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解析高三幾何平面學(xué)習(xí)方法
高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法：沖刺易高考易錯點平面解析幾何
本文題目：高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法：沖刺易高考易錯點平面解析幾何
一、高考預(yù)測
解析幾何初步的內(nèi)容主要是直線與方程、圓與方程和空間直角坐標(biāo)系，該部分內(nèi)容是整個解析幾何的基礎(chǔ)，在解析幾何的知識體系中占有重要位置，但由于在高中階段平面解析幾何的主要內(nèi)容是圓錐曲線與方程，故在該部分高考考查的分值不多，在高考試卷中一般就是一個選擇題或者填空題考查直線與方程、圓與方程的基本問題，偏向于考查直線與圓的綜合，試題難度不大，對直線方程、圓的方程的深入考查則與圓錐曲線結(jié)合進行.根據(jù)近年來各地高考的情況，解析幾何初步的考查是穩(wěn)定的，預(yù)計2012年該部分的考查仍然是以選擇題或者填空題考查直線與圓的基礎(chǔ)知識和方法，而在解析幾何解答題中考查該部分知識的應(yīng)用.
圓錐曲線與方程是高考考查的核心內(nèi)容之一，在高考中一般有1～2個選擇題或者填空題，一個解答題.選擇題或者填空題在于有針對性地考查橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，試題考查主要針對圓錐曲線本身，綜合性較小，試題的難度一般不大;解答題中主要是以橢圓為基本依托，考查橢圓方程的求解、考查直線與曲線的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想等數(shù)學(xué)思想方法，這道解答題往往是試卷的壓軸題之一.由于圓錐曲線與方程是傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)主干知識，在高考命題上已經(jīng)比較成熟，考查的形式和試題的難度、類型已經(jīng)較為穩(wěn)定，預(yù)計2012年仍然是這種考查方式，不會發(fā)生大的變化.
解析幾何的知識主線很清晰，就是直線方程、圓的方程、圓錐曲線方程及其簡單幾何性質(zhì)，復(fù)習(xí)解析幾何時不能把目標(biāo)僅僅定位在知識的掌握上，要在解題方法、解題思想上深入下去.解析幾何中基本的解題方法是使用代數(shù)方程的方法研究直線、曲線的某些幾何性質(zhì)，代數(shù)方程是解題的橋梁，要掌握一些解方程(組)的方法，掌握一元二次方程的知識在解析幾何中的應(yīng)用，掌握使用韋達定理進行整體代入的解題方法;數(shù)學(xué)思想方法在解析幾何問題中起著重要作用，數(shù)形結(jié)合思想占首位，其次分類討論思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，如解析幾何中的最值問題往往就是建立求解目標(biāo)的函數(shù)，通過函數(shù)的最值研究幾何中的最值.復(fù)習(xí)解析幾何時要充分重視數(shù)學(xué)思想方法的運用.
二、知識導(dǎo)學(xué)
(一)直線的方程
1.點斜式： ;2. 截距式： ;
3.兩點式： ;4. 截距式： ;
5.一般式： ，其中A、B不同時為0.
(二)兩條直線的位置關(guān)系
兩條直線 ， 有三種位置關(guān)系：平行(沒有公共點);相交(有且只有一個公共點);重合(有無數(shù)個公共點).在這三種位置關(guān)系中，我們重點研究平行與相交.
設(shè)直線 ： = + ，直線 ： = + ，則
∥ 的充要條件是 = ，且 = ; ⊥ 的充要條件是 =-1.
(三)圓的有關(guān)問題
1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(r>0)，稱為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其圓心坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r.
特別地，當(dāng)圓心在原點(0，0)，半徑為r時，圓的方程為 .
2.圓的一般方程
( >0)稱為圓的一般方程，
其圓心坐標(biāo)為( ， )，半徑為 .
當(dāng) =0時，方程表示一個點( ， );
當(dāng)<0時，方程不表示任何圖形.
3.圓的參數(shù)方程
圓的普通方程與參數(shù)方程之間有如下關(guān)系：
(θ為參數(shù))
(θ為參數(shù))
(四) 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程
1. 橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內(nèi)動點與兩定點 、 的距離的和大于 這個條件不可忽視.若這個距離之和小于 ，則這樣的點不存在;若距離之和等于 ，則動點的軌跡是線段 .
2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： ( > >0)， ( > >0).
3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法：判別焦點在哪個軸只要看分母的大�。喝绻� 項的分母大于 項的分母，則橢圓的焦點在x軸上，反之，焦點在y軸上.
4.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：⑴ 正確判斷焦點的位置;⑵ 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運用待定系數(shù)法求解.
(五)橢圓的簡單幾何性質(zhì)
1. 橢圓的幾何性質(zhì)：設(shè)橢圓方程為 ( > >0).
�、� 范圍： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以橢圓位于直線x= 和y= 所圍成的矩形里.
�、� 對稱性：分別關(guān)于x軸、y軸成軸對稱，關(guān)于原點中心對稱.橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心.
⑶ 頂點：有四個 (-a，0)、 (a，0) (0，-b)、 (0，b).
線段 、 分別叫做橢圓的長軸和短軸.它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長. 所以橢圓和它的對稱軸有四個交點，稱為橢圓的頂點.
⑷ 離心率：橢圓的焦距與長軸長的比 叫做橢圓的離心率.它的值表示橢圓的扁平程度.0
橢圓的四個主要元素a、b、c、e中有 = + 、 兩個關(guān)系，因此確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需兩個獨立條件.
(六)橢圓的參數(shù)方程
橢圓 ( > >0)的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)).
說明 ⑴ 這里參數(shù)θ叫做橢圓的離心角.橢圓上點P的離心角θ與直線OP的傾斜角α不同： ;
�、� 橢圓的參數(shù)方程可以由方程 與三角恒等式 相比較而得到，所以橢圓的參數(shù)方程的實質(zhì)是三角代換.
(七)雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
1. 雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點 、 的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a(小于 )的動點 的軌跡叫做雙曲線.在這個定義中，要注意條件2a< ，這一條件可以用“三角形的兩邊之差小于第三邊”加以理解.若2a= ，則動點的軌跡是兩條射線;若2a> ，則無軌跡.
若 < 時，動點 的軌跡僅為雙曲線的一個分支，又若 > 時，軌跡為雙曲線的另一支.而雙曲線是由兩個分支組成的，故在定義中應(yīng)為“差的絕對值”.
2. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： 和 (a>0，b>0).這里 ，其中 =2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.
1的常數(shù)(離心率)的點的軌跡叫做雙曲線.對于雙曲線 ，它的焦點坐標(biāo)是(-c，0)和(c，0)，與它們對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是 和 .在雙曲線中，a、b、c、e四個元素間有 與 的關(guān)系，與橢圓一樣確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程只要兩個獨立的條件.
(九)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
1.拋物線的定義：平面內(nèi)到一定點(F)和一條定直線(l)的距離相等的點的軌跡叫拋物線。這個定點F叫拋物線的焦點，這條定直線l叫拋物線的準(zhǔn)線。
需強調(diào)的是，點F不在直線l上，否則軌跡是過點F且與l垂直的直線，而不是拋物線。
2.拋物線的方程有四種類型： 、 、 、 .
對于以上四種方程：應(yīng)注意掌握它們的規(guī)律：曲線的對稱軸是哪個軸，方程中的該項即為一次項;一次項前面是正號則曲線的開口方向向x軸或y軸的正方向;一次項前面是負號則曲線的開口方向向x軸或y軸的負方向。
3.拋物線的幾何性質(zhì)，以標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px為例
(1)范圍：x≥0;
(2)對稱軸：對稱軸為y=0，由方程和圖像均可以看出;
(3)頂點：O(0，0)，注：拋物線亦叫無心圓錐曲線(因為無中心);
(4)離心率：e=1，由于e是常數(shù)，所以拋物線的形狀變化是由方程中的p決定的;
(5)準(zhǔn)線方程 ;
(6)焦半徑公式：拋物線上一點P(x1，y1)，F(xiàn)為拋物線的焦點，對于四種拋物線的 的點.
那么，這個方程叫做曲線的方程;這條曲線叫做方程的曲線(圖形或軌跡).
注意事項
1. ⑴ 直線的斜率是一個非常重要的概念，斜率k反映了直線相對于x軸的傾斜程度.當(dāng)斜率k存在時，直線方程通常用點斜式或斜截式表示，當(dāng)斜率不存在時，直線方程為x=a(a∈R).因此，利用直線的點斜式或斜截式方程解題時，斜率k存在與否，要分別考慮.
�、� 直線的截距式是兩點式的特例，a、b分別是直線在x軸、y軸上的截距，因為a≠0，b≠0，所以當(dāng)直線平行于x軸、平行于y軸或直線經(jīng)過原點，不能用截距式求出它的方程，而應(yīng)選擇其它形式求解.
⑶求解直線方程的最后結(jié)果，如無特別強調(diào)，都應(yīng)寫成一般式.
�、犬�(dāng)直線 或 的斜率不存在時，可以通過畫圖容易判定兩條直線是否平行與垂直
⑸在處理有關(guān)圓的問題，除了合理選擇圓的方程，還要注意圓的對稱性等幾何性質(zhì)的運用，這樣可以簡化計算.
2. ⑴用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，要分清焦點在x軸上還是y軸上，還是兩種都存在. ⑵注意橢圓定義、性質(zhì)的運用，熟練地進行a、b、c、e間的互求，并能根據(jù)所給的方程畫出橢圓.⑶求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 應(yīng)注意兩個問題：⑴ 正確判斷焦點的位置;⑵ 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運用待定系數(shù)法求解.⑷雙曲線 的漸近線方程為 或表示為 .若已知雙曲線的漸近線方程是 ，即 ，那么雙曲線的方程具有以下形式： ，其中k是一個不為零的常數(shù).⑸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個 和 (a>0，b>0).這里 ，其中 =2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.⑹求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，要線根據(jù)題設(shè)判斷拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，再求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，要線根據(jù)題設(shè)判斷拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，再由條件確定參數(shù)p的值.同時，應(yīng)明確拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程三者相依并存，知道其中拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程三者相依并存，知道其中一個，就可以求出其他兩個.
解題的策略有：1、注意直線傾斜角范圍 、設(shè)直線方程時注意斜率是否存在，可以設(shè)成 ，包含斜率不存在情況，但不包含斜率為0情況。注意截距為0的情況;注意點關(guān)于直線對稱問題(光線的反射問題);注意證明曲線過定點方法(兩種方法：特殊化、分離變量)2、注意二元二次方程表示圓的充要條件、善于利用切割線定理、相交弦定理、垂徑定理等平面中圓的有關(guān)定理解題;注意將圓上動點到定點、定直線的距離的最值轉(zhuǎn)化為圓心到它們的距離;注意圓的內(nèi)接四邊形的一些性質(zhì)以及正弦定理、余弦定理。以過某點的線段為弦的面積最小的圓是以線段為直徑，而面積最大時，是以該點為線段中點。3、注意圓與橢圓、三角、向量(注意利用加減法轉(zhuǎn)化、利用模與夾角轉(zhuǎn)化、然后考慮坐標(biāo)化)結(jié)合;4、注意構(gòu)建平面上的三點模型求最值，一般涉及“和”的問題有最小值，“差”的問題有最大值，只有當(dāng)三點共線時才取得最值;5、熟練掌握求橢圓方程、雙曲線方程、拋物線方程的方法：待定系數(shù)法或定義法，注意焦點位置的討論，注意雙曲線的漸近線方程：焦點在軸上時為 ，焦點在 軸上時為 ;注意化拋物線方程為標(biāo)準(zhǔn)形式(即2p、p、的關(guān)系);注意利用比例思想，減少變量，不知道焦點位置時，可設(shè)橢圓方程為 。6、熟練利用圓錐曲線的第一、第二定義解題;熟練掌握求離心率的題型與方法，特別提醒在求圓錐曲線方程或離心率的問題時注意利用比例思想方法，減少變量。7、注意圓錐曲線中的最值等范圍問題：產(chǎn)生不等式的條件一般有：①“ 法”;②離心率 的范圍;③自變量 的范圍;④曲線上的點到頂點、焦點、準(zhǔn)線的范圍;注意尋找兩個變量的關(guān)系式，用一個變量表示另一個變量，化為單個變量，建立關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考慮利用數(shù)形結(jié)合法， 注意點是要考慮曲線上點坐標(biāo)(x，y)的取值范圍、離心率范圍以及根的判別式范圍。8、求軌跡方程的常見方法：①直接法;②幾何法;③定義法;④相關(guān)點法; 9、注意利用向量方法， 注意垂直、平行、中點等條件以向量形式給出;注意將有關(guān)向量的表達式合理變形;特別注意遇到角的問題，可以考慮利用向量數(shù)量積解決;10、注意存在性、探索性問題的研究，注意從特殊到一般的方法。
三、易錯點點睛
命題角度1對橢圓相關(guān)知識的考查
1.設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△FlPF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 ( )
[考場錯解] A
[專家把脈] 沒有很好地理解橢圓的定義，錯誤地把 當(dāng)作離心率.
