構造解析幾何模型巧解最值

　　構造是一種重要的數(shù)學思想，它是創(chuàng)造力、想象力的較高表現(xiàn)形式.本文就結合一類求最值問題構造解析幾何模型，以展現(xiàn)構造的巧妙之處.

　　【例1】 求f(α，β)=(cosα-5cosβ)2+(sinα+5-2sinβ)2的最大值和最小值.

　　解:將設w=(cosα-5cosβ)2+(sinα+5-2sinβ)2，則將w構造為動點P(cosα，sinα+5)與動點Q(5cosβ，2sinβ)的距離，又點P的軌跡為⊙A:x2+(y-5)2=1，點Q的軌跡為橢圓E:x225+y24=1，從而w可構造為圓⊙A上的點與橢圓E上的點之間的距離.

　　圖1

　　設橢圓上任意一點M(x，y)，則|MA|=x2+(y-5)2.

　　由x225+y24=1可得x2=25(1-y24)，其中y∈[-2，2]，

　　∴|MA|=25(1-y24)+(y-5)2=-21y24-10y+50=-214(y+2021)2+115021(y∈[-2，2]).

　　顯然，當y=-2021時，|MA|?max=115021，當y=2時，|MA|?min=3.

　　所以，w?max=(115021+1)2，w?min=(3-1)2=4.

　　【例2】 已知⊙O:x2+y2=1和定點A(2，1)，由⊙O外一點P(a，b)向⊙O引切線PQ，切點為Q，且滿足|PQ|=|PA|.(1)求實數(shù)a，b間的等量關系;(2)若以P為圓心所作的⊙P與⊙O有公共點，試求半徑取最小值時⊙P的方程.

　　解:(1)連接OP，因Q為切點，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|2=|OP|2-|OQ|2.

　　圖2

　　又|PQ|=|PA|，故|PQ|2=|PA|2，

　　即(a2+b2)-12=(a-2)2+(b-1)2，

　　化簡得實數(shù)a，b間的等量關系為:2a+b-3=0.

　　(2)由(1)知將動點P構造為直線L:2x+y-3=0上的動點，顯然直線L與⊙O是相離關系.

　　這樣要使以P為圓心所作的⊙P與⊙O有公共點且半徑取最小，

　　只需OP⊥L于P且⊙P與⊙O外切時滿足條件.

　　此時直線OP的方程為:y=12x，即x-2y=0.

　　由方程組2x+y-3=0，x-2y=0得x=65，y=35.

　　即滿足條件的圓P的圓心為(65，35).

　　此時|OP|=|2×0+0-3|5=355，

　　∴R?min=|OP|-1=355-1.

　　∴滿足條件的圓P的方程為:(x-65)2+(y-35)2=(355-1)2.

　　【例3】 設圓滿足:①截y軸所得弦長為2;②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3∶1，在滿足條件①、②的所有圓中，求圓心到直線L:x-2y=0

　　的距離最小的圓的方程.

　　圖3-1

　　解:設圓的圓心為P(x，y)，半徑為r，則點P到x軸、y軸的距離分別為|y|、|x|.

　　∵題設圓P截x軸所得劣弧對的圓心角為90°，

　　∴圓P截x軸的弦長為2r，故r2=2y2.

　　又∵圓P截y軸所得的弦長為2，所以有r2=x2+1，從而得2y2-x2=1.

　　∴將動圓圓心P構造為雙曲線E:2y2-x2=1上的動點，這樣只需要求出雙曲線E到直線L的距離的最小值.

　　設與直線L平行的且與雙曲線E相切的直線L?1的方程為:x-2y+c=0，

　　由2y2-x2=1，x-2y+c=0，消去x得2y2-4cy+1+c2=0，

　　∴Δ=16c2-8(1+c2)=0.

　　∴c=±1.

　　當c=1時，x=1，y=1，此時r2=2y2=2;

　　當c=-1時，x=-1，y=-1，此時r2=2y2=2.

　　∴所求圓的方程是:(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.

　　【例4】 若函數(shù)f(x)=k+2+x存在區(qū)間[a，b]，使f(x)在[a，b]上值域是[a，b]，求k的最大值.

　　圖4

　　解:顯然函數(shù)f(x)在定義域內單調遞增，

　　∴由題意可得

　　a=k+2+a，b=k+2+b.

　　故a、b是方程x=k+2+x，即方程x+k+2=x

　　的兩個不等實數(shù)根.

　　于是構造直線L:y=x-k-2與拋物線E:y2=x(x≥0)有兩個不同的交點.要求k的最大值，只需求符合條件的直線在y軸上截距的最小值.所以當直線L過點(0，0)時，k?max=-2.

　　【例5】 求函數(shù)f(x)=cosx-2sinx(x∈(0，π))的最大值.

　　圖5

　　解:設A(sinx，cosx)，B(0，2)，x∈(0，π)，顯然A在

　　單位圓x2+y2=1(x>0)的右半圓上運動，

　　將f(x)的值構造為直線AB的斜率，因此當直線AB與⊙O右半圓相切時，f(x)有最大值.

　　∴f(x)?max=-3.

　　以上列舉了通過構造兩點間距離、直線的斜率、圓、橢圓、雙曲線、拋物線，利用解析幾何中的公式、曲線的性質等解決問題，在此過程中大大簡化了解題過程，取得了意想不到的解題效果

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