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圓錐曲線的性質(zhì)及推廣應(yīng)用
在我們現(xiàn)行使用的高中數(shù)學(xué)教材中,圓與圓錐曲線是分兩個(gè)章節(jié)進(jìn)行教學(xué)的.但我們知道事實(shí)上圓可看作當(dāng)e=0時(shí)的特殊的橢圓,從圓錐曲線是平面截圓錐曲面所得的交線這個(gè)角度看,圓與圓錐曲線也應(yīng)該是同一家族的一個(gè)成員.它們應(yīng)該有某種內(nèi)在"血緣關(guān)系",應(yīng)該有很多共性值得我們關(guān)注與重視.本人在平時(shí)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)圓的很多性質(zhì)能夠在圓錐曲線中進(jìn)行很好的推廣與應(yīng)用. 下面小編為大家?guī)?lái)了關(guān)于圓錐曲線的性質(zhì)及推廣應(yīng)用的論文。
摘要：在高中階段，學(xué)生對(duì)圓錐曲線性質(zhì)的掌握及應(yīng)用，是現(xiàn)今我國(guó)高考數(shù)學(xué)的考查重點(diǎn)。作為高中數(shù)學(xué)教師，我們要積極探究圓錐曲線在解析幾何下的分類，然后利用這些平面解析幾何的知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思考模式，對(duì)圓錐曲線的基本性質(zhì)及推廣應(yīng)用進(jìn)行總結(jié)、證明，并將其應(yīng)用于對(duì)學(xué)生的解題教學(xué)中。
關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);圓錐曲線;性質(zhì);推廣;應(yīng)用;解題
圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容，其對(duì)于幾何問(wèn)題的研究卻是利用代數(shù)的解題方法。而且，對(duì)于高中生來(lái)說(shuō)，圓錐曲線的性質(zhì)掌握及其推廣應(yīng)用是目前我國(guó)高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)考查內(nèi)容。從更深層次來(lái)講，加強(qiáng)對(duì)于圓錐曲線分類與性質(zhì)的研究，在一定程度上可以幫助學(xué)生打開(kāi)解題思路、提高解題技巧，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生以數(shù)學(xué)思維能力、創(chuàng)新能力為代表的綜合能力。
因此，為了使學(xué)生能夠更好地掌握?qǐng)A錐曲線的性質(zhì)及其的推廣應(yīng)用，且進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素質(zhì)，作為高中數(shù)學(xué)教師的我們，就要積極探討圓錐曲線在解析幾何下的分類及其性質(zhì)，注重對(duì)學(xué)生圓錐曲線性質(zhì)及其推廣應(yīng)用的教學(xué)。
一、 圓錐曲線的定義
對(duì)于圓錐曲線在解析幾何下的分類及性質(zhì)的研究前提，是對(duì)于圓錐曲線定義的了解及掌握。本文，筆者從三個(gè)方面介紹圓錐曲線的定義。
1、 從幾何的觀點(diǎn)出發(fā)。
我們說(shuō)，如果用一個(gè)平面去截取另一個(gè)平面，然后兩個(gè)平面的交線就是我們所要研究的圓錐曲線。嚴(yán)格來(lái)講，圓錐曲線包含許多情況的退化，由于學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的局限性，對(duì)于圓錐曲線的教學(xué)，我們通常包含橢圓、雙曲線和拋物線，這三類的知識(shí)內(nèi)容。
2、 從代數(shù)的觀點(diǎn)出發(fā)。
在直角坐標(biāo)系中，對(duì)于圓錐曲線的定義就是二元二次方程 的圖像。高中生在其的學(xué)習(xí)中，可以根據(jù)其判別式△的不同，分為橢圓、雙曲線、拋物線以及其他幾種退化情形。
3、 從焦點(diǎn)-準(zhǔn)線的觀點(diǎn)出發(fā)。
在平面中有一個(gè)點(diǎn)，一條確定的直線與一個(gè)正實(shí)常數(shù)e，那么所有到點(diǎn)與直線的距離之比都為e的點(diǎn)，所形成的圖像就是圓錐曲線。
學(xué)生在具體的圓錐曲線學(xué)習(xí)中可以了解到，如果e的取值不同，這些點(diǎn)所形成的具體的圖像也不同。
(1) 如果e的取值為1，那么那些點(diǎn)所形成的圓錐曲線是一條拋物線;
(2) 如果e的取值在0到1之間，那么圓錐曲線就為橢圓;
(3) 如果e的取值大于1，那么圓錐曲線就為雙曲線。