[對癥下藥] D 設(shè)橢圓的方程為 =l (a，b >0) 由題意可設(shè)PF2=F1F2=k，PF1= k，則e=
2.設(shè)雙曲線以橢圓 =1長軸的兩個端點為焦點，其準(zhǔn)線過橢圓的焦點，則雙曲線的漸近線的斜率為 ( )
A.±2 B.± C.± D.±
[考場錯解] D 由題意得a=5，b=3，則c=4而雙曲線以橢圓 =1長軸的兩個端點為焦點，則a=c =4，b=3 ∴k=
[專家把脈] 沒有很好理解a、b、c的實際意義.
[對癥下藥] C 設(shè)雙曲線方程為 =1，則由題意知c=5， =4 則a2=20 b2=5，而a=2 b= ∴雙曲線漸近線斜率為± =
3.從集合{1，2，3…，11}中任選兩個元素作為橢圓方程 =1中的m和n，則能組成落在矩形區(qū)域B={(x，y)‖x<11，且y<9}內(nèi)的橢圓個數(shù)為 ( )
A.43 B.72 C.86 D.90
[考場錯解] D 由題意得，m、n都有10種可能，但m≠n故橢圓的個數(shù)10×10-10=90.
[專家把脈] 沒有注意，x、y的取值不同.
[對癥下藥] B 由題意得m有10種可能，n只能從集合11，2，3，4，5，6，7，81中選取，且m≠n，故橢圓的個數(shù)：10×8-8=72.
4.設(shè)直線l與橢圓 =1相交于A、B兩點，l又與雙曲線x2-y2=1相交于C、D兩點，C、D三等分線段AB，求直線l的方程 ( )
[考場錯解] 設(shè)直線l的方程為y=kx+b
如圖所示，l與橢圓，雙曲線的交點為A(x1，y1)、B (x2，y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，依題意有 =3
由 所以x1+x2=-
由 得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0
(2) 若k=±1，則l與雙曲線最多只有一個交點，不合題意，故k≠±1
所以x3+x4= 、由 x3-x1=x2-x4 x1+x2=x3+x4 - bk=0或b =0
�、佼�(dāng)k=0時，由(1)得x1、2=± 由(2)得x3、4=± 由 =3(x4-x1)即 故l的方程為y=±
�、诋�(dāng)b=0時，由(1)得x1、2=± ，由(2)得x3、4= 由 =3(x4-x3)即 綜上所述：直線l的方程為：y=
[專家把脈] 用斜截式設(shè)直線方程時沒有注意斜率是否存在，致使造成思維片面，漏解.
[對癥下藥] 解法一：首先討論l不與x軸垂直時的，情況.
設(shè)直線l的方程為y=kx+b，如圖所示，l與橢圓、雙曲線的交點為：A(x1，y1)、B(x2， y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，依題意有 .由 得(16+25k2)x2+50bkx+(25b2-400)=0.(1) 所以x1+x2=- 由 得(1-k2+x2-2bkx-(b2+1)=0.
若k=±1，則l與雙曲線最多只有一個交點，不合題意，故k≠±1.所以x3+x4=
由 x1+x2=x2+x4 或 b=0.
�、佼�(dāng)k=0時，由(1)得 由(2)得x3、4=± 由 (x4-x3).
即 故l的方程為 y=±
�、诋�(dāng)b=0時，由(1)得x1、2=
自(2)得x3、4= (x4-x3).即
故l的方程為y= .再討論l與x軸垂直時的情況.
設(shè)直線l的方程為x=c，分別代入橢圓和雙曲線方程可解得yl、2=
y3、4= 即
綜上所述，直線l的方程是：y= x、y=± 和x=
x3、4= ∵x2-x1=3(x4-x3) .故l的方程為y=±
②當(dāng)y0=0，x0≠0，由(2)得x4=x3≠0，這時l平行y軸.設(shè)l的方程為x=c，分別代入橢圓、雙曲線方程得：yl、2= y3、4= ∵y2-y1=3(y4-y3)
故l的方程為：
�、郛�(dāng)x0=0，y0=0時，這時l通過坐標(biāo)原點且不與x軸垂直.設(shè)l的方程為y=kx，分別代入橢圓、雙曲線方程得：x1、2= 故l的方程為y= 綜上所述，直線l的方程是：y= 、y= 和x=
5.設(shè)A、B是橢圓3x2+y2=λ上的兩點，點N(1，3)是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點. (1)確定A的取值范圍，并求直線AB的方程; (Ⅱ)試判斷是否存在這樣的A，使得A、B、C、D四點在同一個圓上?并說明理由.(此題不要求在答題卡上畫圖)
[考場錯解] (1)設(shè)A(x1，y1)B(x2，y2)則有: (x1-x2)(x1+x2)+(yl-y2)(yl+y2)=0
依題意，x1≠x2 ∴kAB- ∵N(1，3)是AB的中點，∴x1+x2=2,yl+y2=6從而kAB=-9又由N(1，3)在橢圓內(nèi)，∴λ<3×12+32=12 ∴λ的取值范圍是(-∞，12)直線AB的方程為y-3=-9(x-1)即9x+y-12=0
[專家把脈] ①用“差比法”求斜率時kAB= 這地方很容易出錯.②N(1，3)在橢圓內(nèi)，λ>3×12+32=12應(yīng)用結(jié)論時也易混淆.
[對癥下藥] (1)解法1：依題意，可設(shè)直線AB的方程為y=A(x-1)+3，代入3x2+y2=λ，整理得(k2+3)x2-2k(k-3)x+(k-3)2-λ=0.① 設(shè)A(x1，y1)、B(x2、y2)，則x1，x2是方程①的兩個不同的根，
∴△=4[λ(k2+3)-3(k-3)2]>0，② 且x1+x2= ，由N(1，3)是線段AB的中點，得 ，∴A(k-3)=k2+3.解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范圍是(12，+∞).于是，直線AB的方程為y-3=-(x-1)，即x+y-4=0.
解法2：設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則有 (x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0
依題意，x1≠x2，∴kAB=- ∵N(1，3)是AB的中點，∴x1+x2=2，yl+y2=6，從而kAB=-1.又由N(1，3)在橢圓內(nèi)，∴λ>3×12+32=12， ∴λ的取值范圍是(12，∞).直線AB的方程為y-3=-(x-1)，即x+y-4=0.
(Ⅱ)解法1：∵CD垂直平分AB，∴直線CD的方程為y-3 =x-1，即x-y+2=0，代入橢圓方程，整理得4x2+4x+4
又設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)，CD的中點為M(x0，y0)，則x3， x4是方程③的兩根，∴x3+x4=-1，且x0= (x3+x4)=- ，y0=x0+2= ，即M(- ， ).于是由弦長公式可得CD= ④將直線AB的方程x+y-4=0，代入橢圓方程得4x2-8x+ 16-λ=0 ⑤同理可得AB= ⑥ ∵當(dāng)λ>12時， > ,∴AB<CD
假設(shè)存在λ>12，使得A、B、C、D四點共圓，則CD必為圓的直徑，點M為圓心.點M到直線AB的距離為d= ⑦
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 MA2=MB2=d2+
故當(dāng)λ>12時，A、B、C、D四點均在以M為圓心， 為半徑的圓上.
(注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得：) A、B、C、D共圓 △ACD為直角三角形，A為直角 AN2 =CNDN，即 . ⑧
由⑥式知，⑧式左邊= ,由④和⑦知，⑧式右邊=
∴⑧式成立，即A、B、C、D四點共圓解法2：由(Ⅰ)解法1及λ>12，
∵CD垂直平分AB，∴直線CD方程為y-3=x-1，代入橢圓方程，整理得4x2+4x+4-λ=0.③
將直線AB的方程x+y-4=0，代入橢圓方程，整理得4x2-8x+16-λ=0.⑤
解③和⑤式可得 xl，2=
不妨設(shè)A(1+
計算可得 ,∴A在以CD為直徑的圓上.又B為A關(guān)于CD的對稱點，∴A、B、C、D四點共圓.
(注：也可用勾股定理證明AC⊥AD)
專家會診 1.重點掌握橢圓的定義和性質(zhì)，加強直線與橢圓位置關(guān)系問題的研究.2.注重思維的全面性，例如求橢圓方程時只考慮到焦點在，軸上的情形;研究直線與橢圓位置關(guān)系時忽略了斜率不存在的情形3.注重思想方法的訓(xùn)練，在分析直線與橢圓位置關(guān)系時要利用數(shù)形結(jié)合和設(shè)而不求法與弦長公式韋達定理聯(lián)系去解決;關(guān)于參數(shù)范圍問題常用思路有：判別式法，自身范圍法等.求橢圓的方程常用方法有：定義法，直接法，待定系數(shù)法，相關(guān)點法，參數(shù)法等.
命題角度2對雙曲線相關(guān)知識的考查
1.已知雙曲線x2- =1的焦點為F1、F2，點M在雙曲線上且 ，則點M到x軸的距離為 ( )
[考場錯解] B
[專家把脈] 沒有理解M到x軸的距離的意義.
[對癥下藥] C 由題意得a=1，b= ，c= 可設(shè)M (x0，y0)MF1=ex0+a= x0+1，
MF2= ex0-a= x0-1 由MF12+MF22=F1F22得 x02=
即點M到x軸的距離為
2.已知雙曲線 =1(a>0，b>0)的右焦點為F，右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點A，△OAF的面積為 (O為原點)，則兩條漸近線的夾角為 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
[考場錯解] B
[專家把脈] 把兩條漸近線的夾角看成漸近線的傾斜角.
[對癥下藥] D 由題意得A( )s△OAF= c ，則兩條漸近線為了y=x與y=-x則求兩條漸近線的夾角為90°.
解不等式，得
專家會診 1.注意雙曲線兩個定義的理解及應(yīng)用，在第二定義中，要強調(diào)e>1，必須明確焦點與準(zhǔn)線的對應(yīng)性 2.由給定條件求出雙曲線的方程，常用待定系數(shù)法，當(dāng)焦點位置不確定時，方程可能有兩種形式，應(yīng)防止遺漏. 3.掌握參數(shù)a、b、c、e的關(guān)系，漸近線及其幾何意義，并注意靈活運用.
