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如何在高等代數(shù)中“縱關(guān)”與“橫聯(lián)”
本文簡要分析了縱關(guān)線性方程組理論及橫聯(lián)的數(shù)形互動。歡迎各位數(shù)學(xué)系的畢業(yè)生借鑒!
摘 要：初等代數(shù)的研究對象擴(kuò)充形成高等代數(shù)后，對原來的許多概念和量進(jìn)行了創(chuàng)新和擴(kuò)充。
關(guān)鍵詞：高等代數(shù);數(shù)形互動;線性方程
一、縱關(guān)
線性方程組理論對高等代數(shù)來說尤為重要和不可或缺，通過與初等代數(shù)的加減消元法相比較，對線性方程組矩陣解法、一般性數(shù)域上的多元線性方程組解的判斷及對解的結(jié)構(gòu)的研究、討論了線性方程組解在幾何上的意義，解決了關(guān)于線性方程組中初等代數(shù)沒有能夠解決的諸多問題，表現(xiàn)出高等代數(shù)解決問題的成熟性規(guī)范。
科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域和工程中的很問題都是通過對非線性方程組的求解來解決。因此，對非線性方程組的求解是科學(xué)研究和工程建設(shè)中不可避開的問題。學(xué)術(shù)界的許多專家，多年來對于高等代數(shù)中非線性方程組的求解問題做了很多研究。例如我們常聽到的牛頓法、迭代法、共軌方向法、梯度法等，就是為求解非線性方程組而提出來的。但是這些方法無一例外的是針對一些具有特殊性質(zhì)的非線性方程組求解，對于那些缺少特殊性質(zhì)的復(fù)雜方程組并不能順利求解。
進(jìn)化計(jì)算技術(shù)的興起，和在和優(yōu)化問題上的廣泛應(yīng)用，引起了學(xué)術(shù)界的普遍關(guān)注。特別用粒子群優(yōu)化算法求解非線性方程組成了學(xué)術(shù)界思考所在。粒子群優(yōu)化算法極少的參數(shù)設(shè)置、極快的收斂速度，極強(qiáng)的使用性，成了學(xué)術(shù)界不可抵制的“誘惑”。各種利用粒子群優(yōu)化算法求解非線性方程組的方法紛紛被提了出來，非線性方程組的求解迎來了另一個(gè)春天。差異算法的穩(wěn)健性讓人吃驚，無論是求解多峰函數(shù)、非凸函數(shù)還是非線性函數(shù)的優(yōu)化問題都游刃有余，而且對同樣的精度要求，差異算法收斂的速度十分驚人，并在解決函數(shù)的優(yōu)化問題上，迅速“流行”，而在各種解決方案中也頗受歡迎。學(xué)術(shù)界利用差異演化的算法在非線性方程組的通用模型上演算，然后將演算結(jié)果與粒子群優(yōu)化算法同等條件下的演算結(jié)果進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)兩者并無誤差，這為差異演化的算法的廣泛應(yīng)用提供了堅(jiān)強(qiáng)的后盾。
二、橫聯(lián)
“數(shù)”“形”互動完美的形容了高等代數(shù)和解析幾何的關(guān)系，可以說這兩門學(xué)科是互相依存的，“你在，故我在”，離開其中的一門，單純談?wù)摿硪婚T，是十分空洞的。高等代數(shù)高度抽象性的概念與高度概括性的定理，對于許多初學(xué)者來說顯得十分飄渺虛無，看不到，又摸不著。高等代數(shù)的這些特點(diǎn)使其成為一門讓人“望而生畏”的學(xué)科。初學(xué)者在學(xué)習(xí)高等代數(shù)的時(shí)候往往感覺十分抽象，面對各種習(xí)題往往無從下手。特別是線性代數(shù)作為高等數(shù)學(xué)與解析幾何的橋梁，將兩者緊密相連，相互依賴，使高等代數(shù)的理論延伸到了解析幾何，高等代數(shù)成了“無邊無盡”的學(xué)科。解析幾何將高等代數(shù)中向量空間與歐式空間的理論應(yīng)用于二維空間、三維空間當(dāng)中，其本質(zhì)其實(shí)就是二維或者三維的線性代數(shù)。所以很多高校老師都會面對這么一個(gè)問題，究竟采用何種方法可以通過某些幾何的具體實(shí)例來進(jìn)行高數(shù)與解析幾何之間的數(shù)形互動，能夠讓學(xué)生通過幾何模型“看得見”代數(shù)概念，同時(shí)代數(shù)的理論、概念也能簡化我們對幾何的研究，這對學(xué)生來說是很有幫助的。對于很多初學(xué)者來說，高數(shù)抽象的概念是令人難于理解的，對原理、定理更加難以推導(dǎo)和應(yīng)用。幾何實(shí)例適時(shí)適當(dāng)?shù)膽?yīng)用于高等數(shù)學(xué)是至關(guān)重要的，就像將本來虛無縹緲的東西變得可見了，使抽象的東西變得不再抽象了，這對初學(xué)者是十分重要的。不僅如此，還能更好的體驗(yàn)和掌握一般的代數(shù)理論，并用之于解析幾何。
很多初學(xué)者都在避談“建模”的抽象，盡量以圖形作為分析的手段。但是，無論我們是否承認(rèn)，傳統(tǒng)學(xué)習(xí)方法中很多方法對于我們來說還是十分受用的。數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)概念就像一對雙胞胎，沒有誰好誰差之分，都是科學(xué)研究中十分重要的方法。邏輯思維與形象思維既對立又相互聯(lián)系，都是從低到高逐漸發(fā)展。簡單的說邏輯思維就是物質(zhì)的本質(zhì)，通過分析、對比、剝離、綜合、簡化分析概念，在此基礎(chǔ)上，利用概念對新的問題進(jìn)行判別、推算。形象思維則是一種“看得見”的思維，它通過“看物體”對知識進(jìn)行分析、對比、剝離、綜合和概括。
三、結(jié)論
高等代數(shù)看似獨(dú)立，但是和其他的學(xué)科之間，卻是彼此牽連、相通。因此，在學(xué)習(xí)過程中不僅需要關(guān)注各體系，各學(xué)科之間的交互，還應(yīng)該學(xué)會如何在高等代數(shù)中“縱關(guān)”與“橫聯(lián)”，只有這樣才能真正學(xué)好高等代數(shù)。
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