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高中數(shù)學(xué)函數(shù)中求最值需要注意的問(wèn)題論文
【摘要】高中數(shù)學(xué)函數(shù)求最值問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)最重要的課程之一，由于求最值問(wèn)題的內(nèi)容較散，方法難以選擇，因此最值問(wèn)題求解一直困擾我們的學(xué)習(xí)。最值問(wèn)題是數(shù)學(xué)考試中常用的求解題目，我們?cè)趯W(xué)習(xí)中要通過(guò)例題的練習(xí)熟悉最值求解問(wèn)題的解題方法，并且通過(guò)精確例題來(lái)確認(rèn)可能存在的解題陷阱，從而讓同學(xué)們提高對(duì)這一部分題目的解題熟練度和準(zhǔn)確度。
1.函數(shù)最值求解的理論知識(shí)
高中數(shù)學(xué)函數(shù)中求最值是整個(gè)階段學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容，最值求解問(wèn)題的覆蓋度較廣，在高考題目中屢次出現(xiàn)，這也體現(xiàn)了這一知識(shí)點(diǎn)的重要性。函數(shù)最值問(wèn)題的定義是：假設(shè)y=f（x）的定義域?yàn)锳，如果存在x0∈A，使得A范圍內(nèi)的任意x值都有f（x0）≤f（x），則成為函數(shù)的最大值，反之則成為函數(shù)的最小值，這是最值問(wèn)題的嚴(yán)格定義，將函數(shù)最值問(wèn)題和函數(shù)單調(diào)性結(jié)合在一起，我們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中，要注重函數(shù)單調(diào)性的理解，精確求解函數(shù)最值。
函數(shù)最值問(wèn)題的求解較為復(fù)雜，這也是導(dǎo)致我們學(xué)習(xí)出現(xiàn)障礙的癥結(jié)所在，函數(shù)最值問(wèn)題求解需要考慮的方面較多，如果忽略了函數(shù)定義域的處理，就會(huì)導(dǎo)致函數(shù)最值求解錯(cuò)誤。我們?cè)谧钪祮?wèn)題求解時(shí)會(huì)涉及到函數(shù)定義域和值域、三角函數(shù)、單調(diào)性等問(wèn)題，涉及的數(shù)學(xué)方法和解題技巧也較多，因此對(duì)于這類問(wèn)題的求解要注重解題細(xì)節(jié)，靈活運(yùn)用最值求解方法。
2.函數(shù)中求最值需要注意的點(diǎn)
2.1區(qū)間上二次函數(shù)最值求解
二次函數(shù)最值求解是較為常見(jiàn)的函數(shù)問(wèn)題，由于二次函數(shù)是非線性函數(shù)，討論函數(shù)區(qū)間內(nèi)的最值問(wèn)題要綜合考慮函數(shù)的特性，確定函數(shù)定義域區(qū)間內(nèi)的最值，最值求解一定要在有意義的定義域區(qū)間內(nèi)，我們要明確函數(shù)區(qū)間的開(kāi)閉性，而此函數(shù)是給定的，其相應(yīng)的函數(shù)值域也是確定的。例如已知二次函數(shù)f（x）=ax+bx+c（a>0），它的函數(shù)曲線是以直線x=-b/2a為對(duì)稱軸，曲線為開(kāi)口向上的拋物線，根據(jù)數(shù)形結(jié)合我們可以求解函數(shù)區(qū)間。我們?cè)谇蠼膺^(guò)程中，要注意函數(shù)區(qū)間（m、n）的界定，在函數(shù)區(qū)間內(nèi)區(qū)分增區(qū)間和減區(qū)間，從而求解函數(shù)的最大值和最小值。
2.2動(dòng)二次函數(shù)的區(qū)間最值求解
二次函數(shù)隨著參數(shù)的變化而變化，其函數(shù)曲線是運(yùn)動(dòng)的，但是其區(qū)間固定在一個(gè)區(qū)域內(nèi)，這種情況下的函數(shù)定區(qū)間最值求解要考慮函數(shù)區(qū)間的單調(diào)性。函數(shù)參數(shù)如果實(shí)在曲線開(kāi)口上，就要針對(duì)函數(shù)曲線開(kāi)口向上和開(kāi)口向下進(jìn)行重點(diǎn)討論，如果函數(shù)參數(shù)出現(xiàn)在對(duì)稱軸上，就針對(duì)函數(shù)區(qū)間左側(cè)、右側(cè)和中間定義域進(jìn)行討論，如果函數(shù)區(qū)間在對(duì)稱軸區(qū)間的中間，要分為兩種情況進(jìn)行討論，細(xì)分為對(duì)稱軸是分為左側(cè)或者右側(cè)的端點(diǎn)。動(dòng)二次函數(shù)包含了參數(shù)，去區(qū)間也是變化的，函數(shù)在閉區(qū)間的最值可能是出現(xiàn)在區(qū)間端點(diǎn)，頂點(diǎn)處取得，最后要對(duì)得出的參數(shù)值進(jìn)行驗(yàn)證。同時(shí)函數(shù)最值求解要把握二次函數(shù)的圖像開(kāi)口方向，確定定點(diǎn)的橫坐標(biāo)，并確定函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性。
