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數(shù)學(xué)的邏輯思維能力應(yīng)從數(shù)列解題中培養(yǎng)
即將畢業(yè)的大學(xué)生，畢業(yè)論文是不可缺少的一項(xiàng)，但是畢業(yè)論文又是十分難寫的，讓很多同學(xué)撓破頭皮也難以下筆。在這里小編為大家展示一篇數(shù)學(xué)畢業(yè)論文，希望能夠幫到同學(xué)們!
摘 要:數(shù)學(xué)的邏輯思維能力是借助于數(shù)學(xué)概念進(jìn)行判斷與推理來解決數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用問題的能力。它是深入挖掘數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與拓展數(shù)學(xué)概念的外延的完整的思維過程。本文從數(shù)列解題的角度闡述了如何培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué) 邏輯思維 數(shù)列解題 能力培養(yǎng)
高中數(shù)學(xué)中數(shù)列教學(xué)是整個(gè)數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)的一個(gè)不可缺少的重要環(huán)節(jié)。因?yàn)榻鉀Q數(shù)列問題一般是通過數(shù)列的通項(xiàng)公式或者通過數(shù)列的遞推公式來解決，而數(shù)列的遞推公式具有數(shù)學(xué)關(guān)系的普遍性與特殊性完美結(jié)合的標(biāo)識(shí)，它包含兩個(gè)部分，即遞推關(guān)系與初始條件，二者缺一不可。數(shù)列的遞推公式突出了轉(zhuǎn)化思想，要把一些特殊的數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列與等比數(shù)列的解題思路來解題。下面就闡述一下怎樣運(yùn)用遞推公式內(nèi)含條件的轉(zhuǎn)化來解題的。
下列兩例就是從可歸納為等差與等比數(shù)列類型的遞推公式思路出發(fā)的解題思想：
例1、已知數(shù)列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2，q≠0)。
(Ⅰ)設(shè)bn=an+1-an(n∈N*)，證明{bn}是等比數(shù)列;(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(Ⅲ)若a3是a6與a9的等差中項(xiàng)，求q的值，并證明：對任意的n∈N*，an是an+3與an+6的等差中項(xiàng)。
(Ⅰ)證明：由題設(shè)an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2)，得an+1-an=q(an-an-1)，即bn=qbn-1，n≥2。又b1=a2-a1=1，q≠0，所以{bn}是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列。
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)得，a2-a1=1，a3-a2=q，……an-an-1=qn-2(n≥2)。將以上各式兩邊相加，得an-a1=1+q+…+qn-2(n≥2)。所以當(dāng)n≥2時(shí)，
an=
(Ⅲ)解：由(Ⅱ)得，當(dāng)q=1時(shí)，顯然a3不是a6與a9的等差中項(xiàng)，故q≠1。
由a3-a6=a9-a3可得q5-q2=q2-q8，由q≠1得
q3-1=1-q6 �、�
整理得(q3)2+q3-2=0，解得q3=-2或q3=1(舍去)。于是q=- 2。
由①可得an-an+3=an+6-an，n∈N*。
所以對任意的n∈N*，an是an+3與an+6的等差中項(xiàng)。
本題主要突出了等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，考查了運(yùn)算能力和推理論證能力及分類討論的思想方法。
例2、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn=2an-2n。
(Ⅰ)求a3、a4。
(Ⅱ)證明：數(shù)列{an+1-2an}是一個(gè)等比數(shù)列。
(Ⅲ)求{an}的通項(xiàng)公式。
(Ⅰ)因?yàn)閟n=2an-2n，所以a1=2，S1=2。
由2an=Sn+2n，2an+1=sn+1+2n+1=an+1+sn+2n+1，
得an+1=sn+2n+1，
q2=s1+22=2+22=6，s2=8;
所以 a3=s2+23=8+23=16，s3=24;
a4=s3+24=40
(Ⅱ)由題設(shè)和上式知an+1-2an=(sn+2n+1)-(sn+2n)=2n+1-2n=2n
所以{an+1-2an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列。
(Ⅲ)an=(an-2an-1)+2(an-1-2an-2)+…+2n-2(a2-2a1)+2n-1a1
=(n+1)·2n-1。
由此我們看出，它們前后兩項(xiàng)組合之差是一個(gè)等比數(shù)列，既含有等差數(shù)列的信息，又體現(xiàn)了等比數(shù)列的運(yùn)算方法。
高中數(shù)學(xué)解題的主要思維方法是以轉(zhuǎn)化為主要目標(biāo)的，它進(jìn)一步揭示了數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，拓展了數(shù)學(xué)概念外延的數(shù)學(xué)思維過程。通俗地講就是把陌生的已知條件轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的數(shù)學(xué)知識(shí)，在數(shù)列解題中首先想到的是等差數(shù)列與等比數(shù)列，根據(jù)不同的遞推公式，采用適當(dāng)?shù)淖冃芜^程，把它轉(zhuǎn)化為所熟悉的數(shù)學(xué)關(guān)系。這種從數(shù)列的解題中進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，就是我們今后教學(xué)思維的重要途徑。
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