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線性代數(shù)中矩陣的應(yīng)用論文
線性代數(shù)中矩陣的應(yīng)用論文【1】
摘 要：伴隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，信息技術(shù)的進(jìn)步，數(shù)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域也得到了擴(kuò)展，已從傳統(tǒng)物理領(lǐng)域擴(kuò)展至非物理領(lǐng)域，于當(dāng)前現(xiàn)代化管理、高科技的發(fā)展以及生產(chǎn)力水平的提升中有著非常重要的作用。
下面筆者就線性代數(shù)中矩陣的應(yīng)用進(jìn)行研究，借助于關(guān)于矩陣應(yīng)用的典型案例來分析，以加深人們對(duì)矩陣應(yīng)用領(lǐng)域的認(rèn)識(shí)。
關(guān)鍵詞：代數(shù) 應(yīng)用 線性 矩陣
線性代數(shù)作為數(shù)學(xué)分支之一，是一門重要的學(xué)科。
在線性代數(shù)的研究中，對(duì)矩陣所實(shí)施的研究最多，矩陣為一個(gè)數(shù)表，該數(shù)表能變換，形成為新數(shù)表，簡而言之就是若抽象出某一種變化規(guī)律，可借助于代數(shù)理論知識(shí)來對(duì)所研究的這一數(shù)表實(shí)施變換，以此獲得所需結(jié)論。
近年來，隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展速度的加快，科學(xué)技術(shù)水平的提高，線形代數(shù)中矩陣的應(yīng)用領(lǐng)域也變得更為廣泛，本文就線性代數(shù)中矩陣的應(yīng)用進(jìn)行詳細(xì)地闡述。
1 矩陣在量綱化分析法中的應(yīng)用
大部分物理量均有量綱，其主要分為兩種，即基本量綱與導(dǎo)出量綱，其中基本量綱有社會(huì)長度L、時(shí)間T以及質(zhì)量M，其他量均為導(dǎo)出量。
基于量綱一致這一原則，等號(hào)兩端的各變量能構(gòu)建一個(gè)相應(yīng)的線性方程組，經(jīng)矩陣變換來解決各量之間所存關(guān)系。
比如勾股定理證明，假設(shè)某RT△斜邊長是c，兩直角邊長各為a和b，在此如果選△面積s，斜邊c，兩銳角a和β為需研究變量，則必定有以下關(guān)系，即，該公式中所存量綱有四個(gè)，其中有三個(gè)為基本量綱，則必然有一個(gè)量為無量綱，把上述量綱列成為矩陣，所獲矩陣圖形如，其中每一列表示一個(gè)變量量綱數(shù)據(jù)。
基于該矩陣，所獲解線性方程為，綜合上述方程可得解，即x11為2，x21為0，x31為0，因此，可得關(guān)系式，該公式中λ表示唯一需明確的無量綱量，從該公式可知RT△面積和斜邊c平方之間成比例。
在此，于該三角形斜邊做一高，把其劃分為兩個(gè)形似三角形，其面積各為s1與s2，此時(shí)，原RT△的邊長a和b則是兩個(gè)相似小三角形的斜邊。
通過上述內(nèi)容可知所獲原理和結(jié)論相似，則有s1=λa2與s2=λb2，因s1+s2=s，對(duì)此，基于此，可證明勾股定理，即為。
由于量綱分析在運(yùn)算上所涉及到的內(nèi)容僅有代數(shù)，對(duì)此，若進(jìn)行的試驗(yàn)十分昂貴，一般在實(shí)驗(yàn)前，人們傾向于事先在不同的假設(shè)下構(gòu)建若干的相似模型，接著擇優(yōu)選擇來進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。
從側(cè)面上來講，這種方法對(duì)于部分常數(shù)還起到一定的壓縮或者恢復(fù)的作用。
2 矩陣在生產(chǎn)總值和城鄉(xiāng)人口流動(dòng)分析中的應(yīng)用
2.1 生產(chǎn)總值
3 結(jié)語
綜上所述，經(jīng)線性代數(shù)中矩陣在不同領(lǐng)域中應(yīng)用案例的分析可知，矩陣所具潛能非常的大，伴隨著信息技術(shù)水平的提高，網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的進(jìn)步，矩陣的應(yīng)用也會(huì)更加深入。
由于各學(xué)科間、各行業(yè)之間的交叉變得越來越頻繁，且界限也變得越來越模糊，在這種形勢下，數(shù)學(xué)這門學(xué)科所具基礎(chǔ)性也更為明顯，對(duì)此，在學(xué)科研究與行業(yè)研究中融入數(shù)學(xué)，不僅可使研究更加具有說服力，同時(shí)還可使研究變得更為簡潔，獲得更為合理且科學(xué)的研究成果。
參考文獻(xiàn)
