三角形的中位線(xiàn)數(shù)學(xué)教案

時(shí)間：2022-10-07 14:56:26 教案我要投稿

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　　教學(xué)目標(biāo)

三角形的中位線(xiàn)數(shù)學(xué)教案

　　1．理解三角形中位線(xiàn)的概念，掌握它的性質(zhì)及初步應(yīng)用．

　　2．通過(guò)對(duì)問(wèn)題的探索及進(jìn)一步變式，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維及分解構(gòu)造基本圖形解決較復(fù)雜問(wèn)題的能力．

　　教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

　　重點(diǎn)是三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)定理．

　　難點(diǎn)是證明三角形中位線(xiàn)性質(zhì)定理時(shí)輔助線(xiàn)的添法和性質(zhì)的錄活應(yīng)用．

　　教學(xué)過(guò)程（）設(shè)計(jì)

　　一、聯(lián)想，提出問(wèn)題．

　　１．（投影）復(fù)習(xí)平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理及兩個(gè)推論（圖４－８９）．

　�。�1）請(qǐng)同學(xué)敘述定理及推論的內(nèi)容．

　�。�2）用數(shù)學(xué)表態(tài)式敘述圖４－８９（c）中的結(jié)論．

　　已知在ΔＡＢＣ中，Ｄ為ＡＢ中點(diǎn)，ＤＥ∥ＢＣ，則ＡＥ＝ＥＣ．

　�。玻嫦蛩季S，探索新結(jié)論．

　　引導(dǎo)學(xué)生思考：在圖４－９０中，反過(guò)來(lái)，若Ｄ，Ｅ分別為ＡＢ，ＡＣ中點(diǎn)，ＤＥ與ＢＣ有什么位置和數(shù)量關(guān)系呢？

　　啟發(fā)學(xué)生逆向類(lèi)比猜想：ＤＥ∥ＢＣ（逆向聯(lián)想），ＤＥ＝ＢＣ（因?yàn)椋粒模?ＡＢ，ＡＥ＝ＡＣ，類(lèi)比聯(lián)想ΔＡＤＥ的第三邊ＤＥ與ΔＡＢＣ的第三邊也存在相同的倍數(shù)關(guān)系）．

　　由此引出課題．

　　二、證明猜想，形成定理

　　1．定義三角形的中位線(xiàn)，強(qiáng)調(diào)它與三角形的中線(xiàn)的區(qū)別．

　　2．證明上述猜想成立，教師重點(diǎn)分析輔助線(xiàn)的作法的思考過(guò)程．

　　教師提示學(xué)生：所證結(jié)論即有平行又有數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想已有知識(shí)，可添加輔助線(xiàn)構(gòu)造平行四邊形，利用對(duì)平行且相等證明結(jié)論成立，或者用書(shū)上的同一法．教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維后，還要注意比較，選擇最簡(jiǎn)捷的證明方法．

　　3．板書(shū)一種證明過(guò)程．

　　4．將“猜想改成定理，引導(dǎo)學(xué)生用文字?jǐn)⑹龀鋈切沃形痪€(xiàn)定理的具體內(nèi)容．

　　三角形中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，并且等于它的一半．

　　5．分析定理成立的條件、結(jié)論及作用．

　　條件：連結(jié)兩邊中點(diǎn)得到中位線(xiàn)．

　　結(jié)論有兩個(gè)，即位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，根據(jù)題目需要選用．

　　作用：在已知兩邊中點(diǎn)的條件下，證明線(xiàn)段的平行關(guān)系及線(xiàn)段的倍分關(guān)系．

　　三、應(yīng)用舉例、變式練習(xí)

　�。ㄍ队埃├�1（直線(xiàn)給出圖4—90的問(wèn)題）根據(jù)圖4—91中的條件，回答問(wèn)題．

　�。�1）已知：如圖4—91（a），D，E分別為AB和AC的中點(diǎn)DE=5．BC；

　�。�2）如圖4—91（b），D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC中點(diǎn)，AC=8，∠C＝70°，求DF和∠EDF；

　�。�3）如圖4—91（c），①它包含幾個(gè)圖4—90這樣的基本圖形？②哪些三角形全等？③有幾個(gè)平行四邊形？④若ΔDEF周長(zhǎng)為10 cm，求ΔABC的周長(zhǎng)．⑤若ΔABC的面積等于20cm2，求ΔDEF的面積．⑥AF與DE有何關(guān)系？怎樣用語(yǔ)言敘述這結(jié)論？

　　分析：

　�。�1）可利用復(fù)合投影片實(shí)現(xiàn)三個(gè)圖的疊加過(guò)程，以提高課堂效益并幫助學(xué)生建立分解基本圖形的思想．

　　（2）通過(guò)此題總結(jié)：三角形三和中位線(xiàn)圍成的三角形的周長(zhǎng)等于原三角形周長(zhǎng)的一半，面積等于原三角形面積的14．這個(gè)過(guò)程可以無(wú)限進(jìn)行下去，如圖4—92．