但是，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，在數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域，這種焦點(diǎn)-準(zhǔn)線的觀點(diǎn)是只能定義圓錐曲線的幾種的主要情形的，是不能算作為圓錐曲線的定義。但是，在對(duì)于學(xué)生的圓錐曲線教學(xué)中，這種定義被廣泛使用，并且，其也能引導(dǎo)出許多圓錐曲線中的重要的性質(zhì)、概念的。
二、 圓錐曲線的分類
1、 橢圓。
橢圓上的任意一個(gè)點(diǎn)到某個(gè)焦點(diǎn)與一條確定的直線的距離之比都是一個(gè)大于0且小于1的實(shí)常數(shù)e，而且這個(gè)點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和為2a。一般情況下，我們稱這條確定的直線為橢圓的準(zhǔn)線，e就是我們經(jīng)常說(shuō)的橢圓的離心率。
2、 雙曲線。
雙曲線上的任意一點(diǎn)到其焦點(diǎn)與一條確定直線的距離之間為一個(gè)大于1的實(shí)常數(shù)e。同樣的，這條確定直線也是一條準(zhǔn)線，其為雙曲線的準(zhǔn)線，e為雙曲線的離心率。
3、 拋物線。
拋物線上的任意一點(diǎn)到其定點(diǎn)與一條確定直線的距離之比等于1。同樣地，這條確定的直線為拋物線的準(zhǔn)線。
三、 圓錐曲線的基本性質(zhì)
1、 橢圓的基本性質(zhì)。
在高中對(duì)于圓錐曲線的學(xué)習(xí)，通常包含兩個(gè)定義和三個(gè)基本定理。
定義1 即橢圓的定義，課本上是這樣表述的：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于實(shí)常數(shù)2a(2a>|F1F2|)的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做橢圓。簡(jiǎn)單地用公式來(lái)表達(dá)，就是|PF1|+|PF2|=2a。
定義2 即橢圓的第二定義，關(guān)于橢圓的準(zhǔn)線方程及其離心率。
動(dòng)點(diǎn)P(x，y)與定點(diǎn)F(-c，0)，即橢圓的焦點(diǎn)的距離和它到確定直線 的距離的比為實(shí)常數(shù) (a>c>0)時(shí)，那么P點(diǎn)的軌跡即為橢圓。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，即到定點(diǎn)確定直線的距離的比等于定值e(0 定理1 假設(shè)AB是橢圓的右焦點(diǎn)弦，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M，則∠ABM小于 。
定理2 假設(shè)橢圓 與一過(guò)焦點(diǎn)的直線交于A(x1，y2)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則AB就被稱為橢圓的弦，并且有|AB|的值等于 │ │。
定理3 假設(shè)橢圓 與一過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸F1F2的直線交于A，B兩點(diǎn)，那么我們把AB稱為通徑，并且有|AB|的值等于 。
2、 雙曲線的基本性質(zhì)。
對(duì)于圓錐曲線中雙曲線的學(xué)習(xí)，在高中階段，學(xué)生對(duì)其需主要掌握兩個(gè)定義及基本定理。
定義1 平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離差的絕對(duì)值為一個(gè)確定常數(shù)，P的運(yùn)動(dòng)軌跡就叫做雙曲線。即||PF1|-|PF2||=2a，標(biāo)準(zhǔn)方程為 。這兩個(gè)定點(diǎn)就是我們常說(shuō)的，雙曲線的焦點(diǎn)。兩焦點(diǎn)之間的距離為雙曲線的焦距，通常我們把|F1F2|記為2c。
定義2 雙曲線的第二定義，也是關(guān)于其準(zhǔn)線方程及離心率的。
動(dòng)點(diǎn)P(x，y)與定點(diǎn)F(-c，0)的距離和它到確定直線 的距離的比是常數(shù) (a>c>0)時(shí)，P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡即為雙曲線。簡(jiǎn)單的說(shuō)，到定點(diǎn)與到確定直線的距離比等于一個(gè)定值e (e>1)的點(diǎn)的集合所形成的的圖像就是雙曲線。我們把定值 (e>1)，叫做橢圓的離心率。確定直線為準(zhǔn)線，方程是 。
定理1 漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，漸近線可以與雙曲線無(wú)限接近，但這兩者卻永不會(huì)相交，當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，雙曲線的漸近線方程是 ;而當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，雙曲線的漸近線方程是 。 定理2 當(dāng)實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)相等時(shí)，即2a=2b，此時(shí)雙曲線被稱為等軸雙曲線，它的漸近線方程就為 ，而標(biāo)準(zhǔn)方程是x2-y2=C，其中C≠0;離心率 。
