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數(shù)學(xué)與猜想讀后感
對(duì)數(shù)學(xué)的感悟讀書筆記
為了使自己對(duì)數(shù)學(xué)有更深層次的認(rèn)識(shí)和理解，我看了關(guān)于數(shù)學(xué)的很多書籍來擴(kuò)大自己的知識(shí)面和增長自己的專業(yè)素養(yǎng).希望通過這次的總結(jié)能對(duì)以后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)乃至將來運(yùn)用數(shù)學(xué)提供幫助.
一 數(shù)學(xué)是什么？
我以前一直有一個(gè)疑問“數(shù)學(xué)是什么？”.對(duì)于將來畢業(yè)后要做數(shù)學(xué)老師的我來說是個(gè)不小的難題，最近在網(wǎng)上看到了一篇文章《數(shù)學(xué)是什么》，覺得作為一名數(shù)學(xué)教師很有必要讀一讀！相信很多數(shù)學(xué)老師都這樣問過自己：數(shù)學(xué)究竟是什么？作為一個(gè)數(shù)學(xué)老師，如果這個(gè)問題都回答不了，好像有點(diǎn)說不過去.但是誰又能真正說清楚數(shù)學(xué)是什么呢？美國數(shù)學(xué)家柯朗在他的《數(shù)學(xué)是什么》的書中說道：“??對(duì)于學(xué)者，對(duì)于普通人來說，更多的是依靠自身的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，而不是哲學(xué)，才能回答這個(gè)問題：數(shù)學(xué)是什么？”的確，我們很難給數(shù)學(xué)下一個(gè)準(zhǔn)確的定義，就讓我們?cè)趯?duì)一些案例的思考中去慢慢地揣摩數(shù)學(xué)的內(nèi)涵吧.
如：文中談到“‘0’一直是整數(shù)而非自然數(shù)，為這，老師和學(xué)生們都沒少費(fèi)腦筋，可現(xiàn)在“0”也加入了自然數(shù)的行列；“5個(gè)3是多少？”也可以寫成“5×3”了；“把6個(gè)桃平均分成3份”，操作時(shí)，直接拿2個(gè)放在一個(gè)盤子里，也不說你是科學(xué)性錯(cuò)誤了”.難道數(shù)學(xué)是可以改變的嗎？本學(xué)期我教十冊(cè)數(shù)學(xué)就碰到了這樣的問題，“0”現(xiàn)在是自然了，一系列的問題就出現(xiàn)了：比如：“0”是不是偶數(shù)？??我也無法回答了.可能也有老師有這樣的疑問！“教過《三角形認(rèn)識(shí)》的老師都知道，在這節(jié)課上我們第一個(gè)要煞費(fèi)苦心的，就是讓學(xué)生懂得三角形是由三條線段圍成而非組成的圖形.為了“圍成”與“組成”，我們往往要花去很長的時(shí)間，并常常為此設(shè)計(jì)而津津樂道.反思一下，如果我們不去區(qū)別“組成”與“圍成”，或者說不把“圍成”突出來講，學(xué)生難道就會(huì)把“沒有連接在一起的三條線段組成的圖形”看成是三角形嗎？我看百分之百不會(huì).數(shù)學(xué)課
上，我們往往喜歡教語文，喜歡去咬文嚼字，看似深挖實(shí)質(zhì)問題，實(shí)際是漸離實(shí)質(zhì).對(duì)于一個(gè)概念的學(xué)習(xí)，我們不能只注重它的定義，我們更應(yīng)該重視的是幫助學(xué)生形成豐富與清晰的心象：學(xué)生能畫出多少個(gè)形狀不同的三角形，學(xué)生能自主地在這些三角形中找出相同的特征并把它們歸類嗎？一提到鈍角三角形、等腰三角形，學(xué)生的頭腦中就能浮現(xiàn)出各種表象嗎？為什么學(xué)生作業(yè)中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“小明身高1.5厘米”等數(shù)學(xué)笑話？