　�。�3）從解題過(guò)程可以得到：三角形的一條中位線(xiàn)（DE）與第三邊上的中線(xiàn)（AF）互相平分．

　　（板書(shū)）例2 （包含圖4—90的問(wèn)題）如圖4—93，AD是ΔABC的高，M，N和E分別為AB，AC，BC的中點(diǎn)．求證：（1）四邊形MNDE為等腰梯形；（2）∠MEN＝∠MDN．

　　分析：

　�。�1）由條件分析，圖中可分解出“AD是ΔABC的高”，“三角形的中位線(xiàn)是MN，ME，NE”，“直角三角形斜邊上中線(xiàn)MD，ND” ．想一想，這些基本圖形都有什么性質(zhì)？

　�。�2）從結(jié)論出發(fā)，要證四邊形MEDN是等腰梯形，只需證MN∥DE，且MN≠DE及以下三種情況之一成立：①M(fèi)E=ND；②MD=EN；③∠EMN＝∠DNM．從而證得結(jié)論成立．

　　讓學(xué)生口述，教師板書(shū)證明過(guò)程．

　　例3 構(gòu)造圖4—90問(wèn)題．

　�。�1）求證：順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形；

　　（2）若已知四邊形為特殊四邊形呢？

　　已知：在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，如圖4—94．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．

　　分析：

　�。�1）已知四條線(xiàn)段的中點(diǎn)，可設(shè)法應(yīng)用三角形中位線(xiàn)定理，找到四邊形EFGH的邊之間的關(guān)系．而四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)可以把四邊形分成兩個(gè)三角形，所以添加輔助線(xiàn)，連結(jié)AC或BD，構(gòu)造“三角形的中位線(xiàn)”的基本圖形．

　�。�2）讓學(xué)生畫(huà)圖觀察并思考此題的特殊情況，如圖4－95，順次連結(jié)各種特殊四邊形中點(diǎn)得到什么圖形？

　　投影顯示：

　　四、師生共同小結(jié)

　　1．教師提問(wèn)引起學(xué)生思考：

　�。�1）這節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些具體內(nèi)容：

　　（2）用什么思維方法提出猜想的？

　�。�3）應(yīng)注意哪些概念之間的區(qū)別？

　　2．在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師投影顯示以下與三角形一邊中點(diǎn)及線(xiàn)段倍分關(guān)系有關(guān)的基

　　本圖形（如圖4－96）．

　�。�1）注意三角形中線(xiàn)與中位線(xiàn)的區(qū)別，圖4－96（a），（b）．

　�。�2）三角線(xiàn)的中位線(xiàn)的判定方法有兩種：定義及判定定理，圖4－96（b），（。）．

　�。�3）證明線(xiàn)段倍分關(guān)系的方法常有三種，圖4－96（b），（d），（）．

　　3．先猜想后證明的研究問(wèn)題方法；逆向思維，探究逆命題是否成立，由此經(jīng)常得到一些好

　　的結(jié)論；添輔助線(xiàn)構(gòu)造基本圖形來(lái)使用性質(zhì)的解題方法．

　　4．三角形的中位線(xiàn)有這樣的性質(zhì)，那么梯形有中位線(xiàn)嗎？它有類(lèi)似的性質(zhì)嗎？（為下節(jié)

　　課作思維上的準(zhǔn)備）

　　五、作業(yè)

　　課本第180頁(yè)第4題，第184頁(yè)第5，7，8題，第185頁(yè)B組第1題．

　　補(bǔ)充題：（構(gòu)造三角形的中位線(xiàn)）

　　1．如圖4－97，AD是上ABC的外角平分線(xiàn)，CD上AD于D．E是BC的中點(diǎn)．求證：（1）DE ∥／ AB：（2）DE ＝（AB＋AC）．

　�。ㄌ崾荆貉娱L(zhǎng)CD交BA延長(zhǎng)線(xiàn)于F．）

　　2．如圖 4－98，正方形 ABCD對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)O，E是BO中點(diǎn)，連結(jié)”并延長(zhǎng)交BC于F．求證：BF= CF．（提示：作OG∥EF交于BC于G．）

　　3．如圖4－99，在四邊形 ABCD中，AB＝CD， E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng) BA和CD分別交FE的延長(zhǎng)線(xiàn)于 G，H點(diǎn)．求證：∠BGF＝∠CHF．（提示：連結(jié) AC，取 AC中聲、 M，連結(jié)EM，F(xiàn)M．）

　　課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

　　本教學(xué)過(guò)程（）設(shè)計(jì)需1課時(shí)完成．

　　1．本節(jié)課的設(shè)計(jì)，力求讓學(xué)生通過(guò)逆向思維及類(lèi)比聯(lián)想自己實(shí)踐“分析——猜想——證

　　明”的過(guò)程．變被動(dòng)接受知識(shí)為主動(dòng)應(yīng)用已有知識(shí)，探索新知識(shí)，獲得成功的喜悅．

　　2．在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，通過(guò)一組層次遞進(jìn)的變式題的訓(xùn)練，由直接給出定理的基本圖形

　　到包含基本圖形，學(xué)生分解圖形后使用性質(zhì)，再到通過(guò)添加輔助線(xiàn)構(gòu)造基本圖形來(lái)使用性質(zhì)，

　　學(xué)生逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題，他們的解題能力、思考問(wèn)題的方法得到逐步提高．

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