命題角度3對拋物線相關(guān)知識的考查。
1.過拋物線y2=4x的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線 ( )
A.有且僅只有一條 B.有且僅有兩條 C.有無窮多條 D.不存在
[考場錯解] D 由題意得AB=5 p=4，通徑長為 2×4=8 5<8，故不存在這樣的直線.
[專家把脈] 沒有理解拋物線焦點的弦長及p的意義.
[對癥下藥] B 解法一：由題意得P=2，通徑長為4，而AB=x1+x2+p=7，由7>4，則這樣的直線有且僅有兩條，解法二：用待定系數(shù)法設(shè)直線方程為y=k(x-1)采用設(shè)而不求的方法求出k有兩個值，即直線有且僅有兩條.
2.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點在拋物線y=2x2上，l是AB的垂直平分線. (1)當(dāng)且僅當(dāng)x1+x2取何值時，直線l經(jīng)過拋物線的焦點F?證明你的結(jié)論; (Ⅱ)當(dāng)直線l的斜率為2時，求l在y軸上截距的取值范圍.
[考場錯解] (Ⅱ)，設(shè)l在y軸上的截距為b，依題意得l的方程為y=2x+b，過點A、B的直線方程可寫為y= 與y=2x2聯(lián)立得2x2+ x-m=0.得x1+ x2=- ;設(shè)AB的中點N的坐標(biāo)為(x0，y0)
則x0= (x1+x2)=- ,y0=- x0+m= +m.由N∈l,得 +m=- +b，于是b= 即得l在y軸上截距的取值范圍為[ ].
[專家把脈] 沒有借助“△>0”來求出m> ，無法進一步求出b的范圍，只好胡亂地把m當(dāng)作大于或等于0.
[對癥下藥] (1)F∈l FA=FB A、B兩點到拋物線的準(zhǔn)線的距離相等. ∵拋物線的準(zhǔn)線是x軸的平行線，y1≥0，y2≥0，依題意 y1、y2不同時為0， ∴上述條件等價于yl=y2 x12 =x22 (x1+x2)(x1-x2)=0;
∵x1≠x2，∴上述條件等價于 x1+x2=0. 即當(dāng)且僅當(dāng)x1+x2=0時，l經(jīng)過拋物線的焦點F。
(Ⅱ)設(shè)l在y軸上的截距為b，依題意得l的方程為y=2x+b過點A、B的直線方程可寫為y=- x+m，所以x1、x2滿足方程2x2+ x-m=0，得x1+x2=- ; A、B為拋物線上不同的兩點等價于上述方程的判別式 +8m>0，即m> 設(shè)AB的中點N的坐標(biāo)為(x0，y0)，則x0= (x1+x2)=- ，y0=- x0+m= +m
由N∈l，得 +m=- +b，于是b= +m> 即得l在y軸上截距的取值范圍為( ，+∞).
3.如圖，過拋物線y2=2px(p>0)上一定點p(x0，y0)(y0>0)，作兩條直線分別交拋物線于A (x1，y1)，B(x2，y2).(1)求該拋物線上縱坐標(biāo)為 的點到其焦點F的距離; (Ⅱ)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求 的值，并證明直線AB的斜率是非零常數(shù).
[考場錯解] (1)當(dāng)y= 時，x= 又拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-P，由拋物線定義得，所求距離為
(Ⅱ)設(shè)直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB由y21=2px1,y20=2px0
相減得(yl-y0)(y1+y0)=2P(x1-x0) 故kPA= (x1≠x0).
同理可得kpB= (x2≠x0)由kPA=-kPB得y0=-2 (yl+y2)故
設(shè)直線AB的斜率為kAB。由y22=2px2,y21=2px1 相減得 (y2-y1)(y2+y1)=2P(x2-x1)
故kAB= 將y1+y2=- y0(y0>0)代入得kAB=- 故kAB是非零常數(shù).
[專家把脈] ①沒有掌握拋物線的準(zhǔn)線方程，②計算不夠準(zhǔn)確.
[對癥下藥] (1)當(dāng)y= 時，x= ，又拋物線y2= 2px的準(zhǔn)線方程為x= ，
由拋物線定義得，所求距離為 -(- )=
(Ⅱ)設(shè)直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB
由y12=2px1，y20=2px0相減得(y1-y0)(yl+y0)=2P(x1-x0)，
故kPA= (x1≠x0).同理可得kPB= (x2≠x0).
由PA、PB傾斜角互補知kPA=-kPB，即 =- ，所以yl+y2=-2y0，
故 =-2. 設(shè)直線AB的斜率為kAB
由y22=2px2，y21=2pxl
相減得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1)，
所以
將yl+y2=-2y0(y0>0)代入得
所以kAB是非零常數(shù).
4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2上異于坐標(biāo)原點O的兩不同動點A、B滿足AO⊥BO(如圖所示).
(1)求△AOB的重心C(即三角形三條中線的交點)的軌跡方程;
(Ⅱ)△AOB的面積是否存在最小值?若存在，請求出最小值;若不存在，請說明理由.
[考場錯解](Ⅰ)設(shè)△AOB的重心為G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)則
∵OA x1x2+yly2=0(2)
又點A、B在拋物線上，有y1=x12，y2=x22代入(2)化簡得xlx2=0或-1
∴y= [(x1+x2)2-2x1x2]=3x2+ 或3x2，故重心為G的軌跡方程為y=3x2或y=3x2+ .
[專家把脈]沒有考慮到x1x2=0時，△AOB不存在
[對癥下藥] (Ⅰ)設(shè)△AOB的重心為G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)則
又點A、B在拋物線上，有y1=x12，y2=x22代入(2)化簡得xlx2=-1
∴y= [(x1+x2)2-2x1x2]= =3x2+ 所以重心為G的軌跡方程為y=3x2+
(Ⅱ)S△AOB=
由(1)得S△AOB=
當(dāng)且僅當(dāng)x16=x26即x1=-x2=-1時，等號成立。所以△AOB的面積存在最小值，最小值為1。
專家會診用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，注意分類討論思想。凡涉及拋物線的弦長，弦的中點，弦的斜率問題時要注意利用韋達定理，能避免求交點坐標(biāo)的復(fù)雜運算。解決焦點弦問題時，拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用，而且還應(yīng)注意焦點弦的幾何性質(zhì)。
∴(x1，yl-1)= (x2，y2-1)由此得x1= x2，由于x1， x2都是方程①的根，且1-a2≠0，所以 消去x2得
[專家把脈] (1)沒有考慮到1-a2≠0(Ⅱ)沒有注意到題目本身的條件a>0.
[對癥下藥] (1)由C與l相交于兩個不同的點，故知方程組
有兩個不同的實數(shù)解，消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x +2a2x-2a2=0所以 解得0 且e≠ ，即離心率e的取值范圍為( )∪( ).
(Ⅱ)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，1).∵ ∴(x1,y1-1)= (x2,y2-1)由此得x1= x2，由于x1，x2都是方程①的根，且1-a2≠0，所以 x2=- ，消x2，得- ，由a>0，所以a=
2.給定拋物線C：y2=4x，F(xiàn)是C的焦點，過點F的直線l與C相交于A、B兩點 (1)設(shè)l的斜率為1，求 與 夾角的大小; (Ⅱ)設(shè) ，若λ∈[4，9]，求l在y軸上截距的變化范圍.
[考場錯解] (1)設(shè) 與 夾角為α;由題意l的方程為了y=x-1，將y=x-1代入y2=4x得x2-6x+1=0設(shè)A(x1，y1)B(x2，y2)則有x1+x2=6，x1x2=1.易得 =x1x2+y1y2=-3， cosα= ∴α=-arccos
(Ⅱ)由題意知 ，過A、B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A'、B'.
∴FB=BB'，AF=AA' ∴BB’=λAA'，λ∈[4， 9]
設(shè)l的方程為y=k(x-1)由 得k2x2-(2k2 +4)x+k2=0
∴x= ∴AA'= +l =
BB'=
[專家把脈] (Ⅰ)沒有理解反余弦的意義.(Ⅱ)思路不清晰.
[對癥下藥] (1)C的焦點為F(1，0)，直線l的斜率為1，所以l的方程為了y=x-1.
將y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有xl+x2=6，x1x2=1.
=(x1，y1)(x2,y2)=x1x2+yly2=2x1x2-(x1 +x2)+1=-3.
所以 與 夾角的大小為π-arc cos (Ⅱ)由題設(shè) 得 (x2-1，y2)=λ(1-x1，-y1)，
即 由②得y22=λ2y21.∵y21=4x1，y22=4x2，∴x2=λ2x1 ③
聯(lián)立①、③解得x2=λ，依題意有λ>0，∴B(λ，2 )或B (λ，-2 )，又9(1，0)，得直線
(2)當(dāng)PF1=F1F2時，同理可得 解得e2=3于是λ=1-3=-2.
(3)當(dāng)PF2=F1F2時，同理可得 =4c2 解得e2=1 于是λ=1-1=0
綜上所述，當(dāng)λ= 或-2或0時△PF1F2，F(xiàn)2為等腰三角形.
[專家把脈] (1)沒有注意到因為PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有PF1=F1F2 (2)沒有注意到橢圓離心率的范圍.
[對癥下藥] (1)證法一：因為A、B分別是直線l：y= ex+a與x軸、y軸的交點，所以A、B的坐標(biāo)分別是(- )(0,a). 由
所以點M的坐標(biāo)是(-c, )，由 得(-c+ )=λ( ，a). 即
證法二：因為A、B分別是直線l:y=ex+a與x軸、y軸的交點，所以A、B的坐標(biāo)分別是(- ，0)，(0，a)，設(shè)M的坐標(biāo)是(x0，y0)，由 得( )，
所以 因為點M在橢圓上，所以 =1，
即 e4-2(1-λ)e2+(1-λ)2=0，解得e2=1-λ 即λ=1-e2.
(Ⅱ)解法一：因為PF1⊥l，所以 ∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有PF1=F1F2,即 PF1=c. 設(shè)點F1到l的距離為d，由 PF1=d， = ,得
=e.所以e2= ，于是λ=1-e2= .即當(dāng)λ= 時，△PF1F2為等腰三角形.
解法二：因為PF1⊥l，所以，∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有PF1=F1F2,設(shè)點P的坐標(biāo)是(x0，y0)，
則 解得 由PF1=FlF2得 =4c2，
兩邊同時除以4a2，化簡得 =e2.從而e2= 于是λ=l-e2= .即當(dāng)λ= 時，△PF1F2為等腰三角形.
4.拋物線C的方程為y=ax2(a<0)，過拋物線C上一點P(x0，y0)(x0≠0)作斜率為k1，k2的兩條直線分別交拋物線C于A(x1，y1)B(x2，y2)兩點(P、A、B三點互不相同)，且滿足k2+λk1=0(λ≠0且λ≠-1).
(Ⅰ)求拋物線C的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程; (Ⅱ)設(shè)直線AB上一點M滿足 =λ ，證明線段PM的中點在y軸上 (Ⅲ)當(dāng)A=1時，若點P的坐標(biāo)為(1，-1)，求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標(biāo)y1的取值范圍.
[考場錯解] (1)拋物線C的方程y=ax2(a<0)得，焦點坐標(biāo)為( ，0)準(zhǔn)線方程為x=-
(Ⅲ)∵P(-1，1)在y=ax2上，故a=-1∴y=-x2
由(Ⅱ)易得y1=-(k1+1)2，y2=(k2+1)2，因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點A、B的坐標(biāo)為A(-k1 -1,-k21-2k1-1)，B(k1-1，-k21+2k1-1)
于是 = (k1+2,k21+2k1)， =(2k1，4k1)， 2k1(k1+2)(2k1+1)因∠PAB為鈍角且P、A、B三點互不相同，故必有<0易得k1的取值范圍是 k1<-2或
故當(dāng)k1<-2時，y<-1;當(dāng)-
[專家把脈] 沒有掌握好拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式及交并集的概念.