因?yàn)槲覀儗?duì)定義的關(guān)注，也許超過了對(duì)象與它所代表的實(shí)際意義的關(guān)注，而后者的重要性要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于前者.”在《分?jǐn)?shù)的意義》教學(xué)中，我們通常都是從復(fù)習(xí)平均分開始，然后逐漸地引導(dǎo)學(xué)生把一個(gè)餅平均分成2份，表示每一份的分?jǐn)?shù)；把一條線段平均分成3份，表示每一份的分?jǐn)?shù)??步步為營，一層一層地引導(dǎo)下來.如果我們?cè)谡n的一開始，就讓同學(xué)們自己隨便寫一個(gè)分?jǐn)?shù)，然后聯(lián)系生活實(shí)際用這個(gè)分?jǐn)?shù)說句話，或直接說說這個(gè)分?jǐn)?shù)所表示的意義，可以嗎？完全可以，在開放的、具有挑戰(zhàn)性的又聯(lián)系實(shí)際的問題情景中，學(xué)生的興趣只會(huì)更高，思維更活躍.我們不能老是讓學(xué)生接觸封閉的數(shù)學(xué)（條件唯一，答案唯一）.數(shù)學(xué)的魅力在哪里？在于數(shù)學(xué)的探索性與想象力.只有充滿著想象的數(shù)學(xué)，才會(huì)深深地吸引著孩子.某水果店有以下三種蘋果（每千克2元、每千克4元和每千克5元），用40元錢可以買多少千克蘋果？某種蘋果每千克2元，用40元錢可以買多少蘋果呢？100元呢？試比較以上兩道題，誰的魅力更大呢？”
看了這篇文章后，我覺得作為一名數(shù)學(xué)老師，更應(yīng)該關(guān)注的是每一節(jié)課，每一個(gè)內(nèi)容的學(xué)習(xí)要給予學(xué)生哪些實(shí)質(zhì)性的東西.我也對(duì)數(shù)學(xué)有了新的認(rèn)識(shí).數(shù)學(xué)是一門語言.數(shù)學(xué)語言具有簡潔，無歧義的特點(diǎn).數(shù)學(xué)符號(hào)往往內(nèi)涵豐富，具有一定的抽象性.數(shù)學(xué)教科書中的語言可以說通常是文字語言、數(shù)學(xué)符號(hào)語言、圖形語言的交融.數(shù)學(xué)閱讀重在理解領(lǐng)會(huì)，而實(shí)現(xiàn)領(lǐng)會(huì)目的的行為之一就是“內(nèi)部語言轉(zhuǎn)化”.即把閱讀交流內(nèi)容轉(zhuǎn)化為易于接受的語言形式.因此，數(shù)學(xué)閱讀常要靈活轉(zhuǎn)化閱讀內(nèi)容.例如把一個(gè)抽象的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為具體的或不那么抽象的內(nèi)容；把用符號(hào)語言或圖式語言表述的關(guān)系轉(zhuǎn)化為文字語言的形式，及把文字語言表述的關(guān)系轉(zhuǎn)化為符號(hào)或圖式語言；用自己的語言來理解定義或定理等.總之，數(shù)學(xué)閱
讀通常要求大腦建起靈活的語言轉(zhuǎn)化機(jī)制，而這也正是數(shù)學(xué)閱讀有別于其它閱讀的主要方面.
數(shù)學(xué)材料的呈現(xiàn)主要是歸納和演繹，具有一定的嚴(yán)謹(jǐn)性，加之?dāng)?shù)學(xué)語言的抽象性，使數(shù)學(xué)閱讀需要具有較強(qiáng)的邏輯思維能力.
數(shù)學(xué)閱讀要求認(rèn)真細(xì)致.閱讀一本小說或故事書時(shí)，可以不注意細(xì)節(jié)，跳過無趣味的段落.但數(shù)學(xué)閱讀要求對(duì)每個(gè)句子、每個(gè)名詞術(shù)語、每個(gè)圖表都應(yīng)細(xì)致地閱讀分析，領(lǐng)會(huì)其內(nèi)容、含義.對(duì)新出現(xiàn)的數(shù)學(xué)定義、定理一般不能一遍過，要反復(fù)仔細(xì)閱讀，并進(jìn)行認(rèn)真分析直至弄懂含義.
