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數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的融合論文
【摘要】本文結(jié)合當(dāng)前高校開設(shè)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程的現(xiàn)實(shí)，從發(fā)展歷史、現(xiàn)狀以及教材建設(shè)等方面，分析它們的區(qū)別與聯(lián)系，結(jié)合各自的特點(diǎn)，找到它們各自的優(yōu)勢(shì)和不足，提出了將兩門課進(jìn)行融合的想法并給出了理由和建議。
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；學(xué)以致用；發(fā)現(xiàn)問題；解決問題
1、前言
數(shù)學(xué)建模課程進(jìn)入我國的大學(xué)是在上世紀(jì)80年代，此時(shí)數(shù)學(xué)建模課程以及數(shù)學(xué)建模的思想已經(jīng)在發(fā)達(dá)國家趨于普遍。我國對(duì)于該課程的設(shè)置大致是屬于引進(jìn)式的課程革新。隨之而來的全國大學(xué)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽給數(shù)學(xué)建模課在全國高校的蔓延帶來了強(qiáng)大的助推力。2000年前后，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課開始興起了，全國很多高校的數(shù)學(xué)系開始開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，如今的大學(xué)數(shù)學(xué)課程體系中，大部分都有《數(shù)學(xué)建�！泛汀稊�(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》這兩門課。它們的內(nèi)容乍一看比較接近，再加上近年來有不少學(xué)校在進(jìn)行兩門課的合并，所以很多人會(huì)認(rèn)為它們是重復(fù)的存在。本文主旨就在于講清楚數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的區(qū)別與聯(lián)系。
2、綜述數(shù)學(xué)建模
2.1數(shù)學(xué)建模課程的形成歷史
要想說清楚數(shù)學(xué)建模這門課，必須先從數(shù)學(xué)模型說起。人類社會(huì)發(fā)展到今天，無論是工業(yè)生產(chǎn)，還是經(jīng)濟(jì)運(yùn)行，甚至日常生活，都可以靠數(shù)學(xué)來揭示其中的規(guī)律。數(shù)學(xué)在上述各個(gè)領(lǐng)域中的呈現(xiàn)形式不再是一種純粹的數(shù)學(xué)形式，而是應(yīng)用數(shù)學(xué)語言對(duì)各類事物的本質(zhì)規(guī)律進(jìn)行的表述，即數(shù)學(xué)模型。隨著科學(xué)研究領(lǐng)域的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域中展現(xiàn)出越來越重要的作用，人們發(fā)現(xiàn)將現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化的意識(shí)和能力對(duì)于一個(gè)科研工作者來說是至關(guān)重要的，尤其是對(duì)于年輕人。于是在上世紀(jì)五六十年代，歐美國家的大學(xué)開始開設(shè)數(shù)學(xué)建模這門課程。八十年代，我國的高校開始陸續(xù)在各自的數(shù)學(xué)系開設(shè)數(shù)學(xué)建模課，逐漸發(fā)展成為許多學(xué)校的數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)等數(shù)學(xué)類專業(yè)將它列為必修課或?qū)I(yè)限選課，而且一些工科、經(jīng)濟(jì)管理、師范等院校也將它列為選修課。緊隨而來的全國大學(xué)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽對(duì)數(shù)學(xué)建模課的繼續(xù)發(fā)展也起到了巨大的推動(dòng)作用[1]。隨著大學(xué)師生對(duì)數(shù)學(xué)建模的越來越多的重視，關(guān)于數(shù)學(xué)建模的教學(xué)研討也雨后春筍般的多了起來。配合全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的指導(dǎo)工作，數(shù)學(xué)建模的師資隊(duì)伍也在不斷的壯大。各類教材和參考書層出不窮，雖然良莠不齊，但是生機(jī)勃勃的局面對(duì)于數(shù)學(xué)建模的發(fā)展也是大有益處。經(jīng)過近二三十年的發(fā)展，現(xiàn)在數(shù)學(xué)建模課程設(shè)置以及相關(guān)配套已經(jīng)基本上趨于成熟和完善。
2.2現(xiàn)階段對(duì)于數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識(shí)
在應(yīng)試教育的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生學(xué)什么怎么學(xué)都是在老師的引導(dǎo)下被動(dòng)進(jìn)行，思維主動(dòng)性的缺失導(dǎo)致一直到考大學(xué)，學(xué)生們對(duì)于為什么要考大學(xué)，到大學(xué)里學(xué)什么專業(yè)這些重要的問題都沒有深入的思考，至少是沒有獨(dú)立的思考。于是學(xué)以致用的“用”就成了一直被忽視的問題，一方面所學(xué)應(yīng)該“用”在什么地方，反之就是為了這個(gè)“用”，大學(xué)應(yīng)該選擇學(xué)什么。這個(gè)問題是學(xué)生個(gè)人應(yīng)該根據(jù)自己的知識(shí)和興趣來自己解決的問題。數(shù)學(xué)建模恰恰就是在研究怎么用數(shù)學(xué)。做好建模需要學(xué)生有“用數(shù)學(xué)”的能力，也就是需要從實(shí)際需要出發(fā)來思考數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)解決現(xiàn)實(shí)問題的參與。學(xué)生們對(duì)于“用”的理解和能力上的長(zhǎng)期的缺失導(dǎo)致了對(duì)于數(shù)學(xué)建模這門課的重要意義認(rèn)識(shí)不夠，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的動(dòng)機(jī)不是加速知識(shí)向現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活的轉(zhuǎn)化，而更多是為了參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽并獲獎(jiǎng)，這是在動(dòng)機(jī)上的偏差，這個(gè)偏差是本質(zhì)上的，甚至連一些教師也有同樣的認(rèn)識(shí)問題。