[對癥下藥] (1)由拋物線C的方程y=ax2(a<0)得，焦點坐標(biāo)為(0， )，準(zhǔn)線方程為y=- .
(Ⅱ)證明：設(shè)直線PA的方程為y-y0=k1(x-x0)，直線 PB的方程為y-y0=k2(x-x0).
點P(x0，y0)和點A(x1，y1)的坐標(biāo)是方程組
的解.將②式代入①式得ax2-k1x+klx0-y0=0，于是 x1+x0= ，故x1= -x0③
又點P(x0，y0)和點B(x2，y2)的坐標(biāo)是方程組
的解.將⑤式代入④式得ax2-k2x+k2x0-y0=0.于是x2+x0= ，故x2= -x0, 由已知得，k2=-λkl，則x2= ⑥設(shè)點M的坐標(biāo)為(xM,yM)，由 =λ ，則xM= .將③式和⑥式代入上式得 x0，即xM+x0=0.所以線段PM的中點在y軸上.
(Ⅲ)因為點P(1，-1)在拋物線y=ax2上，所以a=-1，拋物線方程為y=-x2.由③式知x1=-k1-1，代入y=-x2得y1=-(k1+1)2.將λ=1代入⑥式得x2=k1-1，代入y=-x2得y2=- (k2+1)2.因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點A、B的坐標(biāo)為 A(-k1，-1，-k21-2k1-1)，B(k1-1，-k12+2k1-1).
于是 =(k1+2，k12+2k1)， =(2K1，4K1)， = 2k1(k1+2)+4kl(k12+2k1)=2k1(k1+2)(2k1+1).因∠PAB為鈍角且P、A、B三點互不相同，故必有<0.求得k1的取值范圍是k1<-2或-
專家會診 1.判定直線與圓錐曲線交點個數(shù)的基本方法是聯(lián)立方程組，判斷方程組解的組數(shù)，對于直線與雙曲線的交點個數(shù)問題還可借助直線與漸近線斜率的關(guān)系來判斷，而直線與拋物線的位置關(guān)系則可借助直線與拋物線對稱軸的位置關(guān)系來判定，不可混淆.2.涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用韋達定理，設(shè)而不求計算弦長，不要蠻算，以免出現(xiàn)差錯.3.涉及弦長的中點問題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率，弦的中點坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化。
命題角度5對軌跡問題的考查
1.(典型例題)已知雙曲線的中心在原點，離心率為若它的一條準(zhǔn)線與拋物線y2=4x的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線與拋物線y2=4x的交點到原點的距離是 ( )
A.2 B. C.18+12 D.21
[考場錯解] C
[專家把脈] 對雙曲線的定義理解不夠深刻.
[對癥下藥] B 設(shè)雙曲線方程為 =1，由題意得 則a= b= ，則雙曲線方程為 =1,由 得A(3，2 )，故交點到原點的距離為
2.(典型例題)已知點A(-2，0)、B(3，0)，動點P(x，y)滿足 =x2，則點P的軌跡是 (Ⅱ)直線l1:kx-y=0 直線l2:kx+y=0由題意得 =d2即 =d2
∴k2x2-y2±(k2+1)d2=0故動點P的軌跡C的方程為k2x2-y2±(k2+1)d2=0
(Ⅲ)略
[專家把脈] 沒有很好地理解題意，第二問出現(xiàn)兩解，致使第三問過于復(fù)雜難以完成.
[對癥下藥] 解：(I)W1={(x，y)kx0}，
(Ⅱ)直線l1:kx-y=0 直線l2:kx+y=0，由題意得 =d2，即 =d2，
由P(x，y)∈W，知k2x2-y2>0，所以 =d2，即k2x2-y2-(k2+1)d2=0，
所以動點P的軌跡C的方程為k2x2-y2-(k2+1)d2=0;
(Ⅲ)當(dāng)直線J與，軸垂直時，可設(shè)直線J的方程為，x=a (a≠0).由于直線l，曲線C關(guān)于x軸對稱，且l1與l2關(guān)于x軸對稱，于是M1M2，M3M4的中點坐標(biāo)都為(a，0)，所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐標(biāo)都為( a，0)，即它們的重心重合，
當(dāng)直線l1與x軸不垂直時，設(shè)直線J的方程為y=mx+n(n ≠0).
由 , 得(k2-m2)x2-2mnx-n2-k2d2-d2=0
在△QF1F2中 故有x2+b2= a2(x=±a)
(Ⅲ)C上存在M(x0，y0)使s=b2的充要條件是：
又 =(-C-x0-y0)， =(c-x0,y0)由 =x02-c2+y20=a2-c2=b2
即 cos∠F1MF2=b2又s= sin∠FlMF2得tan ∠FlMF2=2
[專家把脈] (1)沒有注意證明題的書寫格式(2)思考問題不夠全面.
[對癥下藥] (1)證法一：設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y).由P(x，y)在橢圓上，得
2
由x≤a，知a+ ≥-c+a>0，所以 =a+ x.新課 標(biāo)第 一網(wǎng)
證法二：設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y).記
則r1= ，r2= .
由r1+r2=2a，r21-r22=4cx，得 =r1=a+ .
證法三：設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y).橢圓的左準(zhǔn)線方程a+ =0.
由橢圓第二定義得 即
由x≥-a，知a+ ≥-c+a>0，所以 =a+
(Ⅱ)解法一：設(shè)點T的坐標(biāo)為(x，y).當(dāng) =0時，點(a，0)和點(-a，0)在軌跡上.當(dāng) 且 時，由 =0，得 又 ，所以T為線段F2Q的中點.在△QF1F2中， =a，所以有x2+y2=a2綜上所述，點T的軌跡C的方程是x2+y2=a2
解法二：設(shè)點T的坐標(biāo)為(x，y).當(dāng) =0時，點(a，0)和點(-a，0)在軌跡上.
當(dāng) 且 時，由 又 = ，所以T為線段F2Q的中點.
設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x'，y')，則 因此 ①由 =2a得(x'+c)2+y'2=4a2.②
將①代入②，可得x2+y2=a2.綜上所述，點T的軌跡C的方程是x2+y2=a2
(Ⅲ)解法一：C上存在點M(x0，y0)使S=b2的充要條件是
由③得，y0≤a，由④得，y0≤ ，所以，當(dāng)a≥ 時，存在點M，使S=b2;
當(dāng)a< 時，不存在滿足條件的點M.當(dāng)a≥ 時， =(-c-c0,-y0)， =(c-c0,-y0)，
由 =x02-c2+y20=a2-c2=b2，
解法二：C上存在點M(x0，y0)使S=b2的充要條件是
由④得y0 ，上式代入③得x20=a2- =(a- ) (a+ )≥0.
于是，當(dāng)a≥ 時，存在點M，使s=b2;當(dāng)a< 時，不存在滿足條件的點M.
當(dāng)a≥ 時，記k1=kF1M=
由F1F2<2a,知∠F1MF2<90°，所以tan∠F1MF2= =2.
專家會診 (1)求軌跡方程的本質(zhì)是用代數(shù)形式將動點的運動規(guī)律表示出來，實質(zhì)上是一個翻譯過程，故選取一定解題策略找到動點運動規(guī)律的一些表現(xiàn)形式是關(guān)鍵，往往和研究曲線幾何性質(zhì)，討論直線與曲線位置關(guān)系等聯(lián)系在一起.(2)求軌跡要注意取值范圍和“雜點”的去除.
故舍去
綜上所述：當(dāng)x= 時d取得最小值
[專家把脈] 沒有考慮到橢圓的分面有界性，致使思路不清晰，計算繁瑣.
[對癥下藥] [解](1)由已知可得點A(-6，0)，F(xiàn)(0，4)
設(shè)點P(x，y)，則 =(x+6，y)， =(x-4，y)，由已知可得
則 2x2+9x-18=0，x= 或x=-6.由于y>0，只能x= ，于是y= 點P的坐標(biāo)是( )
(2)直線AP的方程是x- +6=0.設(shè)點M(m，0)，則M到直線AP的距離是 .于是 = m-6，又-6≤m≤6，解得m=2.橢圓上的點(x，y)到點M的距離d有，d2=(x-2)2+y2 =x2-4x+4+20- x2 = (x- )2+15，由于-6≤m≤6，∴當(dāng)x= 時，d取得最小值
2.如圖，直線y= x嚴(yán)與拋物線y= x2-4交于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與直線y=-5交于點Q. (1)求點Q的坐標(biāo) (2)當(dāng)P為拋物線上位于線段AB下方(含點A、B)的動點時，求△OPQ面積的最大值.
[考場錯解] (1)略(Ⅱ)由(1)得Q(5，-5) 直線OQ的方程為x+y=0
設(shè)P(x, -4)∵點P到直線OQ的距離
d=
∵-4≤x≤8. ∴S△OPQ最大值= (-4+4)2-48=15
[專家把脈] 要注意二次函數(shù)最大值的求法.
[對癥下藥] (1)解方程組 ，得 即A(-4，-2)，B(8，4)，從而AB的中點為M(2，1)，由 ，得線段AB的垂直平分線方程y-1=-2(x-2).令y=-5，得x=5，∴Q(5，-5).
(2)直線OQ的方程為x+y=0，設(shè)P(x， -4)，∵點P到直線OQ的距離d= ∵P為拋物線上位于線段AB下方點，且P不在直線OQ上. ∴ -4≤x<4 -4或4 -4
3.設(shè)橢圓方程為x2+ =1，過點M(0，1)的直線l交橢圓于點A、B、O是坐標(biāo)原點，點P滿足 ，點N的坐標(biāo)為( ， )，當(dāng)l繞點M旋轉(zhuǎn)時，求： (Ⅰ)動點戶的軌跡方程; (Ⅱ) 的最小值與最大值.
[考場錯解] (1)①若l的斜率存在，設(shè)為k，則l：y =kx+1代入4x2+y2=4中得，(k2+4)x2+2kx-3=0
∴x1+x2=
i)A=0時，x=0 y=1，∴P(0，1)
ii)k≠0時，k= ∴P點的軌跡為：x2+y2-y=0(y≠O)
�、谌鬺不存在斜率，∴A、B為上、下頂點.∴P(0，0)
(2)解：∵N( )，i)，∵k不存在時P(0，0)， ii) k=0時P(0，1). iii)k≠0時x2+(y- )2= 。又∵N( ) max=2r=1 ∴ min=0.
[專家把脈] 思路不清晰.
[對癥下藥] (1)解法一：直線l過點M(0，1)，設(shè)其斜率為A，則J的方程為y=kx+1.
記A(x1，y1)、B(x2，y2)，由題設(shè)可得A、B的坐標(biāo)(x1，y1)、(x2,y2)是方程組 的解.
將①代入②并化簡得.(4+k2)x2+2kx-3=0.所以 于是
設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，則 消去參數(shù)k得 4x2+y2-y=0. ③當(dāng)k不存在時，A、B中點為坐標(biāo)原點(0，0)，也滿足方程③，所以點P的軌跡方程為 4x2+y2-y=0
解法二：設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，因A(x1，y1)、B(x2，y2)在橢圓上，所以
�、� ⑤④-⑤得 所以(x1-x2)(x1+x2)+ (y1-y2)(y1+y2)=0
當(dāng)x1≠x2時，有 ⑥并且 ⑦
將⑦代入⑥并整理得4x2+y2-y=0.⑧
當(dāng)x1=x2時，點A、B的坐標(biāo)為(0，2)、(0，-2)，這時點p的坐標(biāo)為(0，0)也滿足⑧，所以點P的軌跡方程為
(Ⅱ)解法：由點P的軌跡方程知x2≤ 。 即- ≤x≤ 所以
故當(dāng)x= 時， 取得最小值，最小值為 ，當(dāng)x= 時， 取得最大值，最大值為
由 消去x得y2-2(k2+b)y+b2=0③
則
的取值范圍是[2，+∞].