二、數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的哲理
我喜歡數(shù)學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)有著濃厚的興趣，數(shù)學(xué)的一切都是那么的奧妙無窮.而我首先選擇，并且看看數(shù)學(xué)的發(fā)展史，首選的書籍當(dāng)然是《數(shù)學(xué)史》了，只是我大學(xué)時(shí)候一本教科書.書里的內(nèi)容，我感興趣并且能共同接受的只有一個(gè)，悖論，一個(gè)數(shù)學(xué)里面最有哲理的內(nèi)容.
數(shù)學(xué)悖論最早是由一位古希臘哲學(xué)家芝諾提出來的，所以也叫做芝諾悖論.其中著名的有這么一個(gè)，兔子去追烏龜，盡管烏龜爬得很慢，但是兔子永遠(yuǎn)也追不上烏龜.因?yàn)橥米右飞蠟觚�，必須先到達(dá)烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)，當(dāng)兔子追到烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)時(shí)，烏龜利用兔子追這段路的時(shí)間向前爬出了一段，此時(shí)烏龜還是在兔子前面，兔子再追，每追一段，烏龜就會(huì)多爬出一段，所以兔子永遠(yuǎn)也追不上烏龜.若從純數(shù)學(xué)的角度去看，這只是一個(gè)簡單的極限問題，就好比小數(shù)里面的循環(huán)小數(shù)，雖然無限多得可以寫下去，但是只是局限在某個(gè)范圍里面，這里的兔子追不上烏龜也被局限在了某個(gè)范圍里面，我們可以發(fā)現(xiàn)烏龜領(lǐng)先的距離越來越短，而且兔子趕上前面那段路的時(shí)間也越來越小，就好比0.999......一直在寫下一位的9，永遠(yuǎn)突破不了1，在極限中，當(dāng)無限接近時(shí)就是被認(rèn)為相等，所以兔子雖然要追很多段路，但花的時(shí)間很少很少，直到無限接近于烏龜時(shí)，就認(rèn)為兔子已經(jīng)追上了烏龜.其實(shí)0.999....也可以看作是等于1的.
古希臘的這位哲學(xué)家是不可能明白這個(gè)數(shù)學(xué)道理的，卻提出一個(gè)當(dāng)時(shí)只有極少數(shù)人能夠解決回答，并且能夠解決回答也幾乎沒有人能理解的數(shù)學(xué)問題，實(shí)在
有些一時(shí)口快之感，可恰恰是這些個(gè)一時(shí)口快，才著就了學(xué)術(shù)的發(fā)展，歷史的前進(jìn)，數(shù)學(xué)的文明.歌德巴赫只是個(gè)數(shù)學(xué)教師，可他的猜想讓世界計(jì)算了一個(gè)時(shí)代.人們只曉拿破侖踏破歐洲的鐵蹄，卻不知他也在數(shù)學(xué)史上留名，這位皇帝曾經(jīng)提出如何只用圓規(guī)將一個(gè)圓四等分，法國的數(shù)學(xué)家們由此研究得出尺規(guī)作圖除了直接劃出直線，全部可由圓規(guī)單獨(dú)完成.所以我又得到一致的結(jié)論，古人說錯(cuò)了.
我們只是站在古人的肩膀上，數(shù)學(xué)史上的進(jìn)步，不可忽視其中任何一個(gè)人，一個(gè)環(huán)節(jié).設(shè)想，如果阿基米德活著的話，也許后人就能避免繞大的圈子來研究出一個(gè)個(gè)的幾何圖形，可能100年前就能造出現(xiàn)在的房子.如果牛頓沒被蘋果砸到，那時(shí)人們知道的他并不是物理學(xué)家，而是史上最偉大的數(shù)學(xué)家了.再看芝諾，如果他不提那幾個(gè)悖論，那么，也許是別人會(huì)提，至少數(shù)學(xué)的發(fā)展推遲了一個(gè)哲學(xué)的理論的出現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)芝諾是和和那些巨人門站在一起.