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線性代數(shù)中矩陣的秩的運(yùn)用及教學(xué)策略【2】
【摘要】線性代數(shù)是數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中的一個(gè)重要學(xué)科分支，矩陣是線性代數(shù)中的一個(gè)重要的基本概念，是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對(duì)象，也是數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要的工具。
矩陣的秩幾乎貫穿矩陣?yán)碚摰氖冀K，它在線性代數(shù)中扮演了重要角色。
本文根據(jù)線性代數(shù)中矩陣的秩的運(yùn)用特點(diǎn)展開討論，提出幾點(diǎn)指導(dǎo)教學(xué)運(yùn)用的具體策略。
【關(guān)鍵詞】矩陣的秩 線性代數(shù) 方程組 教學(xué)策略
一、前言
設(shè)在矩陣A中有一個(gè)不等于0的r階子式D，且所有r+l階子式(若存在)全等于0，那么稱D為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣A的秩，記作R(A)。
并規(guī)定零矩陣的秩等于0。
顯然矩陣A的秩R(A)就是A中不等于0的子式的最高階數(shù)。
還可以從向量組的角度來定義矩陣的秩，矩陣的行向量組的秩等于矩陣的列向量組的秩，統(tǒng)稱為矩陣的秩。
不管對(duì)于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)高等代數(shù)或者非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)來說，學(xué)習(xí)和理解它的含義都是十分必要的。
本文通過分析矩陣的秩在線性代數(shù)中的諸多作用， 逐步加深對(duì)這一概念本質(zhì)的理解， 進(jìn)而真正掌握矩陣的秩并能靈活地運(yùn)用它解決各種有關(guān)問題。
在開展教學(xué)活動(dòng)時(shí)，教師需要立足于矩陣的秩的性質(zhì)，開展結(jié)構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖的建設(shè)工作，通過多種教學(xué)手段的使用，從而顯著提高教學(xué)效果。
二、秩與初等變換
教材中通常先引進(jìn)矩陣的初等變換，建立矩陣的秩的概念，并利用初等變換討論矩陣秩的性質(zhì)，然后利用秩討論線性方程組無解、有唯一解或有無無限多解的充分必要條件，并介紹用初等變換解方程組的方法。
初等變換不改變矩陣的秩。
利用這一性質(zhì)，我們得到了求矩陣的秩的一般方法―初等變換法。
要求矩陣的秩，可以對(duì)矩陣做初等變換，化為行階梯型，那么非零行的行數(shù)即為矩陣的秩。
通過初等變換我們還可以得到矩陣秩的諸多優(yōu)良性質(zhì)。
用初等變換法我們還可以用來求向量組的秩，將向量組對(duì)應(yīng)成矩陣，初等變換法求出矩陣的秩，即為向量組的秩。
更進(jìn)一步，我們還可以求出向量組中的最大線性無關(guān)組及向量組的線性相關(guān)性。
用初等變換法將矩陣化成行階梯型矩陣，找出不為零的最高階非零子式，它所在的行即為矩陣行向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組，所在的列即為矩陣列向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組。
如果向量組的秩等于向量個(gè)數(shù)，則向量組線性無關(guān);小于向量個(gè)數(shù)，則線性相關(guān)。
從而將向量組的線性相關(guān)性的判別這個(gè)讓學(xué)生感到棘手的問題簡單化為向量組構(gòu)成的矩陣秩與向量個(gè)數(shù)的大小比較問題。
三、秩與線性方程組
為了探討線性方程組無解、有唯一解或有無無限多解的條件，我們需要將系數(shù)矩陣的秩、增廣矩陣的秩與未知量的個(gè)數(shù)進(jìn)行比較。
定理[1]：n元線性方程組 Ax = b
① 無解的充分必要條件是 R(A) �、� 有唯一解的充分必要條件是 R(A) = R(A， b) = n ;
�、� 有無限多解的充分必要條件是 R(A) = R(A， b) 例討論線性方程組解的情況，并在有無窮多解時(shí)求其解。
解：對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行如下初等行變換：
(1) 當(dāng)即系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為3，此時(shí)方程組有唯一解.
