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求解二面角的六種常規(guī)方法
求解二面角問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，在近幾年的高考中幾乎每一年、每一套高考題的立體幾何問(wèn)題都涉及到求二面角的大小問(wèn)題.然而通過(guò)對(duì)學(xué)生考卷的分析，我們發(fā)現(xiàn)這一問(wèn)題的得分率卻并不理想.因此，本文總結(jié)了常見(jiàn)的六種求解二面角的方法，希望能給部分讀者以幫助.
1、定義法
是指過(guò)二面角的棱上任一點(diǎn)在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的直線，則兩直線所構(gòu)成的角即為二面角的平面角，繼而在平面中求出其平面角的一種方法.
【例1】 如圖1，空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=a，對(duì)角線AC=a，BD=2a，求二面角A—BD—C的大小.
圖1
解:取BD的中點(diǎn)為O，分別連接AO、CO，
∵AB=AD，BC=CD.
∴AO⊥BD，CO⊥BD.
∴∠AOC為二面角A—BD—C的平面角.
∵AB=AD=a，BD=2a，
∴AO=22a.
∵BC=CD=a，BD=2a，∴OC=22a.
在●AOC中，OC=22a，OA=22a，AC=a，OA?2+OC?2=AC?2，
∴∠AOC=90°，即二面角A—BD—C為直二面角.
2、三垂線法
是指利用三垂線定理，根據(jù)“與射影垂直，則也與斜線垂直”的思想構(gòu)造出二面角的平面角，繼而求出平面角的方法.
【例2】 如圖2，二面角α-AB-β的棱AB上有一點(diǎn)C，線段CD?α，CD=100，∠BCD=30°，點(diǎn)D到平面β的距離為253，求二面角α-AB-β的度數(shù).
圖2
解:過(guò)D作DE⊥β于E，DF⊥AB于F，連接EF.
∵DF⊥AB，EF是DF在β內(nèi)的射影，
∴AB⊥EF(三垂線定理).
∴∠DFE為二面角為α-AB-β的平面角.
在Rt●DEF中，DF=12CD=50，DE=253，
∴sin∠DFE=DEDF=25350=32.
∴∠DFE=60°.即二面角α-AB-β的度數(shù)為60°.
3、垂面法
是指用垂直于棱的平面去截二面角，則截面與二面角的兩個(gè)面必有兩條交線，這兩條交線構(gòu)成的角即為二面角的平面角，繼而再求出其平面角的一種方法.
【例3】 如圖3，已知SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB，SB=BC，E是SC的中點(diǎn)，DE⊥SC交AC于D，求二面角E-BD-C的大小.
圖3
解:∵BS=BC，SE=EC，
∴SC⊥BE，又∵SC⊥DE，
∴SC⊥面BDE.∴SC⊥BD.
又∵BD⊥SA，∴BD⊥面SAC.
∴∠EDC為二面角E-BD-C的平面角.
設(shè)SA=a，則SB=BC=2a.
∵BC⊥AB，SA⊥平面ABC.
∴BC⊥SB.
∴SC=2a，∠SCD=30°.
∴∠EDC=60°，
即二面角E-BD-C的大小為60°.
4、面積射影法
所謂面積射影法，就是根據(jù)三角形及其在某一個(gè)平面上的射影面積之間的關(guān)系，利用cosθ=S?射S來(lái)計(jì)算二面角的一種方法(其中θ為二面角).
【例4】 在正方體ABCD-A?1B?1C?1D?1中，K∈BB?1，M∈CC?1，且BK=14BB?1，CM=34CC?1，求平面AKM與ABCD所成角的大小.
圖4
解:連結(jié)AC，則由題意可知，
●ABC是●AKM在平面AC上的射影.
設(shè)平面AKM與ABCD所成角為θ，
則cosθ=S?射S=S?●ABCS
?●AKM.
令正方體的棱長(zhǎng)為4，
∴S?●ABC=12AB•AC=12×4×4=8.
在●AKM中，AK=12+42=17，
AM=42+42+32=41，
KM=42+22=20.
由海倫公式可知S?●AKM=221，
∴cosθ=421，θ=arccos421.
5、法向量法
法向量法是通過(guò)求與二面角垂直的兩個(gè)向量所成的角，繼而利用這個(gè)角與二面角的平面角相等或互補(bǔ)的關(guān)系，求出二面角的一種方法.
【例5】 如圖5，過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作PA⊥平面ABCD，設(shè)PA=AB=ɑ，求平面PAB和平面PCD所成的二面角的大小.
圖5
解:以A為射點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系(如圖5所示)，
則P(0，0，a)，D(0，a，0)，C(a，a，0).
設(shè)平面PCD的法向量為n=(x，y，z)，
則n•PD=0，n•CD=0.
即(x，y，z)•(0，a，-a)=0，(x，y，z)•(-a，0，0)=0.
∴y=-z，x=0.
即n=(0，1，-1).
又AD成為平面PAB的法向量，
而cos〈AD，n〉=(0，a，0)•(0，1，-1)a•2=22，
∴AD與n所成的角為45°.
因此平面PAB和平面PCD所成的角為45°.
6、垂線法
是指先利用待定系數(shù)法確定垂足，再利用公式求出二面角的大小.
【例6】 如圖6，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一點(diǎn)，PE⊥EC，已知PD=2，CD=2，AE=12，求
(1)異面直線PD與EC的距離;
(2)二面角E-PC-D的大小.
圖6
解:(1)略.
(2)以D為原點(diǎn)，DA、DC、DP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
作DG⊥PC，可設(shè)G(0，y，z).
由DG•PC=0得(0，y，z)•(0，2，-2)=0，即z=2y.
故可取DG=(0，1，2).
作EF⊥PC于F，設(shè)F(0，m，n)，則EF=(-32，m-12，n).
由EF•PC=0，得(-32，m-12，n)•(0，2，-2)=0，即2m-1-2n=0.
又由F在PC上得n=-22m+2，故m=1，n=22，EF=(-32，12，22).
因EF⊥PC，DG⊥PC，
故二面角E-PC-D的平面角θ的大小為向量EF與DG的夾角.
故cosθ=DG•EF|DG|•|EF|=22，∴θ=π4.
故二面角E-PC-D的大小為π4
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