知其中所含的次品數(shù)X～B(n，p)，其中p=MN。這里有放回的抽樣使得每次抽取時(shí)的次品率保持不變，

　　且各次抽取結(jié)果相互獨(dú)立。

　　而當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)N很大時(shí)，抽取樣品的個(gè)數(shù)n相對(duì)于N較小時(shí)(一般來說nN≤0.1)，不放回抽樣可近似看成每次抽樣結(jié)果是相互獨(dú)立的有放回抽樣。據(jù)此現(xiàn)實(shí)意義，可幫助我們理解二項(xiàng)分布與超幾何分布的近似關(guān)系：

　　limN→∞CxMCn-xN-MCMN=Cxnpxqn-x x=0，1，…，n

　　其中，p=MN，q=1-MN=MN-M，一般要求nN≤0.1。證明見文獻(xiàn)[1]。

　　超幾何分布是一種重要的、應(yīng)用廣泛的概率模型。據(jù)此關(guān)系在合適的條件下可將服從超幾何分布的隨機(jī)變量的概率值的計(jì)算近似為服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的概率值進(jìn)行計(jì)算。

　　2.3二項(xiàng)分布和泊松分布間的關(guān)系

　　若隨機(jī)變量X表示某個(gè)交通路口單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)，設(shè)所觀察的這段時(shí)間為[0，1]，取一個(gè)很大的自然數(shù)n，把這段時(shí)間分為等長(zhǎng)的n段

　　l1=0，1n，l2=1n，2n，…li=in，i+1n，…ln=n-1n，1

　　假定：(1)在每段li內(nèi)，恰好發(fā)生一次交通事故的概率與時(shí)段長(zhǎng)度成正比，可取為λn;

　　(2)由于n很大，故每段時(shí)間間隔很小，認(rèn)為在這么小的時(shí)段內(nèi)發(fā)生兩次或更多次的交通事故是不可能的。故在每個(gè)時(shí)段內(nèi)不發(fā)生交通事故的概率為1-λn;

　　(3)li各時(shí)間段內(nèi)是否發(fā)生交通事故是獨(dú)立的。

　　因此，在[0，1]時(shí)段內(nèi)要么發(fā)生一次交通事故，其概率為λn，要么不發(fā)生交通事故，其概率為1-λn，而各時(shí)間段內(nèi)是否發(fā)生交通事故是獨(dú)立的。故[0，1]時(shí)段內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布B(n，λn)，其概率函數(shù)為：

　　P(X=x)=Cxn(λn)x(1-λn)n-x x=0，1，…，n

　　嚴(yán)格的說，上式只是近似成立，當(dāng)n→∞時(shí)，limn→∞Cxnpxqn-x=λxx!e-λ其中λ=np。一般要求p≤0.1。證明見文獻(xiàn)[1]。在教學(xué)中可利用此關(guān)系使學(xué)生自然的理解泊松分布的特性，它常用來描述大量隨機(jī)試驗(yàn)中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)。

　　2.4二項(xiàng)分布和正態(tài)分布的關(guān)系

　　據(jù)棣莫弗――拉普拉斯定理[2]：設(shè)Yn～B(n，p)n=1，2，…則對(duì)z有：

　　limn→∞P(Yn-npnpq≤z)=12π∫z-∞e-t22dt

　　由此可知，當(dāng)n充分大時(shí)，服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量Yn近似的服從正態(tài)分布N(np，npq).這里是用一個(gè)連續(xù)型的正態(tài)分布來近似離散型的二項(xiàng)分布，應(yīng)用時(shí)p應(yīng)滿足0.1　　在教學(xué)中可利用此關(guān)系說明二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為極限分布，并且，當(dāng)n充分大時(shí)

　　P(m1≤Yn≤m2)≈Φ(m2-npnpq)-Φ(m1-npnpq)

　　也就是說可利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表來解決較難計(jì)算的二項(xiàng)分布的概率計(jì)算問題。

　　3.結(jié)束語

　　綜上所述，二項(xiàng)分布B(n，p)可看成n個(gè)獨(dú)立同“0-1”分布的隨機(jī)變量的和，從而利用和函數(shù)的關(guān)系易于計(jì)算二項(xiàng)分布的某些特征值;在產(chǎn)品抽樣中，若產(chǎn)品總數(shù)N很大，抽取的樣品個(gè)數(shù)n相對(duì)于N較小時(shí)(nN≤0.1)，所抽取的次品數(shù)所服從的超幾何分布可用二項(xiàng)分布近似;當(dāng)n很大，p較小，一般要求p≤0.1，λ=np適中時(shí)可用泊松分布近似二項(xiàng)分布;當(dāng)n充分大。

　　參考文獻(xiàn)：

　　[1]沈恒范.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程第5版[M].北京：高等教育出版社，2011.6：55-63.

　　[2]李裕奇.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2001.8：193-195.

　　[3]魏振軍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)三十三講[M].北京：中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，2005.

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