[專家把脈] (1)沒有注意“雜點”的去除;(Ⅱ)沒有注意利用重要不等式時等號成立的條件.
[對癥下藥] 解法：(1)設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)、M (x0，y0)，依題意x1≠0，yl>0，y2>0.由y= x2，①得y'=x. ∴過點P的切線的斜率k切=x1, ∵x1=0不合題意， ∴x1≠0.
∴直線l的斜率k1= ,直線l的方程為y- x21= (x-x1).②
方法一：聯(lián)立①②消去y，得x2+ -x21-2=0. ∵M為PQ的中點，
消去x1,得y0=x02+ +1(x0≠0)，∴PQ中點M的軌跡方程為y=x2+ +1(x≠0)，
方法二：由y1= x21,y2= x22，x0= ，得y1-y2= x21- x22= (x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2)，則x0= k1=- ∴x1=- ,將上式代入②并整理，得y0=x20+ +1(x0≠0)， ∴PQ中點M的軌跡方程為y=x2+ +1(x≠0).
(Ⅱ)設(shè)直線l：y=kx+b，依題意k≠0，b≠0，則T(0，b).分別過P、Q作PP'⊥x軸，QQ'⊥y軸，垂足分別為p'、 Q'，則
由 消去x，得y2-2(k2+b)y+b2=0.③則
方法三：由P、Q、T三點共線得kTQ=kTP,即 則x1y2-bx1=x2y1-bx2，即b(x2-x1)=(x2y1-x1y2).于是b=
可取一切不等于l的正數(shù)， 的取值范圍是(2，+∞).
專家會診①直線過定點的問題，常用直線系的思想處理. ②定值問題常常用函數(shù)的思想處理，即把所求定值通過一些基本變量表示，最終化成常數(shù).③最值問題往往用幾何方法，函數(shù)或不等式等方法處理.
四、典型習(xí)題導(dǎo)練
1、已知橢圓 右頂點與右焦點的距離為 ，短軸長為 (I)求橢圓的方程;(Ⅱ)過左焦點F的直線與橢圓分別交于A、B兩點，若三角形OAB的面積為 求直線AB的方程。
【解析】(Ⅰ)由題意， -----1分解得 -----2分
即：橢圓方程為 -----4分
(Ⅱ)當(dāng)直線 與 軸垂直時， ， 此時 不符合題意故舍掉;
當(dāng)直線 與 軸不垂直時，設(shè)直線 的方程為： ，代入消去 得：
------5分 設(shè) ，則 ，
所以 -----7分原點到直線的 距離 ，
所以三角形的面積 .由 ，
所以直線 或 .--------12分
2、設(shè)橢圓 的左焦點為 ，左、右頂點分別為 ，上頂點為 ，過 三點做 .(Ⅰ)若 是 的直徑，求橢圓的離心率;(Ⅱ)若 的圓心在直線 上，求橢圓的方程。
【解析】(Ⅰ)由橢圓的方程知 ∴ 設(shè) …1分∵ 是 的直徑，
∴ ,∵ ∴ ，…2分∴ ，
解得： …5分∴橢圓的離心率 …6分
(Ⅱ)解：∵ 過點 三點，∴圓心 即在 的垂直平分線，也在 的垂直 端點恰為一個正方形的頂點.過右焦點 與 軸不垂直的直線 交橢圓于 ， 兩點.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)在線段 上是否存在點 ,使得 ?若存在，求出 的取值范圍;若不存在，請說明理由.
【解析】(Ⅰ)因為橢圓的短軸長： ，又因為兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點，所以： ;故橢圓的方程為： ……4分
(Ⅱ)(1)若 與 軸重合時，顯然 與原點重合， ;
(2)若直線 的斜率 ，則可設(shè) ，設(shè) 則：
所以化簡得： ;
的中點橫坐標(biāo)為： ，代入 可得： 的中點為
， 由于 得到 所以：
直線 …10分
.12分
直線 恒過定點 .……13分
5、設(shè)橢圓 的離心率與雙曲線 的離心率互為倒數(shù)，且內(nèi)切于圓 。(Ⅰ)求橢圓 的方程;(Ⅱ)若直線 交橢圓于A、B兩點，橢圓上一點 ，求 面積的最大值。
【解析】(Ⅰ)雙曲線的離心率為 ，則橢圓 的離心率為 ，圓 的直徑為 ，則 ，由 所求橢圓 的方程為 …12分
6、已知橢圓 的右焦點恰好是拋物線 的焦點F，點A是橢圓E的右頂點. 過點A的直線 交拋物線C于M，N兩點，滿足 ，其中 是坐標(biāo)原點. (Ⅰ)求橢圓E的方程;(Ⅱ)過橢圓E的左頂點B作 軸平行線BQ，過點N作 軸平行線NQ，直線BQ與NQ相交于點Q. 若 是以MN為一條腰的等腰三角形，求直線MN的方程.
【命題意圖】本題考查橢圓、拋物線等基礎(chǔ)知識，考查轉(zhuǎn)化求解能力.
【解析】(Ⅰ) ，∴ ，設(shè)直線 代入 中，整理得 .設(shè) ，則 ，又∵ ，
∴ ，由 得 ，解得 或 (舍)，
得 ，所以橢圓 的方程為 .
(Ⅱ)橢圓E的左頂點 ，所以點 .易證M，O，Q三點共線.當(dāng)QM為等腰 的底邊時，由于 ，∴O是線段MQ的中點，∴ 所以 ，即直線 的方程為 ;
當(dāng)QN為等腰 底邊時， ，又∵ ，解得 或 ∴ ，所以直線MN的方程為 ，即 .綜上所述，當(dāng) 為等腰三角形時，直線MN的方程為 或 .
7、在平面直角坐標(biāo)系 中，動點 到定點 的距離比它到 軸的距離大 ，設(shè)動點 的軌跡是曲線 .(Ⅰ)求曲線 的軌跡方程;(Ⅱ)設(shè)直線 : 與曲線 相交于 、 兩點，已知圓 經(jīng)過原點 和 兩點，求圓 的方程,并判斷點 關(guān)于直線 的對稱點 是否在圓 上.
【解析】解：(1)由已知，即動點 到定點 的距離等于它到定直線 的距離，…2分
∴動點 的軌跡曲線 是頂點在原點，焦點為 的拋物線和點 …………4分
∴曲線 的軌跡方程為 和 .…6分由 解得 或
…8分即 , 設(shè)過原點與點 、 的圓 的方程為 ，
則 ,解得 ∴圓 的方程為 即
…10分由上可知，過點 且與直線 垂直的直線 方程為：
解方程組 ，得 即線段 中點坐標(biāo)為 ……12分
從而易得點 關(guān)于直線 的對稱點 的坐標(biāo)為 把代入 代入：
∴點 不在圓 上.……14分
8、過拋物線 上不同兩點 、 分別作拋物線的切線相交于點 )， .(Ⅰ)求 ;(Ⅱ)求證：直線 恒過定點;(Ⅲ)設(shè)(Ⅱ)中直線 恒過定點為 ，若 恒成立，求 的值.
【解析】(Ⅰ)設(shè) ， ， .由 ，得： ， ，
， ， .直線 的方程是： .即 .
同理，直線 的方程是： .②由①②得： ， .
(Ⅱ)恒過點 … 8分
(Ⅲ)由(Ⅰ)得： ， ， ，
. .故 .
9、已知點 ,直線 與直線 斜率之積為 ，記點 的軌跡為曲線 .(Ⅰ)求曲線 的方程;(Ⅱ)設(shè) 是曲線 上任意兩點，且 ,是否存在以原點為圓心且與 總相切的圓?若存在，求出該圓的方程;若不存在，請說明理由.
【解析】(Ⅰ)設(shè) 則由直線 與直線 斜率之積為 得 ， .
由 得 ，整理得 .代入(*)式解得
此時 中 .此時原點O到直線 的距離
.故原點O到直線 的距離恒為 .存在以原點為圓心且與 總相切的圓，方程為 .--12分
10、已知對稱中心為坐標(biāo)原點的橢圓 與拋物線 有一個相同的焦點 ，直線 與拋物線 只有一個公共點.(1)求直線 的方程;(2)若橢圓 經(jīng)過直線 上的點 ，當(dāng)橢圓 的的離心率取得最大值時，求橢圓 的方程及點 的坐標(biāo).
(本小題主要考查直線、橢圓、拋物線等知識, 考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力)
.… 3分∴直線 的方程為 .…… 4分
(2)法1：∵拋物線 的焦點為 ， 依題意知橢圓 的兩個焦點的坐標(biāo)為
設(shè)點 關(guān)于直線 的對稱點為 ，
則 …7分 解得 ∴點 … 8分 ∴直線 與直線
的交點為 9分由橢圓的定義及平面幾何知識得：橢圓 的長軸長
其中當(dāng)點 與點 重合時，上面不等式取等號∴ . ∴ .
故當(dāng) 時， ， 12分此時橢圓 的方程為 ，點 的坐標(biāo)為 … 14分
法2：∵拋物線 的焦點為 ， 依題意知橢圓 的兩個焦點的坐標(biāo)為 .5分
設(shè)橢圓 的方程為 ，… 6分由 消去 ，
得 .(*) 7分
若直線 交直線 于點 ，過 作直線 的垂線交 軸于點 ，求 的坐標(biāo); (Ⅲ)求點 在直線 上射影的軌跡方程.
【解析】(Ⅰ)由題意知 ,故橢圓方程為 ......3分
(Ⅱ)設(shè) ， 則由圖知 ，得 ,故 .
設(shè) ,由 得： ， .
又 在橢圓上，故 ，化簡得 ，即 ....8分
(Ⅲ)點 在直線 上射影即PQ與MB的交點H，由 得 為直角三角形，設(shè)E為 中點，則 = = ， ，因此H點的軌跡方程為 .
由點 知直線 的方程為 .分別在其中令
及 得 .5分將 的坐標(biāo)代入 中得
,即 ,7分所以 8分
(Ⅱ)設(shè)橢圓 的方程為 ,將 , 代入,
得 ,9分解得 , 由 得 . 10分
橢圓 的焦距
(或 ) 12分
當(dāng)且僅當(dāng) 時,上式取等號, 故 , 13分
此時橢圓 的方程為 14分
13、已知點P是圓F1： 上任意一點，點F2與點F1關(guān)于原點對稱. 線段PF2的中垂線與PF1交于M點.(Ⅰ)求點M的軌跡C的方程;(Ⅱ)設(shè)軌跡C與x軸的兩個左右交點分別為A，B，點K是軌跡C上異于A，B的任意一點，KH⊥x軸，H為垂足，延長HK到點Q使得HK=KQ，連結(jié)AQ延長交過B且垂直于x軸的直線l于點D，N為DB的中點.試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系.
【解析】(Ⅰ)由題意得， (1分)
圓 的半徑為4，且 (2分)
從而 (3分)
∴ 點M的軌跡是以 為焦點的橢圓,其中長軸 ,焦距 ，則短半軸 (4分)橢圓方程為: (5分)
(Ⅱ)設(shè) ，則 .∵ ，∴ .∴ (6分)
∴ 點在以 為圓心，2為半徑的的圓上.即 點在以 為直徑的圓 上.(7分)
又 ，∴直線 的方程為 .(8分)令 ，得 (9分)
又 ， 為 的中點，∴ (10分)∴ ， (11分)
∴
(Ⅱ)由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線l的方程為y=kx+m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y并整理，得(1+k2)x2+2kmx+m2-a2=0，
則△=4k2m2-4(1+k2)(m2-a2)=4(k2a2+a2-m2)>0，且x1+x2=，x1x2=.