數(shù)學(xué)的精髓是其思想，我讀《古今數(shù)學(xué)思想》，這本書主要講數(shù)學(xué)置于西方的背景下加以考察，對(duì)于中國數(shù)學(xué)談的卻很少.要談數(shù)學(xué)于西方文化及其他領(lǐng)域的相互關(guān)系及相互影響，談數(shù)學(xué)精神，數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的體現(xiàn)和應(yīng)用，然而，關(guān)于古希臘和希臘時(shí)期的第六章，恰恰強(qiáng)調(diào)的是數(shù)學(xué)精神的獨(dú)立性和創(chuàng)造性.
古希臘數(shù)學(xué)家鄙視手工勞動(dòng)和商業(yè)勞動(dòng)，柏拉圖就宣稱：“數(shù)學(xué)應(yīng)該用于追求知識(shí)，而不應(yīng)該用于貿(mào)易”，“自由人從事商業(yè)貿(mào)易是一種墮落”.即使對(duì)實(shí)用發(fā)明做出過巨大貢獻(xiàn)的阿基米德，真正真愛的仍然是演繹性科學(xué)，他也認(rèn)為：“任何于日常生活有聯(lián)系的技藝都是粗俗的”.希臘人幾何發(fā)達(dá)，代數(shù)落后.他們將幾何學(xué)做成高度發(fā)達(dá)的演繹公理系統(tǒng)，這在歐幾里德的《幾何原本》里集了大成.而由于對(duì)“數(shù)”未能像對(duì)幾何學(xué)那樣建立起嚴(yán)密的邏輯體系，希臘人明顯有厚幾何薄代數(shù)的傾向.代數(shù)概念一定要轉(zhuǎn)變成幾何概念才算合法：解方程必須用幾何作圖法，二數(shù)乘積或三數(shù)乘積必須轉(zhuǎn)變成圖形的面積或者體積，所以四數(shù)的乘積被認(rèn)為不可思議.但是幾何化并不能完成數(shù)論的公理化，希臘人只得將無法表示為整數(shù)或者整數(shù)之比的數(shù)稱為“無理數(shù)”，這個(gè)名稱一直沿用至今.而數(shù)的理論的公理化是遲至19世紀(jì)的事了.在幾何學(xué)內(nèi)部，希臘人堅(jiān)持尺規(guī)作圖得限制，所以有“三等分角”“立方倍積”“化圓為方”所謂三大難題的成立.其實(shí)
只要允許用復(fù)雜一點(diǎn)的工具，難題不難解決，但是希臘人不允許，因?yàn)檫@樣做是突破了公理的藩籬，摻雜近了感情因素，幾何學(xué)的理性便蕩然無存了.對(duì)于希臘人來說，維護(hù)理性的對(duì)立性和純粹性，比什么都重要，這種獨(dú)立的，純粹的理性精神，從來不曾在也有著悠久數(shù)學(xué)歷史的巴比倫、埃及、印度和中國的文化中出現(xiàn).只出現(xiàn)在古希臘，事情似乎是，數(shù)學(xué)以及后來自然科學(xué)的理性，只能在特定的文化土壤和歷史背景中產(chǎn)生，而這種精神本身有是普世的，超文化的.
科學(xué)理性的歷史形態(tài)不拘一格.古希臘（特別是畢達(dá)哥拉斯柏拉圖學(xué)派）的理性是數(shù)學(xué)本質(zhì)主義，認(rèn)為數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)既是世界的本質(zhì).而由伽利略,牛頓開啟的近代物理學(xué)的理性則表現(xiàn)為“數(shù)學(xué)的描述現(xiàn)象”，僅僅是描述現(xiàn)象，而不問本質(zhì).牛頓用計(jì)算證明，使地球物體自由下落的力是與太陽繞行星旋轉(zhuǎn)的力可以用同一個(gè)公式來表示，這就夠了.至于問道“萬有引力”的本質(zhì)，牛頓的回答是：“我們應(yīng)該當(dāng)力戒假說”.近代科學(xué)的偉大創(chuàng)始者都信仰上帝，在他們看來是上帝把世界創(chuàng)造的可以用數(shù)學(xué)來描述，而他們自己不過是人中的先覺，率先領(lǐng)悟了上帝的旨意而已.當(dāng)牛頓發(fā)現(xiàn)，太陽系的實(shí)際運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)出偏離計(jì)算的不規(guī)則性，因而穩(wěn)定成為問題時(shí)，他又不得不假設(shè)是上帝的不可知力量在維持著太陽系的穩(wěn)定性，將理論性能視為上帝力量的顯現(xiàn)，歸公與上帝是感恩的心情；在理性不能及處，撒手任命.只讓上帝來負(fù)責(zé)是求助的心情.由于感恩的信仰和求助的信仰是應(yīng)該加以區(qū)別的.18世紀(jì)的拉普拉斯算出行星運(yùn)動(dòng)的不規(guī)則是周期性的，因而太陽系還是穩(wěn)定的，他既不感恩也不求助，所以當(dāng)拿破侖問他《天體力學(xué)》一書中為什么不提上帝時(shí)，拉普拉斯回答說：“陛下，我不需要這個(gè)階段”.正因?yàn)檫@一點(diǎn)，我們通過讀這本書，從一些科學(xué)家的故事中吸取教訓(xùn)，更應(yīng)該相信真理和科學(xué).