3、 拋物線的基本性質(zhì)。
拋物線對(duì)于學(xué)生在圓錐曲線的學(xué)習(xí)過(guò)程中，其相對(duì)于橢圓與雙曲線，無(wú)論是從解題技巧，還是從思維方式，它對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，還是相對(duì)較為簡(jiǎn)單的。拋物線的性質(zhì)，在學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程中，較為常接觸的有兩個(gè)定義、三個(gè)定理。
定義1 平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)P和一條確定直線l的距離都相等的點(diǎn)的集合所形成的的圖像叫做拋物線，而這個(gè)點(diǎn)P就叫做拋物線的焦點(diǎn)，確定的直線l就叫做拋物線準(zhǔn)線。
定義2 定點(diǎn)P不在確定的直線l上時(shí)的情況，對(duì)于離心率e的比值不同時(shí)，圓錐曲線的圖像也不同。當(dāng)e=1時(shí)，圓錐曲線的圖像為拋物線，而當(dāng)01時(shí)其為雙曲線。
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，這一知識(shí)點(diǎn)較為簡(jiǎn)單，且在高中數(shù)學(xué)的實(shí)踐教學(xué)中，學(xué)生對(duì)這一知識(shí)點(diǎn)也能迅速的理解、掌握，所以在這里筆者就不一一說(shuō)明了。
四、 圓錐曲線的推廣應(yīng)用
對(duì)于學(xué)生高中階段的學(xué)習(xí)，上文所提到的圓錐曲線的這些基本性質(zhì)只是起到穩(wěn)固學(xué)生基礎(chǔ)的作用，要想使得學(xué)生在圓錐曲線的學(xué)習(xí)上有更加良好的進(jìn)步、發(fā)展，進(jìn)一步對(duì)學(xué)習(xí)的知識(shí)進(jìn)行穩(wěn)固，并培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力、自主學(xué)習(xí)能力等各種綜合能力，這就使得，作為高中數(shù)學(xué)教師的我們就要利用這些基本性質(zhì)，對(duì)其進(jìn)行推廣，得出更進(jìn)一步的推理定理，從而提高學(xué)生圓錐曲線中的解題技巧。
而筆者對(duì)于在課堂教學(xué)中對(duì)于學(xué)生提出的問(wèn)題進(jìn)行了積極的研究，并且對(duì)圓錐曲線的這些基本性質(zhì)也同樣進(jìn)行了深入的研究，兩者相結(jié)合，得出了這么兩個(gè)推理定理。
推理定理1 F是橫向型圓錐曲線的焦點(diǎn)，E是與焦點(diǎn)F相對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線和對(duì)稱軸的交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)F且斜率是k的直線交圓錐曲線于A，B兩點(diǎn)，e 是圓錐曲線的離心率，如果< ， >=θ，則五、 總結(jié)
圓錐曲線在歷年高考中都會(huì)出現(xiàn)，其涉及的題型范圍也很廣泛，且分值都較高。但是學(xué)生在圓錐曲線上沒(méi)有太多的解題技巧，解題思路往往也會(huì)受到自身的限制。這就要求作為高中數(shù)學(xué)教師的我們，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于圓錐曲線的基本性質(zhì)的理解與掌握，而且我們要在教學(xué)之余加深對(duì)圓錐曲線的研究，利用其基本性質(zhì)進(jìn)行推廣，得到多種推廣性推理定理，從而提高學(xué)生的解題技巧、擴(kuò)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。
我們?cè)趯?duì)圓錐曲線的性質(zhì)進(jìn)行推廣應(yīng)用時(shí)，相應(yīng)地，我們還要加強(qiáng)自身在教學(xué)過(guò)程中對(duì)圓錐曲線的教學(xué)內(nèi)容及重難點(diǎn)的掌握。而在日常生活中，我們?cè)趯?duì)學(xué)生的解題技巧進(jìn)行訓(xùn)練，要嚴(yán)格把握好題目的難易程度，使得學(xué)生可以在提高解題技巧的同時(shí)，樹(shù)立自己在考試中的信心。
參考文獻(xiàn)：
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[4]《圓錐曲線與方程》(人教A版選修1-1)
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