幾何證明的特殊方法

　　數(shù)學(xué)是“思維的體操”，幾何更能訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力。幾何證明題的思路廣，方法多，要求學(xué)生的思維要靈活，而學(xué)生拿到一個較復(fù)雜的證明題，總感到無從下手，不會分析�，F(xiàn)舉例介紹解競賽題中幾種特殊的而又常用的證明方法。

　　一、分解法

　　即把一個圖形分解成幾個簡單的圖形或分成具有某種特殊關(guān)系的圖形，然后借助于分解后的圖形的性質(zhì)來推導(dǎo)出所要證明的問題的一種方法。

　　例1. 如圖1，ABCD是任意四邊形，E、F將AB分成三等分，G、H將CD分成三等分。

　　求證：四邊形EFGH的面積等于四邊形ABCD面積的三分之一。

　　分析：四邊形問題我們常分割成三角形問題來解決。于是考慮連結(jié)AC、AH、HF、FC，由題意和“等底等高的三角形面積相等”知：

所以 所以 又 所以 故

　　二、特殊化法

　　即先考察命題的某些特殊情形，從特例中探索一般規(guī)律，或從特例中得到啟發(fā)，從而解決一般問題的一種方法。

　　例2. 如圖2，設(shè)P為∠AOB的平分線上一定點，以O(shè)P為弦作一圓，分別交OA、OB于C、D。

　　求證：OC與OD的和為定值。

分析：學(xué)生往往找不到定值是什么，若將“弦OP”特殊化為“直徑OP”，則△OPC和△OPD是全等直角三角形，因而，OC=OD= ，于是判斷OC與OD的和為定值 。故過P作PE⊥OA，PF⊥OB，連PC、PD，可證△PCE≌△PDF，所以CE=DF，OE=OF。所以

　　即OC+OD為定值。

　　三、擴充法

　　即把圖形擴充為另一個圖形，借助于擴充后圖形的性質(zhì)來推導(dǎo)出所要證明的問題的一種方法。

　　例3. 如圖3，已知AD為△ABC的邊BC上的中線，O為AD一點，BO、CO與AC、AB分別交于E、F。

　　求證：EF∥BC

分析：要證兩線平行，考慮到平行線的判定，而這里只有BD=DC，故考慮延長OD至G，使DG=OD，擴充得到平行四邊形BGCO，則 ，OF∥BG ，所以 ，故EF∥BC。

　　四、類比轉(zhuǎn)換法

　　即將所要論證的問題進行轉(zhuǎn)換并與其類似的問題對比，從而得到啟發(fā)，使問題得以解決的一種方法。

例4. 如圖4，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=108°，AH⊥BC于H，∠DAC= 。求證： 分析：這類問題常轉(zhuǎn)換為： ，而在直角三角形ADH和AEH中， 和 分別為∠DAH的余弦和∠AEH的正弦，由題意可計算知∠DAH=∠AEH=18°，聯(lián)想到 ，該問題得證。

　　五、面積法

　　即利用面積定理，結(jié)合圖形中的面積關(guān)系，找到與問題相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，使問題得到解決的一種方法。

　　例5. 如圖5，平行四邊形ABCD中，E在AD上，F(xiàn)在AB上，且DF=BE，DF與BE交于G。

　　求證：CG平分∠BGD。

　　分析：證明角平分線有兩種常用方法：這條射線分得的兩個角相等或這條射線上一點到角兩邊的距離相等。

連CE、CF，作高CH、CP，此題圖中有 ，而DF=BE，故高CP=CH，于是CG平分∠BGD。

　　六、代數(shù)法

　　即根據(jù)圖形的有關(guān)性質(zhì)布列方程、不等式或函數(shù)式等，再利用相關(guān)代數(shù)知識來解題的一種方法。

　　例6. 如圖6，在凸四邊形ABCD中，AB=2，P是AB邊的中點，如果∠DAB=∠ABC=∠PDC=90°，求證：四邊形ABCD的面積的最小可能值是4。

分析：顯然，四邊形ABCD的面積的大小與AD、BC的大小有關(guān)。故令A(yù)D=x，BC=a，四邊形ABCD的面積=y，DF⊥CB于F，由題意：AP=PB=1，BF=AD=x，DF=AB=2， 。所以 所以 因x、y均為正實數(shù)，故由一元二次方程的根的判別式得

　　即四邊形ABCD的面積的最小可能值是4。

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