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高考導數(shù)題型總結(jié)
高考導數(shù)題型總結(jié)【1】
1.導數(shù)的常規(guī)問題：
(1)刻畫函數(shù)(比初等方法精確細微);
(2)同幾何中切線聯(lián)系(導數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線);
(3)應用問題(初等方法往往技巧性要求較高，而導數(shù)方法顯得簡便)等關(guān)于次多項式的導數(shù)問題屬于較難類型。
2.關(guān)于函數(shù)特征，最值問題較多，所以有必要專項討論，導數(shù)法求最值要比初等方法快捷簡便。
3.導數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個方向，應引起注意。
知識整合
1.導數(shù)概念的理解。
2.利用導數(shù)判別可導函數(shù)的極值的方法及求一些實際問題的最大值與最小值。
復合函數(shù)的求導法則是微積分中的重點與難點內(nèi)容。課本中先通過實例，引出復合函數(shù)的求導法則，接下來對法則進行了證明。
3.要能正確求導，必須做到以下兩點：
(1)熟練掌握各基本初等函數(shù)的求導公式以及和、差、積、商的求導法則，復合函數(shù)的求導法則。
(2)對于一個復合函數(shù)，一定要理清中間的復合關(guān)系，弄清各分解函數(shù)中應對哪個變量求導
高考導數(shù)題型總結(jié)【2】
首先，關(guān)于二次函數(shù)的不等式恒成立的主要解法：
1、分離變量;2變更主元;3根分布;4判別式法
5、二次函數(shù)區(qū)間最值求法：(1)對稱軸(重視單調(diào)區(qū)間)
與定義域的關(guān)系(2)端點處和頂點是最值所在
其次，分析每種題型的本質(zhì)，你會發(fā)現(xiàn)大部分都在解決“不等式恒成立問題”以及“充分應用數(shù)形結(jié)合思想”，創(chuàng)建不等關(guān)系求出取值范圍。
最后，同學們在看例題時，請注意尋找關(guān)鍵的等價變形和回歸的基礎(chǔ)
一、基礎(chǔ)題型：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值;不等式恒成立;
1、此類問題提倡按以下三個步驟進行解決：
第一步：令得到兩個根;
第二步：畫兩圖或列表;
第三步：由圖表可知;
其中不等式恒成立問題的實質(zhì)是函數(shù)的最值問題，
2、常見處理方法有三種：
第一種：分離變量求最值-----用分離變量時要特別注意是否需分類討論(>0,=0,<0)
第二種：變更主元(即關(guān)于某字母的一次函數(shù))-----(已知誰的范圍就把誰作為主元);
例1：設函數(shù)在區(qū)間D上的導數(shù)為，在區(qū)間D上的導數(shù)為，若在區(qū)間D上，恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”，已知實數(shù)m是常數(shù)，
(1)若在區(qū)間上為“凸函數(shù)”，求m的取值范圍;
(2)若對滿足的任何一個實數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)”，求的最大值.
解:由函數(shù)得
(1)在區(qū)間上為“凸函數(shù)”，
則在區(qū)間[0,3]上恒成立
解法一：從二次函數(shù)的區(qū)間最值入手：等價于
解法二：分離變量法：
∵當時,恒成立,
當時,恒成立
等價于的最大值()恒成立，
而()是增函數(shù)，則
(2)∵當時在區(qū)間上都為“凸函數(shù)”
則等價于當時恒成立
變更主元法
再等價于在恒成立(視為關(guān)于m的一次函數(shù)最值問題)
請同學們參看2010第三次周考：
例2：設函數(shù)
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)若對任意的不等式恒成立，求a的取值范圍.
(二次函數(shù)區(qū)間最值的例子)
解：(Ⅰ)
令得的單調(diào)遞增區(qū)間為(a,3a)
令得的單調(diào)遞減區(qū)間為(-，a)和(3a，+)
∴當x=a時，極小值=當x=3a時，極大值=b.
