證明直線與圓相切的方法

　　在我們平凡的日常里，大家高中數(shù)學(xué)免不了要接觸或直線與圓相切吧，以下是小編幫大家整理的證明直線與圓相切的方法，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

　　證明直線與圓相切主要有以下兩種方法：

　　一、根據(jù)切線的判定定理

　　經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

　　當(dāng)已知直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常用此法。輔助線是連結(jié)公共點(diǎn)和圓心，只要設(shè)法證明直線與半徑垂直即可。

　　例1. （2004年江蘇省淮安市中考題）

　　已知：如圖1，在△ABC中，∠BAC的平分線AD交△ABC的外接圓⊙O于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)G。

　　圖1

　�。�1）連結(jié)CD，若AG＝4，DG＝2，求CD的長(zhǎng)；（解略）

　�。�2）過(guò)點(diǎn)D作EF∥BC，分別交AB、AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F。求證：EF與⊙O相切。

　　證明：（2）連結(jié)OD，由∠1＝∠2，

　　得

　　，則OD⊥BC

　　所以

　　因?yàn)镋F∥BC，所以∠BCD＝∠CDF

　　從而

　　即EF⊥OD，所以EF與⊙O相切。

　　例2. （2002年湖北省黃岡市中考題）

　　如圖2，BE是⊙O的直徑，點(diǎn)A在BE的延長(zhǎng)線上，弦PD⊥BE，垂足為C，連結(jié)OD，且∠AOD＝∠APC。

　�。�1）求證：AP是⊙O的切線。

　�。�2）略。

　　圖2

　　證明：連結(jié)OP，因?yàn)镻D⊥BE，OP＝OD

　　所以∠POB＝∠DOB，而∠APD＝∠DOB

　　所以∠POB＝∠APD

　　由PD⊥BE得：∠POB＋∠OPC＝90°

　　即∠APD＋∠OPC＝90°

　　所以AP是⊙O的切線

　　二、根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系

　　若圓心到直線的距離等于圓的半徑，則直線與圓相切。

　　當(dāng)題設(shè)中不能肯定直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常用此法。輔助線是過(guò)圓心作該直線的垂線段，只要設(shè)法證明垂線段等于半徑即可。

　　例3. （2003年甘肅省中考題）

　　如圖3，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C為圓心、r為半徑作圓，當(dāng)r＝2.4時(shí)，AB與圓有怎樣的位置關(guān)系？為什么？

　　圖3

　　解：作CD⊥AB，垂足為D，則

　　由CD·AB＝AC·BC得：

　　即AB與圓相切。

　　例4. 如圖4，AB是⊙O的直徑，AC⊥l，BD⊥l，C、D為垂足，且AC＋BD＝AB，求證：直線l與⊙O相切。

　　圖4

　　證明：過(guò)O作OE⊥l，E為垂足，則

　　OE∥AC∥BD，又AO＝BO

　　所以

　　而

　　，則

　　即垂線段OE等于圓的半徑，所以直線l是⊙O的切線。

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