2.3利用基本不等式求解最值問(wèn)題
有些同學(xué)在利用基本不等式求解最值問(wèn)題時(shí)，會(huì)忽視了等號(hào)成立條件的問(wèn)題，在利用基本不等式求解最值時(shí)要必須對(duì)定理的前提的進(jìn)行考慮，核實(shí)“一正二定三相等”的前提條件是否成立，否則求得的最值容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。例如對(duì)于例題：正數(shù)x、y滿足x+2y=1，求解1/x+1/y的最小值，對(duì)于不等式最值求解可能會(huì)出現(xiàn)以下的錯(cuò)解，即由基本不等式可以得出x+2y=1≥。
所以可以得出xy≤1/8，我們可以將不等式變化帶入到不等式1/x+1/y≥2≥4，其最小值為4。對(duì)于這種錯(cuò)誤解題方法分析，第一次等號(hào)成立的條件為x=2y，但是第二次等號(hào)成立的條件是x=y，這兩種之間的矛盾直接導(dǎo)致最值求解直接錯(cuò)誤，因此我們?cè)诓坏仁角蠼庾钪禃r(shí)要格外注重等號(hào)成立條件的規(guī)定。
2.4數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)最值
數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)最值問(wèn)題是我們往往忽略的方法，這種方法借助圖形可以直接觀察到函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)最值在哪個(gè)位置。圖形可以直觀表現(xiàn)函數(shù)曲線的走向，而數(shù)則可以精確計(jì)算函數(shù)區(qū)間，通過(guò)數(shù)和形的聯(lián)系可以結(jié)合函數(shù)最值問(wèn)題。我們可以根據(jù)函數(shù)畫出相應(yīng)的圖形，將函數(shù)圖形納入到坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)曲線中的對(duì)稱線和區(qū)間端點(diǎn)，利用函數(shù)圖形輔助最值求解，函數(shù)圖形可以直觀準(zhǔn)確計(jì)算出兩個(gè)變量表達(dá)式的數(shù)值，用導(dǎo)數(shù)求極值進(jìn)而求最值，也要借助草圖來(lái)畫出函數(shù)的單調(diào)性才能確定最大最小值在哪取得；在區(qū)間上求二次函數(shù)的最值問(wèn)題也要畫出二次函數(shù)的圖象才能確定最值，因此我們要合理利用數(shù)形結(jié)合來(lái)求解函數(shù)最值，靈活運(yùn)用函數(shù)圖像的輔助作用，提高函數(shù)區(qū)間單調(diào)性的把握，從而精確計(jì)算函數(shù)最值。
3.結(jié)語(yǔ)
綜上所述，高中數(shù)學(xué)函數(shù)中求最值是最常見(jiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)于這一問(wèn)題的學(xué)習(xí)，我們要掌握多種求解方法，根據(jù)函數(shù)特征靈活運(yùn)用，同時(shí)要注意函數(shù)定義域和值域的范圍，采用數(shù)形結(jié)合、分類討論、區(qū)間劃分及函數(shù)單調(diào)性等方法來(lái)計(jì)算函數(shù)最值，提高最值問(wèn)題的解題準(zhǔn)確性，避免由于疏忽而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。高中生在函數(shù)最值求解學(xué)習(xí)中，要對(duì)最值求解問(wèn)題進(jìn)行系統(tǒng)練習(xí)，在習(xí)題練習(xí)中總結(jié)求解方法，攻克最值求解的學(xué)習(xí)難關(guān)。
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