∴y1 y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.∵直線OA，AB，OB的斜率依次成等比數(shù)列，∴==k2，即+m2=0，又m≠0，∴k2=1，即k=±1.
設(shè)點O到直線l的距離為d，則d=，∴S△OAB=ABd=x1-x2
=x1-x2 m=.由直線OA，OB的斜率存在，且△>0，得0
∴0<<=a2.故△OAB面積的取值范圍為(0，a2).…(10分)
(Ⅲ)對橢圓Γ而言，有如下類似的命題：“設(shè)不過原點O的直線l與橢圓Γ交于A，B兩點，若直線OA，AB，OB的斜率依次成等比數(shù)列，則△OAB面積的取值范圍為(0，ab).”……(13分)
15、已知 分別為橢圓 的左右焦點， 分別為其左右頂 點，過 的直線 與橢圓相交于 兩點. 當(dāng)直線 與 軸垂直時，四邊形 的面積等于2，且滿足 .⑴求此橢圓的方程;⑵當(dāng)直線 繞著焦點 旋轉(zhuǎn)但不與 軸重合時，求 的取值范圍.
【命題意圖】本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到橢圓 方程的求法、直線與圓錐曲線的相關(guān)知識以及向量與圓錐曲線的綜合知識.
【解析】⑴當(dāng)直線 與x軸垂直時，由 ，得 .
又 ,所以 ，即 ，又 ，
解得 . 因此該橢圓的方程為 . (4分)
�、圃O(shè) ，而 ，所以 ， ，
， .從而有
. (6分)
因為直線 過橢圓的焦點 ，所以可以設(shè)直線 的方程為 ，則由 消去 并整理，得 ，所以 ， . (8分)
進而 ， ，可得 . (10分)
令 ，則 . 從而有 ，而 ，
所以可以求得 的取值范圍是 .(12分)
16、已知 、 分別是橢圓C ： 的左、右焦點，
M、N分別是雙曲線C ： 的左、右焦點，
過N作雙曲線漸進線的垂線，垂足為P，
若PF ⊥x軸(1)橢圓C 與雙曲線C 的方程;
(2)分別過F 和N作兩條平行線 、 ， 交橢圓于A、B， 交雙曲線右支于D、E，問：是否存在 ，使得 為定值，若不存在，說明理由。
解：(1)可求出a2=2 ∴兩種曲線的方程分別為
(2)若L1，L2不垂直于x軸，設(shè)其斜率為k，則
, 定值為 當(dāng)L1，L2與x軸垂直時
, 定值為
17、如圖，過點 作拋物線 的切線 ，切點A在第二象限.(1)求切點A的縱坐標(biāo);(2)若離心率為 的橢圓 恰好經(jīng)過切點A，設(shè)切線 交橢圓的另一點為B，記切線 、OA、OB的斜率分別為 ，求橢 (2)由(1)得 ，切線斜率 ，設(shè) ，切線方程為 ，由 ，
得 .…7分所以橢圓方程為 ，且過 ， .…9分
由 ， ，…11分
…15分
18、已知曲線 都過點A(0，-1)，且曲線 所在的圓錐曲線的離心率為 .(Ⅰ)求曲線 和曲線 的方程;
(Ⅱ)設(shè)點B,C分別在曲線 ， 上， 分別為直線AB,AC的斜率,
當(dāng) 時，問直線BC是否過定點?若過定點，求出定點坐標(biāo);若不過定點，請說明理由.
，即 .…12分故 過定點 .…13分
19、在ΔABC中，頂點A,B, C所對三邊分別是a,b,c已知B(-1, 0), C(1, 0),且b,a, c成等差數(shù)列.(I )求頂點A的軌跡方程;(II) 設(shè)頂點A的軌跡與直線y=kx+m相交于不同的兩點M、N，如果存在過點P(0,- )的直線l,使得點M、N關(guān)于l對稱，求實數(shù)m的取值范圍.
【解析】(I)由題知 得b+c=4，即AC+AB=4(定值).由橢圓定義知，頂點A的軌跡是以B、C為焦點的橢圓(除去左右頂點)，且其長半軸長為2，半焦距為1，于是短半軸長為 .∴ 頂點A的軌跡方程為 .…4分
(II)由 消去y整理得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0.
∴Δ=(8km)2-4(3+4k2)×4(m2-3)>0，整理得：4k2>m2-3.①令M(x1，y1)，N(x2，y2)，則
設(shè)MN的中點P(x0，y0)，則
，……7分
i)當(dāng)k=0時，由題知， .………8分
ii)當(dāng)k≠0時，直線l方程為 ，由P(x0，y0)在直線l上，得 ，得2m=3+4k2.②
把②式代入①中可得2m-3>m2-3，解得00，解得 .∴ .
驗證：當(dāng)(-2，0)在y=kx+m上時，得m=2k代入②得4k2-4k+3=0，k無解.即y=kx+m不會過橢圓左頂點.同理可驗證y=kx+m不過右頂點.∴ m的取值范圍為( ).…………11分
綜上，當(dāng)k=0時，m的取值范圍為 ;當(dāng)k≠0時，m的取值范圍為( ).…12分
20、已知圓 的圓心在坐標(biāo)原點 ,且恰好與直線 相切. (Ⅰ) 求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)設(shè)點 為圓上一動點, 軸于 ,若動點 滿足 ,(其中 為非零常數(shù)),試求動點 的軌跡方程 ;(Ⅲ)在(Ⅱ)的結(jié)論下，當(dāng) 時, 得到曲線 ，與 垂直的直線 與曲線 交于 、 兩點,求 面積的最大值.
【解析】 (Ⅰ)設(shè)圓的半徑為 ,圓心到直線 距離為 ，則 2分圓 的方程為
(Ⅱ)設(shè)動點 , , 軸于 ,
由題意, ，所以 5分
即: ，將 代入 ,得 7分 文
一、選擇題（本小題共12小題，每小題5分，共60分）
1．正方體ABCD―A1B1C1D1中，P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中點。那么，正方體的過P、Q、R的截面圖形是 （ ）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
2．正方體ABCD―A1B1C1D1中，以頂點A、C、B1、D1為頂點的正四面體的全面積為，
則正方體的棱長為（ ）
A． B．2 C．4 D．
3．表面積為 的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為
A． B． C． D．
4．正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1底面邊長是1，側(cè)棱長是，則這個棱柱的側(cè)面對角
線E1D與BC1所成的角是（ ）
A．90? B．60? C．45? D．30?
5．設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V，P、Q分別是側(cè)棱AA1、CC1上的點，且PA=QC1，則四棱錐B-APQC的體積為
（A） （B） （C） （D）
6．設(shè)四個點P、A、B、C在同一球面上，且PA、PB、PC兩兩垂直，PA＝3，PB＝4，PC＝5，
那么這個球的表面積是（ ）
A． B． C．25 D．50
7．已知△ABC中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝120?，平面ABC外一點P滿足PA＝PB＝PC＝2，
則三棱錐P－ABC的體積是（ ）
A． B． C． D．
8．已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長等于
（A） （B） （C） （D）
9已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積是
A． B． C． D．
9.C
10．已知球O的表面積為4，A、B、C三點都在球面上，且每兩點的球面距離均為，則從球中切截出的四面體OABC的體積是（ ）
A． B． C． D．
11．棱長為a的正方體ABCD―A1B1C1D1中，異面直線A1B與B1C的距離是（ ）
A． B． C． D．
12．過三棱柱任意兩個頂點的直線共15條，其中異面直線有
�。ˋ）18對 （B）24對 （C）30對 （D）36對
二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）
13．在底面為正方形的四棱錐P－ABCD中，PA底面ABCD，PA＝AB＝2，則三棱錐B－PCD的體積為 。
14． 已知平面和直線，給出條件：①；②；③；④；⑤.（i）當(dāng)滿足條件 時，有；（ii）當(dāng)滿足條件 時，有.（填所選條件的序號）
15．一個正方體的全面積為，它的頂點都在同一個球面上，則這個球的體積為 。
16如圖，正方體的棱長為1，C、D分別是兩條棱的中點，A、B、M是頂點，那么點M到截面ABCD的距離是 .
三、解答題（本大題共6小題，共74分）
17．如圖，在正三棱柱ABC―A1B1C1中，AB＝AA1，D是CC1的中點，F(xiàn)是A1B的中點，
�、徘笞C：DF∥平面ABC；
�、魄笞C：AF⊥BD。
18．如圖，在直三棱柱中，、分別為、的中點。
�。↖）證明：ED為異面直線與的公垂線；
�。↖I）設(shè)求二面角的大小
19.在直三棱柱中，，．
�。�1）求異面直線與所成角的大小；
（2）若直線與平面所成角為，求三棱錐的體積．
20．如圖，已知正四棱柱ABCD―A1B1C1D1中，底面邊長AB＝2，側(cè)棱BB1的長為4，過點B作B1C的垂線交側(cè)棱CC1于點E，交B1C于點F，
�、徘笞C：A1C⊥平面BDE；
⑵求A1B與平面BDE所成角的正弦值。
21．如圖，三棱柱ABC―A1B1C1的各棱長均為2，側(cè)棱B1B與底面ABC成60?的角，
且側(cè)面ABB1A1⊥底面ABC，
⑴求證：AB⊥CB1；⑵求三棱錐B1－ABC的體積；
⑶求二面角C－AB1－B的大小。
22．.如圖所示，AF、DE分別是⊙O、⊙O1的直徑.AD與兩圓所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直徑，AB＝AC＝6，OE//AD.
(Ⅰ)求二面角B―AD―F的大�。�
(Ⅱ)求直線BD與EF所成的角.
參考答案
一、選擇題
DAABC DDDCA BD
二、填空題
13． 14．③⑤ ②⑤ 15． 16．2/3
三、解答題
17．⑴取AB中點E，則顯然有FD∥ECDF∥平面ABC
18．解法一：（Ⅰ）設(shè)O為AC中點，連結(jié)EO，BO，則EO 又CC1 B1B，
所以EODB ，則EOBD為平行四邊形， ED∥OB
∵ AB = BC，∴ BO⊥AC ，又面ABC⊥面ACC1A1，BO面ABC ，故BO⊥面ACC1A1
∴ ED⊥面ACC1A1，ED⊥AC1，ED⊥CC1 ∴ ED⊥BB1
ED為異面直線AC1與BB1的公垂線
�。á颍┞�(lián)結(jié)A1E，由AA1 = AC = AB可知，A1ACC1為正方形，
∴ A1E ⊥AC1 由ED⊥面A1ACC1和ED面ADC1知面ADC1⊥面A1ACC1ED⊥A1E
則A1E⊥面ADE。 過E向AD作垂線，垂足為F，連結(jié)A1F，
由三垂線定理知∠A1FE為二面角A1―AD―C1的平面角。
不妨設(shè)AA1 = 2 ，則AC = 2 ，AB = ， ED = OB = 1 ，
EF =
所以二面角A1―AD―C1為60°
19．.解：(1) ∵BC∥B1C1, ∴∠ACB為異面直線B1C1與AC所成角(或它的補角)
∵∠ABC=90°, AB=BC=1, ∴∠ACB=45°, ∴異面直線B1C1與AC所成角為45°.
(2) ∵AA1⊥平面ABC,∠ACA1是A1C與平面ABC所成的角, ∠ACA =45°.