三、如何運(yùn)用數(shù)學(xué)處理問題
數(shù)是一個(gè)概念，數(shù)軸是一個(gè)用數(shù)來衡量距離的經(jīng)典的工具.數(shù)學(xué)的符號(hào)是將束賦予一些性質(zhì).關(guān)系實(shí)際上是一種邏輯關(guān)系.用抽象語言所無法表達(dá)的事物叫抽象的抽象.數(shù)字邏輯表達(dá)的是一種信息結(jié)構(gòu)，揭示了表象之外，不為人所輕易
波利亞《數(shù)學(xué)與猜想》（第1卷）讀書筆記
小教122姚時(shí)灣2號(hào)
《數(shù)學(xué)與猜想》(第1卷)通過許多古(轉(zhuǎn)載于:asOliveiraeSilva的工作，用了很巧妙的編程方法。因此大家在做游戲時(shí)大可不必?fù)?dān)心會(huì)出問題。
第三講漢諾塔問題
漢諾（Hanoi）塔問題：古代有一個(gè)梵塔，塔內(nèi)有三個(gè)座A、B、C，A座上有64個(gè)盤子，盤子大小不等，大的在下，小的在上（如圖）
。
有一個(gè)和尚想把這64個(gè)盤子從A座移到B座，但每次只能允許移動(dòng)一個(gè)盤子，并且在移動(dòng)過程中，3個(gè)座上的盤子始終保持大盤在下，小盤在上。在移動(dòng)過程中可以利用B座，要求打印移動(dòng)的步驟。
這個(gè)問題在盤子比較多的情況下，很難直接寫出移動(dòng)步驟。我們可以先分析盤子比較少的情況。假定盤子從大向小依次為：盤子1，盤子2，...，盤子64。
如果只有一個(gè)盤子，則不需要利用B座，直接將盤子從A移動(dòng)到C。
如果有2個(gè)盤子，可以先將盤子1上的盤子2移動(dòng)到B；將盤子1移動(dòng)到c；將盤子2移動(dòng)到c。這說明了：可以借助B將2個(gè)盤子從A移動(dòng)到C，當(dāng)然，也可以借助C將2個(gè)盤子從A移動(dòng)到B。
如果有3個(gè)盤子，那么根據(jù)2個(gè)盤子的結(jié)論，可以借助c將盤子1上的兩個(gè)盤子從A移動(dòng)到B；將盤子1從A移動(dòng)到C，A變成空座；借助A座，將B上的兩個(gè)盤子移動(dòng)到C。這說明：可以借助一個(gè)空座，將3個(gè)盤子從一個(gè)座移動(dòng)到另一個(gè)。
如果有4個(gè)盤子，那么首先借助空座C，將盤子1上的三個(gè)盤子從A移動(dòng)到B；將盤子1移動(dòng)到C，A變成空座；借助空座A，將B座上的三個(gè)盤子移動(dòng)到C。
上述的思路可以一直擴(kuò)展到64個(gè)盤子的情況：可以借助空座C將盤子1上的63個(gè)盤子從A移動(dòng)到B；將盤子1移動(dòng)到C，A變成空座；借助空座A，將B座上的63個(gè)盤子移動(dòng)到C。
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