(Ⅱ)由||≤a，得：對任意的恒成立①
則等價于這個二次函數(shù)的對稱軸(放縮法)
即定義域在對稱軸的右邊，這個二次函數(shù)的最值問題：單調(diào)增函數(shù)的最值問題。
上是增函數(shù).(9分)
∴
于是，對任意，不等式①恒成立，等價于
又∴
點評：重視二次函數(shù)區(qū)間最值求法：對稱軸(重視單調(diào)區(qū)間)與定義域的關(guān)系
第三種：構(gòu)造函數(shù)求最值
題型特征：恒成立恒成立;從而轉(zhuǎn)化為第一、二種題型
例3;已知函數(shù)圖象上一點處的切線斜率為，
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)當時，求的值域;
(Ⅲ)當時，不等式恒成立，求實數(shù)t的取值范圍。
解：(Ⅰ)∴，解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減
又
∴的值域是
(Ⅲ)令
思路1：要使恒成立，只需，即分離變量
思路2：二次函數(shù)區(qū)間最值
二、題型一：已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍
解法1：轉(zhuǎn)化為在給定區(qū)間上恒成立，回歸基礎(chǔ)題型
解法2：利用子區(qū)間(即子集思想);首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集;
做題時一定要看清楚“在(m,n)上是減函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(a,b)”，要弄清楚兩句話的區(qū)別：前者是后者的子集
例4：已知，函數(shù).
(Ⅰ)如果函數(shù)是偶函數(shù)，求的極大值和極小值;
(Ⅱ)如果函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍.
解：.
(Ⅰ)∵是偶函數(shù)，∴.此時，，
令，解得：.
列表如下：
(-∞,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,+∞)
+
0
-
0
+
遞增
極大值
遞減
極小值
遞增
可知：的極大值為，的極小值為.
(Ⅱ)∵函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，
∴，在給定區(qū)間R上恒成立判別式法
則解得：.
綜上，的取值范圍是.
例5、已知函數(shù)
(I)求的單調(diào)區(qū)間;
(II)若在[0，1]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。子集思想
(I)
1、
當且僅當時取“=”號，單調(diào)遞增。
2、
單調(diào)增區(qū)間：
單調(diào)增區(qū)間：
(II)當則是上述增區(qū)間的子集：
1、時，單調(diào)遞增符合題意
2、，
綜上，a的取值范圍是[0，1]。
三、題型二：根的個數(shù)問題
題1函數(shù)f(x)與g(x)(或與x軸)的交點======即方程根的個數(shù)問題
解題步驟
第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖”(即解導數(shù)不等式)和“趨勢圖”即三次函數(shù)的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減”;
第二步：由趨勢圖結(jié)合交點個數(shù)或根的個數(shù)寫不等式(組);主要看極大值和極小值與0的關(guān)系;
第三步：解不等式(組)即可;
例6、已知函數(shù)，，且在區(qū)間上為增函數(shù).
求實數(shù)的取值范圍;
若函數(shù)與的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍.
解：(1)由題意∵在區(qū)間上為增函數(shù)，
∴在區(qū)間上恒成立(分離變量法)
即恒成立，又，∴，故∴的取值范圍為
(2)設，
令得或由(1)知，
�、佼敃r，，在R上遞增，顯然不合題意…
②當時，，隨的變化情況如下表：
—
↗
極大值
↘
極小值
↗
由于，欲使與的圖象有三個不同的交點，即方程有三個不同的實根，故需，即∴，解得
綜上，所求的取值范圍為
根的個數(shù)知道，部分根可求或已知。
例7、已知函數(shù)
(1)若是的極值點且的圖像過原點，求的極值;
(2)若，在(1)的條件下，是否存在實數(shù)，使得函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒有含的三個不同交點?若存在，求出實數(shù)的取值范圍;否則說明理由。高1考1資1源2網(wǎng)
解：(1)∵的圖像過原點，則，
又∵是的極值點，則
(2)設函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒存在含的三個不同交點，
等價于有含的三個根，即：
整理得：
即：恒有含的三個不等實根
(計算難點來了：)有含的根，
則必可分解為，故用添項配湊法因式分解，
十字相乘法分解：
恒有含的三個不等實根
等價于有兩個不等于-1的不等實根。
題2：切線的條數(shù)問題====以切點為未知數(shù)的方程的根的個數(shù)
例7、已知函數(shù)在點處取得極小值-4，使其導數(shù)的的取值范圍為，求：(1)的解析式;(2)若過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍.
(1)由題意得：
∴在上;在上;在上
因此在處取得極小值
∴①，②，③
由①②③聯(lián)立得：，∴
(2)設切點Q，
過
令，
求得：，方程有三個根。
需：
故：;因此所求實數(shù)的范圍為：
題3：已知在給定區(qū)間上的極值點個數(shù)則有導函數(shù)=0的根的個數(shù)
解法：根分布或判別式法
例8、
解：函數(shù)的定義域為(Ⅰ)當m=4時，f(x)=x3-x2+10x，
=x2-7x+10，令，解得或.