∵∠ABC=90°, AB=BC=1, AC=,∴AA1=.
20．⑴由三垂線定理可得，A1C⊥BD，A1C⊥BEA1C⊥平面BDE
�、埔訢A、DC、DD1分別為x、y、z軸，建立坐標(biāo)系，則，
設(shè)A1C平面BDE＝K，由⑴可知，∠A1BK為A1B與平面BDE所成角，
21．⑴在平面ABB1A1中，作B1D⊥AB，則B1D⊥平面ABC
∴∠B1BD為B1B與平面ABC所成角，∴∠B1BD＝60?
又∵△ABB1和△ABC均為正三角形，∴D為AB中點，∴CD⊥AB，∴CB1⊥AB
�、埔椎�
�、沁^D作DE⊥AB1，連CE，易證：CD⊥平面ABB1A1
由三垂線定理知：CE⊥AB1，∴∠CED為二面角C－AB1－B的平面角。
在Rt△CDE中，tan∠CED＝2，∴二面角C－AB1－B的大小為arctan2
22．解：(Ⅰ)∵AD與兩圓所在的平面均垂直,
∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B―AD―F的平面角，
依題意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450.
即二面角B―AD―F的大小為450；
(Ⅱ)以O(shè)為原點，BC、AF、OE所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），則O（0，0，0），A（0，，0），B（，0，0）,D（0，，8），E（0，0，8），F(xiàn)（0，，0）
所以，
設(shè)異面直線BD與EF所成角為，則
直線BD與EF所成的角為
等腰直角三角形面積公式
等腰直角三角形面積公式
=(1/2)*底*高
s=(1/2)*a*b*sinC (C為a,b的夾角)
底*高/2
底X高除2 二分之一的 （兩邊的長度X夾角的正弦）
s=1/2的周長*內(nèi)切圓半徑
s=(1/2)*底*高
s=(1/2)*a*b*sinC
兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊
大角對大邊
周長c=三邊之和a+b+c
面積
s=1/2ah(底*高/2)
s=1/2absinC(兩邊與夾角正弦乘積的一半)
s=1/2acsinB
s=1/2bcsinA
s=根號下：p(p-a)(p-b)(p-c) 其中p=1/2(a+b+c)
這個公式叫海倫公式
正弦定理：
sinA/a=sinB/b=sinc/C
余弦定理：
a^2=b^2+c^2-2bc cosA
b^2=a^2+c^2-2ac cosB
c^2=a^2+b^2-2ab cosA
三角形2條邊向加大于第三邊.
三角形面積=底*高/2
三角形內(nèi)角和=180度
求面積嗎 (上底+下底)×高÷2
三角形面積=底*高/2
三角形面積公式：
底*高/2
三角形的內(nèi)角和是180度
陳子測日與勾股定理之發(fā)現(xiàn)
太陽距離我們有多遠呢？這對于近代人來說，是一個常識性的問題；但對古代人而言，它卻是個謎。為了解開這個謎，古代科學(xué)家進行了一次又一次探測。
據(jù)公元前一世紀(jì)成書的《周髀算經(jīng)》記載，我國古代杰出的數(shù)學(xué)家陳子（公元前6-7世紀(jì)）對太陽的高和遠進行了測量，這就是人們所樂于稱道的“陳子測日”。他的測量方法原理如圖1所示。
圖 1
其中，S表示太陽，I表示日下點，AC和DF均表示髀，即測量用的標(biāo)桿。C、F、I在同一直線上。b是髀豎立在F處的影長，a+b是髀豎立在C處的影長。髀長h是已知的，a、b、d均可實際量出。
由 △SHD∽△ACG, △SDA∽△AGB，
有
于是，便可求出太陽S到日下點I的距離，即日高SI；并且，還可求出髀DF到太陽日下點I的距離FI。但是，由陳子受當(dāng)時科學(xué)水平的限制，誤把橢球形的地球當(dāng)作平面。所以，求出的日高與實際距離相差很遠。然而，他的測日法所反映的數(shù)學(xué)及測量水平卻是在世界上遙遙領(lǐng)先的，而且他的測量方法（后來叫做重差術(shù)）至今仍被使用著。所以，人們稱陳子為測量學(xué)之祖，毫不為過。
求得了日高及髀到日下點的距離之后，髀到太陽的距離即日遠，陳子是怎樣計算的呢？據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，有一次榮方和陳子問答，陳子說：“若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并開方而除之，得邪至日者�！保ü艥h語“邪”也作“斜”解）就是說，將勾、股各平方后相加，再開方，就得到弦長（圖2）。陳子的這段話，不僅解決了日遠的計算問題，而且還最早表述了勾股定理。這充分證明，我國至遲在陳子所處年代，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并運用了勾股定理。
圖 2
可是，你是否想到過，我們的祖先發(fā)現(xiàn)勾股定理，不是一賦而就，而是經(jīng)歷了漫長的歲月，走過了一個由特殊到一般的過程。
我國的幾何起源很早。據(jù)考古發(fā)現(xiàn)，十萬年前的“河套人”就已在骨器上刻有菱形的花紋；六、七千年前的陶器上已有平行線、折線、三角形、長方形、菱形、圓等幾何圖形。隨著生活和生產(chǎn)的需要，越來越多的幾何問題擺在我們祖先面前。四千年前，黃河流域經(jīng)常洪水泛濫。大禹（公元前二十一世紀(jì)）率眾治水，開山修渠，導(dǎo)水東流。在治水過程中，他“左準(zhǔn)繩，右規(guī)矩”。（這里“規(guī)”就是圓規(guī)，“矩”就是曲尺，由長短兩尺在端部相交成直角合成，短尺叫勾，長尺叫股），運用勾股測量術(shù)進行測量。在《周髀算經(jīng)》中，表明大禹已經(jīng)知道用長為3：4：5的邊構(gòu)成直角三角形。
到了商高（公元前1120年）所處時代，我國的測量技術(shù)及幾何水平達到了一定高度。《周髀算經(jīng)》中，記載著周公與商高的一段對話，商高說：“故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅五。”這里的“勾廣”就是勾長，“股修”就是股長，“徑隅”就是弦長。就是說，把一根直尺折成矩（直角），如果勾長為3，股長為4，那么尺的兩端間的距離，即弦長必定是5。這表明，早在三千年前，我們的祖先就已經(jīng)知道“勾三股四弦五”這一勾股定理的特例了。
從制作工具、測量土地山河，到研究天文；從大禹治水，到陳子測日，我們的祖先逐漸積累經(jīng)驗，從而發(fā)現(xiàn)了勾股定理。為紀(jì)念我們祖先的偉大成就，我國已將這個定理命名為勾股定理。
盡管希臘人稱勾股定理為畢達哥拉斯定理或“百牛定理”，法國、比利時人又稱這個定理為“驢橋定理”，但據(jù)推算，他們發(fā)現(xiàn)勾股定理的時間都比我國晚。我國是世界上最早發(fā)現(xiàn)勾股定理這一幾何寶藏的國家！
高一數(shù)學(xué)期末考試備考復(fù)習(xí)“秘訣”
編者按：小編為大家收集了“高一數(shù)學(xué)期末考試備考復(fù)習(xí)“秘訣””，供大家參考，希望對大家有所幫助!
1.回歸課本是關(guān)鍵
考前要回歸課本，掌握了教材就把握了考試的根本。在老師的指導(dǎo)下把考查的內(nèi)容分類整理，理清脈絡(luò)，使考查的知識在心中形成網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，并在此基礎(chǔ)上明確每一個考點的內(nèi)涵與外延。在建立知識系統(tǒng)的同時，同學(xué)們還要根據(jù)考綱要求，掌握試卷結(jié)構(gòu)，明確考查內(nèi)容、考查的重難點及題型特點、分值分配，使知識結(jié)構(gòu)與試卷結(jié)構(gòu)組合成一個結(jié)構(gòu)體系，并據(jù)此進一步完善自己的復(fù)習(xí)結(jié)構(gòu)，使復(fù)習(xí)效果事半功倍。
2.查漏補缺
數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)一定要加強對以往錯題的研究，找錯誤的原因，對易錯知識點進行列舉、易誤用的方法進行歸納。找準(zhǔn)了錯誤的原因，就能對癥下藥，使犯過的錯誤不再發(fā)生，會做的題目不再做錯。同學(xué)們還可兩人一組互提互問，在爭論和研討中矯正，效果更好。
3.掌握好看與做的時間分配
好多同學(xué)都覺得幾天不做數(shù)學(xué)題后再考試，審題就會遲疑緩慢，入手不順，運算不暢且易出錯。所以每天必須堅持做適量的練習(xí)，特別是重點和熱點題型，防止思想退化和惰化，保持思維的靈活和流暢。特別是停課復(fù)習(xí)期間，更要掌握好看和做的時間分配。
4.規(guī)范作答爭取少扣分
一些同學(xué)考試時題題被扣分，大多是答題不規(guī)范，抓不住得分要點。如立體幾何證明的次要條件要交待，分類討論問題最后有綜上可得，應(yīng)用題最后要回答題目的設(shè)問，函數(shù)應(yīng)用題要有定義域等。
5.歸納考試竅門
熟練掌握數(shù)學(xué)方法，以不變應(yīng)萬變。一般同一份試卷，相同的方法不可能出現(xiàn)多次;同時，數(shù)學(xué)的主要方法在一份試卷上基本都能用得上。因此遇到思路一下不能突破的難題，要好好想想以前遇到的類似的問題是如何處理的，在已經(jīng)作答好的題目中用過了哪些方法，常用的方法還有哪些沒用得上，能否用來解決這個難題，只要平時多加分析，是不難發(fā)現(xiàn)解題思路的。
以上就是為大家提供的“高一數(shù)學(xué)期末考試備考復(fù)習(xí)“秘訣””希望能對考生產(chǎn)生幫助，更多資料請咨詢中考頻道。
高考數(shù)學(xué)：把握學(xué)科特點 做好針對性復(fù)習(xí)
距離還有一個月左右的時間，在這關(guān)鍵的階段如何，即了解第三輪的該怎么做，這很重要。因為這個階段是的沖刺階段，它是穩(wěn)定和提高成績的關(guān)鍵階段，這個階段所做的針對性強、有效性高。復(fù)習(xí)得好，數(shù)學(xué)成績?nèi)杂泻艽蟮奶嵘臻g。這一階段要做好兩件事情。
一、回歸基礎(chǔ)，把握數(shù)學(xué)學(xué)科特點。
高考大綱和說明指出：數(shù)學(xué)科的，按照“考查基礎(chǔ)的同時，注重考查”的原則，確定以立意命題的指導(dǎo)思想，將、和素質(zhì)融為一體，全面考查的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)能力是指空間能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，共7種。推理論證能力和抽象概括能力是考查的重點，運算求解能力包括數(shù)的運算，式的運算，包括精算，近似計算和估算，對運算能力的考查主要以含字母的式的運算為主。據(jù)此，首先要求要回歸基礎(chǔ)，把各部分基本，包括數(shù)學(xué)概念、定義、定理、公理、推論、公式等梳理一遍。其次，要求要突出主干知識，重視知識之間的內(nèi)在聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，以數(shù)學(xué)思想為統(tǒng)帥，從本質(zhì)上抓住這些聯(lián)系，使數(shù)學(xué)知識在學(xué)生的頭腦中形成一個有主有次的有機整體 高中學(xué)習(xí)方法。再次，要通過一些和練習(xí)，體會與感悟這些所考查的上述7種數(shù)學(xué)能力，針對自己，找出差距，及時補缺。這樣就能更好地把握數(shù)學(xué)的學(xué)科特點和高考要求，就能站在一定的高度更加從容地面對高考，這種狀態(tài)的同學(xué)高考都會有很好的發(fā)揮。
二、 做好針對性復(fù)習(xí)，尋找新的突破。
前面的復(fù)習(xí)主要是學(xué)生跟著走，而第三輪復(fù)習(xí)是個性化很強的復(fù)習(xí)，強調(diào)以學(xué)生為主，學(xué)生要根據(jù)自己的情況進行針對性的復(fù)習(xí)。這種針對性復(fù)習(xí)分為三類。
基礎(chǔ)差的同學(xué)要堅決放棄一些難題，把重點放在基礎(chǔ)題和中等題上，就理科數(shù)學(xué)來說，它是指選擇題的前8題、填空題的前4題、解答題的前3題、選做題，這些題共有109分。這時要進行強化訓(xùn)練，專題突破，比如說你立體幾何比較差，那你就專門做十幾道立體幾何。要求做題時要真正理解，解答完整。
中等的同學(xué)要注意總結(jié)與反思，及時查缺補漏，注意少丟分和不丟分，要放棄特別難的題目，要對自己較為薄弱的題型進行專題突破。同時注意一些創(chuàng)新題、探究題和應(yīng)用題。
優(yōu)秀生要專門安排一段時間回歸基礎(chǔ)，以保證基礎(chǔ)題和中等題不丟分，但時間不用太長，一周就夠了。針對近兩年福建省高考數(shù)學(xué)難題偏難的情況，優(yōu)秀生只有對難題進行專項突破，才有可能在高考中取得優(yōu)異成績�？蛇x擇近兩年全國各課改省份的高考試卷和質(zhì)檢試卷，特別是本省前年和去年各市的質(zhì)檢試卷，專門做它的壓軸題，特別是選擇和填空的壓軸題，會有不少的收獲。
正弦函數(shù)圖象的對稱性
【教學(xué)目標(biāo)】
1．使學(xué)生掌握正弦函數(shù)圖象的對稱性及其代數(shù)表示形式，理解誘導(dǎo)公式（R）與（R）的幾何意義，體會正弦函數(shù)的對稱性.
