用三角形的面積橋求銳角三角函數(shù)值

時間：2022-10-26 07:12:59 學(xué)習(xí)方法我要投稿

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　　一、利用三角形的面積橋求銳角三角函數(shù)值

　　例1 如圖1，E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD的中點，求∠EAF的正切值。

　　圖1

　　解：連結(jié)EF，作FG⊥AE，垂足為G

　　設(shè)正方形的邊長為2，則BE=CE=CF=FD=1

由在中，由勾股定理，得

　　在△AEF中，

易證：△ABE≌△ADF，∴AF=AE=

　　在Rt△AFG中

　　評注：本例考查了勾股定理、全等三角形等知識，要求銳角三角函數(shù)值必須在直角三角形進(jìn)行，通過添加輔助線將非直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，為解決問題創(chuàng)造了有利條件，使所求問題化歸為利用三角形面積橋來解決。

　　例2 如圖2，AB是圓O的直徑，CD⊥AB于P，若BP=2，CD=12，求cos∠CAD的值。

　　圖2

　　解：∵AB是圓O的直徑，AB⊥CD

　　∴點P是弦CD的中點

　　∴PD=PC=6

　　由相交弦定理，得

　　PA·PB=PD·PC=PD2

在中，由勾股定理，得易證：

　　過點D作DE⊥AC，垂足為E

在中，

　　評注：本例考查了圓中的相交弦定理、垂徑定理，還考查了勾股定理、全等三角形等知識，通過添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用三角形面積橋的特殊條件，提高了解題效率與為解決某些問題搭起了平臺作用。

　　二、利用三角形的面積橋求點到直線的距離

例3 如圖3，已知圓與圓外切于點C，AB是兩圓的外公切線，A、B是切點，點A在圓上，點B在圓上。若AC、BC是關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根，△ABC的周長為30，求點C到直線AB的距離。

　　圖3

　　解：過點C作兩圓的公切線交AB于點P，則AP=PC=PB

，即

　　∴△ABC是直角三角形。

　　設(shè)BC=a，AC=b，AB=c，根據(jù)題意及根與系數(shù)的關(guān)系，得

將①代入③，得 ④

　　根據(jù)勾股定理，得

⑤

　　將①、②、④代入⑤，得

，

　　經(jīng)整理，得

，解得又都能使原方程有實根。當(dāng) 時代入④，得，不合題意，舍去。當(dāng) 時，代入④，得 ∴當(dāng) 時，代入②，得

　　設(shè)點C到直線AB的距離為h

　　評注：本例由兩圓外切來判斷三角形的形狀，將方程中的根與系數(shù)的關(guān)系和判別式，以及勾股定理，配方法、方程等知識點串聯(lián)在一起，綜合性較強(qiáng)，所考查的知識點頗多，涉及面廣，拓寬了對相關(guān)知識點的考查;同時合理構(gòu)建方程組模型，利用方程的知識和三角形的面積橋是解決問題的關(guān)鍵;利用整體求值法，避免了求邊長，提高了解題速度，有利于培養(yǎng)學(xué)生將所學(xué)過的掌握的相關(guān)知識轉(zhuǎn)化為解決實際問題的能力，核心是應(yīng)用能力，本例形成了較好的考查知識鏈。

　　三、利用三角形的面積橋求三角形的內(nèi)切圓面積

　　例4 在△ABC中，AC=4，BC=5，AB=6，求△ABC的內(nèi)切圓面積。

　　解：如圖4所示，過點A作AD⊥BC，設(shè)BD=x，CD=y，則

　　圖4

① 在和中，由勾股定理，得 ② 解①，②，得

　　設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，因為三角形的內(nèi)切圓圓心到三邊的距離相等。

的內(nèi)切圓面積為 (面積單位)。

　　評注：本例充分利用方程知識和三角形的面積橋，使所求問題無從下手，到“柳暗花明”，使所求問題迎刃而解。

　　四、利用三角形的面積橋解決其他問題

例5 在△ABC中，AB=3，BC= ，AC=4，點P為BC邊上的任一點(不與B、C重合)，PE⊥AB，PF⊥AC，E、F為垂足，求3PE+4PF的值。

　　解：如圖5過點B作BD⊥AC，垂足為D

　　圖5