2.3數(shù)學(xué)建模的教材分析
目前在用的數(shù)學(xué)建模教材有不少，其中用的較為普遍是高等教育出版社的國家“十二五”普通高等教育本科國家級(jí)規(guī)劃教材《數(shù)學(xué)模型》，目前已經(jīng)更新至第四版。自第一版到第四版，在內(nèi)容結(jié)構(gòu)的安排上，都是以建模所使用的數(shù)學(xué)方法作為劃分章節(jié)的依據(jù)。這樣結(jié)構(gòu)清晰，邏輯合理，教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)都很合適。自第三版開始加入了Matlab的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，將計(jì)算機(jī)的工具引入的建模教材，豐富了建模過程中關(guān)于模型求解的部分。有些教師對(duì)于這本教材的內(nèi)容設(shè)置提了一些建議，其中一種說法是，這本書對(duì)于建模過程中更加務(wù)實(shí)的搞清機(jī)理、搜集數(shù)據(jù)以及模型檢驗(yàn)與修改等環(huán)節(jié)講述較少，重點(diǎn)呈現(xiàn)的是建模的“成品”。這種說法不無道理，但是應(yīng)該考慮它作為一本教材的實(shí)際情況，它的目的是教會(huì)學(xué)生怎么建模，可具體建模過程的操作又因?qū)嶋H問題而各不相同，很難整理出關(guān)于具體實(shí)施方法的系統(tǒng)表述，而目前教材通過精心選取經(jīng)典案例和優(yōu)秀的解決方案作為主要內(nèi)容是合適的。這就對(duì)教師的教學(xué)方法提出了更高的要求，如何通過組織學(xué)生討論和模擬建模來切實(shí)提高他們的建模能力，以達(dá)到課程的培養(yǎng)目標(biāo)。
3、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程綜述
3.1數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)這門課的形成
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的提法是伴隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)學(xué)軟件的發(fā)展應(yīng)運(yùn)而生的。在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)與科研中，數(shù)學(xué)只需要有紙和筆就可以了，在紙上呈現(xiàn)出復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和計(jì)算過程。對(duì)于那些計(jì)算思路成熟、步驟清晰、邏輯困難已經(jīng)被攻克但是卻極端復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，人們開始考慮讓日益興起的計(jì)算機(jī)來幫忙解決。人們認(rèn)為只要將正確計(jì)算的步驟轉(zhuǎn)化為計(jì)算機(jī)程序語言，讓它代替人們?nèi)プ鰪?fù)雜的計(jì)算工作，就能夠高效且準(zhǔn)確的得到人們想要的結(jié)果。隨著計(jì)算機(jī)的強(qiáng)大計(jì)算能力越來越廣泛的展現(xiàn)出來，人們開始更加重視計(jì)算數(shù)學(xué)這個(gè)方向。圍繞著設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)能夠高效率高精度的處理人們所遇到的大量的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行研究，逐漸出現(xiàn)了很多成熟的算法以處理日常所能遇到的大量的數(shù)學(xué)問題。
在上述背景之下，上世紀(jì)90年代，北京大學(xué)、清華大學(xué)等高等院校的一些教授提出了開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的構(gòu)想，立即在教育界引起反響，在教育部立項(xiàng)的面向21世紀(jì)高校非數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)教學(xué)體系和內(nèi)容改革的總體構(gòu)想中，把“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”列為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課之一。1998年清華大學(xué)、北京大學(xué)、北京師范大學(xué)共同組織了一個(gè)課題組，在蕭樹鐵教授的指導(dǎo)下，三校各抽一個(gè)班，開出了兩期數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，并在此基礎(chǔ)上逐漸形成了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材[2]。2000年之后，全國各大高校開始紛紛開設(shè)這門課，并在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中逐漸豐富和完善著這門課的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法。之所以叫數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，或許是因?yàn)榘褦?shù)學(xué)交給計(jì)算機(jī)這樣的外部設(shè)備，得到計(jì)算結(jié)果的過程，很像物理化學(xué)那樣在實(shí)驗(yàn)室里做實(shí)驗(yàn)的過程。