2．在探究過程中滲透由具體到抽象，由特殊到一般以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高學(xué)生觀察、分析、抽象概括的能力.
3．通過具體的探究活動，培養(yǎng)學(xué)生主動利用信息技術(shù)研究并解決數(shù)學(xué)問題的能力，增強學(xué)生之間合作與交流的意識.
【教學(xué)重點】
正弦函數(shù)圖象的對稱性及其代數(shù)表示形式.
【教學(xué)難點】
用等式表示正弦函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱和關(guān)于點對稱.
【教學(xué)方法】
教師啟發(fā)引導(dǎo)與學(xué)生自主探究相結(jié)合.
【教學(xué)手段】
計算機、圖形計算器（學(xué)生人手一臺）.
【教學(xué)過程】
一、復(fù)習(xí)引入
1.展示生活實例
對稱在自然界中有著豐富多彩的顯現(xiàn)，各種對稱圖案、對稱符號也都十分普遍（見下圖）.
2．復(fù)習(xí)對稱概念
初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過軸對稱圖形和中心對稱圖形的有關(guān)概念：
軸對稱圖形——將圖形沿一條直線折疊，直線兩側(cè)的部分能夠互相重合；
中心對稱圖形——將圖形繞一個點旋轉(zhuǎn)180°，所得圖形與原圖形重合.
3．作圖觀察
請同學(xué)們用圖形計算器畫出正弦函數(shù)的圖象（見圖），仔細觀察正弦曲線是否是對稱圖形？是軸對稱圖形還是中心對稱圖形？
4．猜想圖形性質(zhì)
經(jīng)過簡單交流后，能夠發(fā)現(xiàn)正弦曲線既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，并能夠猜想出一部分對稱軸和對稱中心.（教師點評并板書）
如何檢驗猜想是否正確？
我們知道， 誘導(dǎo)公式（R），刻畫了正弦曲線關(guān)于原點對稱，而（R），刻畫了余弦曲線關(guān)于軸對稱. 從這兩個特殊的例子中我們得到一些啟發(fā)，如果我們能夠用代數(shù)式表示所發(fā)現(xiàn)的對稱性，就可以從代數(shù)上進行嚴(yán)格證明.
今天我們利用圖形計算器來研究正弦函數(shù)圖象的對稱性.（板書課題）
二、探究新知
分為兩個階段，第一階段師生共同探討正弦曲線的軸對稱性質(zhì)，第二階段學(xué)生自主探索正弦曲線的中心對稱性質(zhì).
�。ㄒ唬⿲τ谡仪�軸對稱性的研究
第一階段，實例分析——對正弦曲線關(guān)于直線對稱的研究.
1．直觀探索——利用圖形計算器的繪圖功能進行探索
請同學(xué)們在同一坐標(biāo)系中畫出正弦曲線和直線的圖象，選擇恰當(dāng)窗口并充分利用畫圖功能對問題進行探索研究（見圖），在直線兩側(cè)正弦函數(shù)值有什么變化規(guī)律？
給學(xué)生一定的時間操作、觀察、歸納、交流，最后得出猜想：當(dāng)自變量在左右對稱取值時，正弦函數(shù)值相等.
從直觀上得到的猜想，需要從數(shù)值上進一步精確檢驗.
2．?dāng)?shù)值檢驗——利用圖形計算器的計算功能進行探索
請同學(xué)們思考，對于上述猜想如何取值進行檢驗?zāi)?
教師組織學(xué)生通過合作的方式，對稱地在左右自主選取適當(dāng)?shù)淖宰兞浚⒂嬎愫瘮?shù)值,對結(jié)果進行列表比較歸納.同時為沒有思路的學(xué)生準(zhǔn)備參考表格如下：
給學(xué)生一定的時間進行思考、操作，根據(jù)情況進行指導(dǎo)并組織學(xué)生進行交流，然后請一組學(xué)生說明他們的研究過程.學(xué)生可以采用不同的數(shù)據(jù)采集方法，得到的結(jié)果如下列圖表（表格中函數(shù)值精確到0.001）：
-0.416
0.071
0.540
0.878
1
0.878
0.540
0.071
-0.416
上述計算結(jié)果，初步檢驗了猜想，并可以把猜想用等式（R）表示.
請同學(xué)們利用前面得到的數(shù)據(jù)，用圖形計算器描點畫圖（見下圖），然后進行觀察比較，思考點P和P′在平面直角坐標(biāo)系中有怎樣的位置關(guān)系？
根據(jù)畫圖結(jié)果，可以看出，點P和P′關(guān)于直線對稱.這樣，正弦曲線關(guān)于直線對稱，可以用等式（R）表示.
這樣的計算是有限的，并受到精確度的影響，還需要對等式進行嚴(yán)格證明.
3．嚴(yán)格證明——證明等式對任意R恒成立
請同學(xué)們思考，證明等式的基本方法有哪些？所要證的等式左右兩端有何特征？有可能選用什么樣的公式？
預(yù)案一：根據(jù)誘導(dǎo)公式，有 .
預(yù)案二：根據(jù)公式和，有.
預(yù)案三：根據(jù)正弦函數(shù)的定義，在平面直角坐標(biāo)系中， 無論取任何實數(shù)，角和的終邊總是關(guān)于軸對稱（見圖），他們的正弦值恒相等.
這樣我們就證明了等式對任意R恒成立，也就證明了正弦曲線關(guān)于直線對稱.
事實上，誘導(dǎo)公式也可以由等式推出，即這兩個等式是等價的.因此，正弦曲線關(guān)于直線對稱，是誘導(dǎo)公式（R）的幾何意義.
階段小結(jié)：我們從幾何直觀獲得啟發(fā)，又通過數(shù)據(jù)計算進一步檢驗，得出正弦曲線關(guān)于直線對稱可以用等式（R）表示，通過對這一等式的嚴(yán)格證明，證實了我們猜想的正確性.上述等式與誘導(dǎo)公式（R）的等價性，使我們對這一誘導(dǎo)公式有了新的理解.
第二階段，抽象概括——探索正弦曲線的其他對稱軸.
師生、生生交流，步步深入.
問題一：正弦曲線還有其他對稱軸嗎？有多少條對稱軸？對稱軸方程形式有什么特點？
可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過圖象最大值點和最小值點且垂直于軸的直線都是正弦曲線的對稱軸（教師利用課件演示），則對稱軸方程的一般形式為：（Z）.
問題二：能用等式表示“正弦曲線關(guān)于直線（Z）對稱”嗎？
根據(jù)前面的研究，上述對稱可以用等式（Z，R）表示.
請學(xué)生證明上述等式，然后組織學(xué)生交流證明思路.
證明預(yù)案： .
�。ǘ⿲τ谡仪�中心對稱性的研究
我們已經(jīng)知道正弦函數(shù)（R）是奇函數(shù)，即（R），反映在圖象上，正弦曲線關(guān)于原點對稱. 那么，正弦曲線還有其他對稱中心嗎？請同學(xué)們參照軸對稱的研究方法，小組合作進行研究.
第一階段，對正弦曲線關(guān)于點對稱的研究.
1．直觀探索——從圖象上探索在點兩側(cè)的函數(shù)值的變化規(guī)律.
2．?dāng)?shù)值檢驗——在左右對稱地選取一組自變量，計算函數(shù)值并列表整理.
3．嚴(yán)格證明——證明等式對任意R恒成立.
預(yù)案一：根據(jù)誘導(dǎo)公式，有
預(yù)案二：根據(jù)誘導(dǎo)公式和，有.
預(yù)案三：根據(jù)正弦函數(shù)的定義，在平面直角坐標(biāo)系中， 無論取任何實數(shù)，角和的終邊總是關(guān)于軸對稱（見圖），他們的正弦值互為相反數(shù).
事實上，等式與誘導(dǎo)公式是等價的. 這樣，正弦曲線關(guān)于點對稱，是誘導(dǎo)公式（R）的幾何意義.
第二階段，探索正弦曲線的其它對稱中心.
請同學(xué)嘗試解決下列三個問題：
1．歸納正弦函數(shù)圖象對稱中心坐標(biāo)的一般形式.
正弦函數(shù)圖象對稱中心坐標(biāo)的一般形式為：（Z）（教師利用課件演示）.
2．用等式表示“正弦曲線關(guān)于點（Z）對稱”.
上述對稱可以用等式（Z，R）表示.
3．證明歸納出的等式. （根據(jù)課堂情況可以由學(xué)生課后完成證明）
三、課堂小結(jié)
1．課堂小結(jié)
�。�1）知識上：得出了正弦函數(shù)圖象對稱軸方程和對稱中心坐標(biāo)的一般形式，研究了對稱性的代數(shù)表示形式，并利用誘導(dǎo)公式完成了嚴(yán)格的理論證明. 在研究的過程中，對誘導(dǎo)公式與（R）有了新的理解，感受了正弦函數(shù)的對稱性以及數(shù)和形的辨證統(tǒng)一.
�。�2）方法上：直觀→抽象，特殊→一般，體驗了觀察—歸納—猜想—嚴(yán)格證明的研究方法.
2．作業(yè)
�。�1）總結(jié)課上的研究過程和方法，嘗試研究余弦函數(shù)圖象的對稱性，并結(jié)合自己的研究過程和結(jié)論寫出研究報告，與其他同學(xué)交流收獲.
（2）找一個一般函數(shù)，如，R，研究它的圖象及對稱性；并與正弦函數(shù)的圖象及對稱性進行比較.
（3）思考：如何用等式表示函數(shù)關(guān)于直線對稱，以及關(guān)于點對稱？
（4）嘗試證明函數(shù)的圖象分別關(guān)于直線和直線對稱.
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