令，解得
可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和(5，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為.
(Ⅱ)=x2-(m+3)x+m+6,
要使函數(shù)y=f(x)在(1，+∞)有兩個極值點,=x2-(m+3)x+m+6=0的根在(1，+∞)
根分布問題：
則，解得m>3
例9、已知函數(shù)，(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)令=x4+f(x)(x∈R)有且僅有3個極值點，求a的取值范圍.
解：(1)
當時，令解得，令解得，
所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.
當時，同理可得的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.
(2)有且僅有3個極值點
=0有3個根，則或，
方程有兩個非零實根，所以
或
而當或時可證函數(shù)有且僅有3個極值點
其它例題：
1、(最值問題與主元變更法的例子).已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5，最小值是-11.
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式;
(Ⅱ)若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
解：(Ⅰ)
令=0,得
因為，所以可得下表：
0
+
0
-
↗
極大
↘
因此必為最大值,∴因此，，
即，∴，∴
(Ⅱ)∵，∴等價于，
令，則問題就是在上恒成立時，求實數(shù)的取值范圍，
為此只需，即，
解得，所以所求實數(shù)的取值范圍是[0，1].
2、(根分布與線性規(guī)劃例子)
(1)已知函數(shù)
(Ⅰ)若函數(shù)在時有極值且在函數(shù)圖象上的點處的切線與直線平行,求的解析式;
(Ⅱ)當在取得極大值且在取得極小值時,設點所在平面區(qū)域為S,經(jīng)過原點的直線L將S分為面積比為1:3的兩部分,求直線L的方程.
解：(Ⅰ).由,函數(shù)在時有極值,
∴
∵∴
又∵在處的切線與直線平行,
∴故
∴…………………….7分
(Ⅱ)解法一:由及在取得極大值且在取得極小值,
∴即令,則
∴∴故點所在平面區(qū)域S為如圖△ABC,
易得,,,,,
同時DE為△ABC的中位線,
∴所求一條直線L的方程為:
另一種情況設不垂直于x軸的直線L也將S分為面積比為1:3的兩部分,設直線L方程為,它與AC,BC分別交于F、G,則,
由得點F的橫坐標為:
由得點G的橫坐標為:
∴即
解得:或(舍去)故這時直線方程為:
綜上,所求直線方程為:或.…………….………….12分
(Ⅱ)解法二:由及在取得極大值且在取得極小值,
∴即令,則
∴∴故點所在平面區(qū)域S為如圖△ABC,
易得,,,,,
同時DE為△ABC的中位線,∴所求一條直線L的方程為:
另一種情況由于直線BO方程為:,設直線BO與AC交于H,
由得直線L與AC交點為:
∵,,
∴所求直線方程為:或
3、(根的個數(shù)問題)已知函數(shù)的圖象如圖所示。
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅲ)若方程有三個不同的根，求實數(shù)a的取值范圍。
解：由題知：
(Ⅰ)由圖可知函數(shù)f(x)的圖像過點(0,3)，且=0
得
(Ⅱ)依題意=–3且f(2)=5
解得a=1,b=–6
所以f(x)=x3–6x2+9x+3
(Ⅲ)依題意f(x)=ax3+bx2–(3a+2b)x+3(a>0)
=3ax2+2bx–3a–2b由=0b=–9a①
若方程f(x)=8a有三個不同的根，當且僅當滿足f(5)<8a
由①②得–25a+3<8a<7a+3
所以當
4、(根的個數(shù)問題)已知函數(shù)
(1)若函數(shù)在處取得極值，且，求的值及的單調(diào)區(qū)間;
(2)若，討論曲線與的交點個數(shù).
解：(1)
………………………………………………………………………2分
令得
令得
∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為…………5分
(2)由題得
即
令……………………6分
令得或……………………………………………7分
當即時
-
此時，，，有一個交點;…………………………9分
當即時，
+
—
,
∴當即時,有一個交點;
當即時，有兩個交點;
當時，，有一個交點.………………………13分
綜上可知，當或時，有一個交點;
當時，有兩個交點.…………………………………14分
5、(簡單切線問題)已知函數(shù)圖象上斜率為3的兩條切線間的距離為，函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)在處有極值，求的解析式;
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且在區(qū)間上都成立，求實數(shù)的取值范圍.
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