應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)所處理的問題并非純數(shù)學(xué)問題，而是現(xiàn)實(shí)問題，也正因?yàn)榇�，稱之為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)才更為貼切。實(shí)驗(yàn)?zāi)康氖墙鉀Q現(xiàn)實(shí)問題，實(shí)驗(yàn)材料需要從現(xiàn)實(shí)搜集，實(shí)驗(yàn)工具是計(jì)算機(jī)和計(jì)算軟件，實(shí)驗(yàn)結(jié)果是現(xiàn)實(shí)問題的答案。面對(duì)一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的首要任務(wù)應(yīng)該是關(guān)于實(shí)驗(yàn)步驟的設(shè)計(jì)，其實(shí)質(zhì)是將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，以及設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題的數(shù)值算法，由此看到，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和數(shù)學(xué)建模有密不可分的關(guān)系。
3.2現(xiàn)階段對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的認(rèn)識(shí)
由于數(shù)學(xué)建模課的存在，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材中的關(guān)于建模部分的重要性顯得不那么突出了。如今一種習(xí)慣的看法認(rèn)為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)主要就是學(xué)一種計(jì)算軟件，通過計(jì)算機(jī)完成那些困難的繁瑣的數(shù)學(xué)計(jì)算。事實(shí)上這種認(rèn)識(shí)是片面的。因?yàn)槿绻@樣，我們只需要學(xué)好《計(jì)算方法》并掌握一種編程語言就好了，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)這門課就沒有存在的意義了。翻看一下《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》教材的前言就會(huì)發(fā)現(xiàn)，開始這門課的初衷還是要提高學(xué)生用數(shù)學(xué)的能力。從開設(shè)《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》這門課的出發(fā)點(diǎn)來看，它和《數(shù)學(xué)模型》有著大致相同的目標(biāo)，從形式和側(cè)重點(diǎn)來看，又更偏重于為數(shù)學(xué)建模準(zhǔn)備具體的方法和工具。
3.3數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教材分析以及其之于數(shù)學(xué)建模
目前國內(nèi)的《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》教材也很豐富，并且大同小異。在實(shí)踐當(dāng)中，它們也都大多是充當(dāng)一門計(jì)算語言的輔助教材甚至最終作為工具書。這是因?yàn)椤稊?shù)學(xué)模型》課的開展早于《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》，因此開設(shè)后者的高校必定已經(jīng)存在了《數(shù)學(xué)模型》，這樣拋開兩者中的重疊部分[3]，《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》也就自然的落到了這樣一個(gè)尷尬的境地。
4、結(jié)合數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽來談數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)
對(duì)于與數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)這兩門課密不可分的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，我們有必要著重談一談。目前建模競(jìng)賽影響力最大的有兩個(gè)，一個(gè)是全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，一個(gè)美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽。美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽（MCM／ICM），它分為數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽（MCM）和交叉學(xué)科建模競(jìng)賽（ICM），它們分別創(chuàng)始于1985年和2000年，是由美國數(shù)學(xué)及其應(yīng)用聯(lián)合會(huì)主辦，目前全球唯一的國際性數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，也是世界范圍內(nèi)最具影響力的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽。賽題內(nèi)容涉及經(jīng)濟(jì)、管理、環(huán)境、資源、生態(tài)、醫(yī)學(xué)、安全、未來科技等眾多領(lǐng)域。截至2015年，共有來自美國、中國、加拿大、芬蘭、英國、澳大利亞等19個(gè)國家和地區(qū)共9773支隊(duì)伍參賽，其中不乏來自哈佛大學(xué)、普林斯頓大學(xué)、麻省理工學(xué)院、清華大學(xué)、北京大學(xué)、浙江大學(xué)等國際或國內(nèi)知名的高校派出的參賽隊(duì)。我國的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽創(chuàng)辦于1992年，形式類似于美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，分為�？平M和本科組（后來有了專門的研究生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽）。試題也是涉及眾多領(lǐng)域，具有很強(qiáng)的應(yīng)用性和時(shí)效性。