(2) 當(dāng)系數(shù)矩陣的秩為1，增廣矩陣的秩為2，此時(shí)方程組無解.
(3) 當(dāng)此時(shí)方程組有無窮多組解.
方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換可化為
故原方程組與下列方程組同解：
令可得上述非齊次線性方程組的一個(gè)特解;
元素，可得為該齊次線性方程組的一個(gè)解，它構(gòu)成該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.此時(shí)原方程組的通解為
此外，注意到此題中方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相同，還可以先計(jì)算系數(shù)行列式，運(yùn)用克萊默法則，易于確定參數(shù)的值，使問題簡單化。
從以下這個(gè)表中我們能更加清楚的認(rèn)識(shí)矩陣的秩與線性方程組的解的情況之間的關(guān)系。
四、矩陣的秩的教學(xué)策略探討
首先，要讓學(xué)生明白學(xué)習(xí)矩陣的秩的重要性。
矩陣從來都是數(shù)學(xué)中的經(jīng)典內(nèi)容，是我們分析解決問題的一個(gè)強(qiáng)有力的工具，當(dāng)然也是大學(xué)生必備的經(jīng)典知識(shí)。
其次，在線性代數(shù)中，矩陣的秩是個(gè)比較抽象的概念，它是教師教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。
若不注重方法直接介紹，學(xué)生將難以接受，接受勉強(qiáng)接受，也不能深刻地理解其定義與定理的具體的內(nèi)涵，更談不上在具體題目中能靈活運(yùn)用這個(gè)數(shù)學(xué)概念。
教師要幫助學(xué)生深刻理解矩陣秩的概念，從學(xué)生熟悉的背景引入，兼顧知識(shí)難點(diǎn)嚴(yán)密性和形象性，用大量實(shí)例將概念具體化，不管是從行列式的角度還是從向量組的角度，都能清晰把握概念內(nèi)涵。
第三，在教學(xué)過程中要中深入剖向量組的線性相關(guān)性與矩陣的秩以及線性方程組解之間的內(nèi)在聯(lián)系，課堂教學(xué)過程中多選擇典型例題，例題就是抽象知識(shí)的具體化，通過典型的例題來解釋這些難懂的知識(shí)點(diǎn)。
第四，讓學(xué)生多做練習(xí)，使學(xué)生在運(yùn)用中加深對(duì)難點(diǎn)的理解和把握，從中體會(huì)相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與區(qū)別。
比如，安排習(xí)題課讓學(xué)生進(jìn)行課內(nèi)練習(xí)，教師可利用習(xí)題課對(duì)矩陣的秩的運(yùn)用特點(diǎn)進(jìn)行梳理和總結(jié)，幫助學(xué)生從整體上把握。
針對(duì)一些典型的習(xí)題，讓學(xué)生先認(rèn)真思考驗(yàn)算，再進(jìn)行講評(píng)，提高學(xué)生分析和解決問題的能力。
五、結(jié)束語
對(duì)于數(shù)學(xué)問題的認(rèn)知方面，學(xué)生應(yīng)該全身心的參與，不應(yīng)該僅僅局限在課本和例題這些固定的知識(shí)層面，還應(yīng)該在題目的變式中得到錘煉和提高。
在線性代數(shù)講解活動(dòng)中，老師應(yīng)該循循善誘的幫助學(xué)生樹立起探索數(shù)學(xué)復(fù)雜題型的信心，在線性代數(shù)中矩陣秩的具體習(xí)題練習(xí)中得到思維發(fā)散與提高。
參考文獻(xiàn)：
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