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求角的度數(shù)方法
在學(xué)習(xí)與三角形有關(guān)的角時(shí)，同學(xué)們會(huì)遇到許多求角的大小的問題，其中有些題目看似簡(jiǎn)單，卻很難入手，有些題目因思考不全面而造成漏解。怎么辦?要知道，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，是解決數(shù)學(xué)問題的金鑰匙。本文就談?wù)剶?shù)學(xué)思想方法在求解角的度數(shù)問題中的運(yùn)用，希望對(duì)同學(xué)們解題有所幫助。
1、整體法
例1 如圖1，若點(diǎn)P為△ABC中∠ABC、∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，求∠BPC∠A的度數(shù)。
圖1
分析：解本題的關(guān)鍵在于從整體著眼，利用∠PBC+∠PCB建立∠A和∠BPC的聯(lián)系。
解：∵∠PBC=∠ABC
∠PCB=∠ACB
∠BPC=180°－（∠PBC+∠PCB）
∴∠BPC－∠A
2、方程法
例2 如圖2，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：4：5，BD、CE分別是AC、AB邊上的高，BD、CE相交于點(diǎn)H，求∠BHC的度數(shù)。
圖2
分析：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合已知條件可先求出∠A、∠ABC、∠ACB的度數(shù)。在△BHC中，還需求出∠DBC和∠ECB的度數(shù)。
解：設(shè)∠A=3x度，則∠ABC=4x度，∠ACB=5x度。
所以。
解得x=15，即∠A=45°，∠ABC=60°，∠ACB=75°
在△DBC中，由∠BDC=90°，可知△DBC是直角三角形。
所以∠DBC=90°－75°=15°
在△ECB中，由∠CEB=90°，可知△ECB是直角三角形。
所以∠ECB=90°－60°=30°
在△BHC中，∠BHC=180°－15°－30°=135°
點(diǎn)評(píng)：由于∠A：∠ABC：∠ACB=3：4：5，設(shè)∠A=3x度，則∠ABC=4x度，∠ACB=5x度。再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，就可以得到一個(gè)關(guān)于x的方程，即。從而求得∠A、∠ABC、∠ACB的度數(shù)。這種方法會(huì)經(jīng)常用到，要注意掌握。
3、分類法
例3 已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD和高CE所在的直線相交于點(diǎn)H，求∠BHC的度數(shù)。
分析：三角形的形狀不同，高線的交點(diǎn)的位置也不同。當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，高的交點(diǎn)在其內(nèi)部；當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，高的交點(diǎn)在其外部。故應(yīng)分兩種情況討論。
解：（1）設(shè)△ABC為銳角三角形（如圖3）。
圖3
∴BD、CE是△ABC的高，∠A=45°，
∴∠ABD=90°－45°=45°
∴∠BHC=∠ABH+∠BEH
=45°+90°
=135°
（2）設(shè)△ABC為鈍角三角形（如圖4）
圖4
∴H是△ABC的兩條高所在直線的交點(diǎn)，∠A=45°，
∴∠DCH=∠ECA
=90°－45°
=45°
∴∠BHC=90°－∠DCH
=90°－45°
=45°
綜上可知，∠BHC的大小是135°或45°。
4、構(gòu)造法
例4 如圖5，BE是∠ABD的平分線，CF是∠ACD的平分線，BE與CF交于點(diǎn)G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的度數(shù)。
圖5
分析：若把∠BDC、∠BGC、∠A看成是三角形的內(nèi)角，則必須構(gòu)造三角形。結(jié)合圖形不難發(fā)現(xiàn)，連接BC即可。
解：連接BC。
∵∠DBC+∠DCB+∠BDC=180°
∠BDC=140°
∴∠DBC+∠DCB=40°
又∠BGC+∠GBC+∠GCB=180°
∠BGC=110°
∴∠GBD+∠GCD=180°－110°－40°=30°
∵∠GBD∠ABD
∠GCD=∠ACD
∴∠ABD+∠ACD=2（∠GBD+∠GCD）=60°
∴∠A=180°－（∠ABC+∠ACB）
=180°―60°―40°
=80°。
點(diǎn)評(píng)：此題還可延長(zhǎng)CD交BE于一點(diǎn)，請(qǐng)同學(xué)們嘗試一下這種解法。在進(jìn)行與角有關(guān)的計(jì)算時(shí)，為了能使用三角形內(nèi)角和定理及內(nèi)角與外角的關(guān)系，常常需要構(gòu)造三角形或三角形的外角，這時(shí)需要添加某些線段或延長(zhǎng)某些線段。
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