每年一屆，經(jīng)常涉及到當(dāng)年的重大社會(huì)事件或重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)。學(xué)生在三天的時(shí)間內(nèi)完成模型建立、求解、驗(yàn)證及論文撰寫，比美賽的時(shí)間還少一天，對(duì)學(xué)生的挑戰(zhàn)更大。目前該項(xiàng)賽事已經(jīng)成為全國高校規(guī)模最大的基礎(chǔ)性學(xué)科競(jìng)賽。僅2016年，來自全國33個(gè)省市自治區(qū)（包括香港和澳門）以及新加坡的1367所院校、31199個(gè)隊(duì)近93000名大學(xué)生報(bào)名參加此項(xiàng)競(jìng)賽。參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽對(duì)參賽選手是一個(gè)很大的考驗(yàn)。要想在競(jìng)賽中取得佳績(jī)，參賽隊(duì)的成員必須具備以下能力：第一個(gè)就是建立模型的能力，也就是能夠?qū)F(xiàn)實(shí)問題“數(shù)學(xué)化”的能力，這正是數(shù)學(xué)建模這門課設(shè)立的初衷。第二個(gè)就求解模型的能力，這個(gè)部分將極大的借助于計(jì)算機(jī)，這正是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的主要功能。最后還要有良好的團(tuán)隊(duì)合作能力以及論文撰寫能力。因此我們可以說數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)兩門課學(xué)得好不好的試金石。
5.正確認(rèn)識(shí)和處理數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的關(guān)系
正如前文所說，數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)兩個(gè)概念與前后獨(dú)立產(chǎn)生的兩門課，《數(shù)學(xué)模型》與《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》密切相關(guān)。兩門課的課程設(shè)置各有各的出發(fā)點(diǎn)和教學(xué)目的，在內(nèi)容和培養(yǎng)目標(biāo)上確實(shí)存在重合的部分，但又各有各的側(cè)重點(diǎn)。前者注重建模思想的形成和建模意識(shí)的培養(yǎng)，后者側(cè)重建模的實(shí)際操作能力。
兩者的共同的培養(yǎng)目的體現(xiàn)在“用數(shù)學(xué)”的“用”上，通過兩門課的學(xué)習(xí)，可以提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。發(fā)現(xiàn)問題是為數(shù)學(xué)找到用武之地，解決的問題是將數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為實(shí)際。可見兩門課相輔相成，缺一不可。自從兩門課產(chǎn)生發(fā)展至今，各自都經(jīng)歷的作為一門新興學(xué)科從不太完善到逐漸趨于成熟的過程。就各自目前的發(fā)展來看，都是正常的。近年來有不少學(xué)校的數(shù)學(xué)系在課程安排上把兩門課先后排在一起上，也有的直接把它們合并成一門課叫作數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)。我們認(rèn)為兩門課的合并應(yīng)該是有必要的，但一定不是簡(jiǎn)單地加法。有很多相應(yīng)的問題需要考慮。首先是課時(shí)的分配問題。把兩門課原有課時(shí)量簡(jiǎn)單相加肯定是不合適的，一方面是因?yàn)閮蓚�(gè)課原本就有重復(fù)，另一方面會(huì)造成課時(shí)太多，給師生帶來一定的負(fù)擔(dān)。因此需要在綜合考慮兩門課的有機(jī)融合的前提下，給出一個(gè)合理的課時(shí)量。其次是教學(xué)環(huán)境和設(shè)備的調(diào)配問題。兩門課對(duì)上課的條件都有特殊的要求，數(shù)學(xué)建模課需要設(shè)計(jì)討論環(huán)節(jié)，普通的教室往往不方便討論；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課最好是安排在機(jī)房，這樣方便講解和演示，也方便學(xué)生們隨時(shí)上手編程實(shí)踐。
如果有條件建設(shè)一個(gè)在功能上能夠同時(shí)滿足上述要求的實(shí)驗(yàn)室當(dāng)然是最好，如果條件有限而不得不在不同的教室上課，那么前述的課時(shí)分配問題就再次凸顯出來。第三是教材的融合問題。如果兩門課合并成一門，顯然就急需一本涵蓋原來兩門課的教學(xué)內(nèi)容的教材。新教材的形成是一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)而復(fù)雜的過程，需要團(tuán)隊(duì)合作。經(jīng)過教研討論形成初稿，再通過一兩個(gè)學(xué)期的適用來逐漸修改和完善。最重要的還是師資的配備，由于兩門課各有側(cè)重，原本上兩門課往往不是同一位教師。然而從學(xué)生角度來看，合并后的一門課由兩個(gè)老師分別穿插授課顯然是不太合適的。所以需要原來的授課老師充實(shí)自己的知識(shí)儲(chǔ)備，盡快適應(yīng)新加內(nèi)容的教學(xué)，并且盡快對(duì)新舊兩部分內(nèi)容進(jìn)行融合，使之成為一體，才能使內(nèi)容在講授的過程中沒有割裂感，這對(duì)教師是一個(gè)新的挑戰(zhàn)。
通過以上的論述，我們認(rèn)為數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)該很好地融合在一起，這樣不僅可以避免重復(fù)，提高教學(xué)效率，而且在培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，貫徹學(xué)以致用的主旨，鍛煉發(fā)現(xiàn)和解決問題能力等方面，將起到更加促進(jìn)的作用。
參考文獻(xiàn)：
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