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巧旋轉(zhuǎn)妙解題
一個(gè)圖形圍繞某一點(diǎn)由一個(gè)位置轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置的運(yùn)動(dòng)叫旋轉(zhuǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心。確定圖形旋轉(zhuǎn)的三個(gè)要素是：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度。圖形旋轉(zhuǎn)的主要特征是：圖形中每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，圖形的形狀與大小沒有發(fā)生變化。
我們?cè)诮忸}中運(yùn)用圖形旋轉(zhuǎn)的主要目的是：把給定的圖形(或其中的一部分)繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，圖形會(huì)發(fā)生新的組合，重組后的圖形能把題目中的條件相對(duì)集中，從而使問題得到解決。下面舉例說明運(yùn)用圖形旋轉(zhuǎn)法解題的常用技巧。
一、三角形中的旋轉(zhuǎn)技巧
1. 當(dāng)條件中出現(xiàn)三角形某邊的中點(diǎn)時(shí)，可將某圖形繞此中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°。
例1. 如圖1，在△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，E、F分別是BC、AC上的點(diǎn)。
求證：圖1
分析：由于△ADF與△BDE不在一起，因此，我們只需將△ADF繞中點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得到△BDG，使其與△BDE組成一個(gè)四邊形BEDG，從而使問題得到解決。
證明：把△ADF繞中點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得到△BDG，其中B與A、G與F分別是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則△BDG≌△ADF。于是
∵D是AB的中點(diǎn)
∴D也是GF的中點(diǎn)，故 ∵2. 當(dāng)條件中的三角形是等腰三角形時(shí)，可將含有該等腰三角形一腰的圖形，繞著等腰三角形的頂角頂點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使得兩腰重合。
例2. 如圖2，在△ABC中，AB=AC，D是三角形內(nèi)一點(diǎn)，DC>DB。
求證：∠ADB>∠ADC
圖2
分析：由于已知兩邊的大小關(guān)系，與要證的兩角的大小關(guān)系沒太大聯(lián)系，因此我們需要將圖形進(jìn)行適當(dāng)旋轉(zhuǎn)，使圖形發(fā)生重組，然后再探究它們的內(nèi)在聯(lián)系。
證明：把△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BAC，得△ACE，連DE
則AE=AD，EC=BD
∠AED=∠ADE，∠AEC=∠ADB
在△DEC中，∵EC=BD
∴DC>EC
∴∠DEC>∠EDC
∴∠AEC>∠ADC，故∠ADB>∠ADC
3. 當(dāng)條件中的三角形是等邊三角形時(shí)，可將含有該等邊三角形一邊的圖形，繞著等邊三角形的頂點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使其與另一邊重合。
例3. 如圖3，等邊△ABC中，O為其內(nèi)一點(diǎn)，且OA=3，OB=5，OC=4，求∠AOC的度數(shù)。
圖3
分析：直接求∠AOC的度數(shù)顯然很困難。注意到條件中的三邊長恰是一組勾股數(shù)，因此考慮把這三邊集中到一個(gè)三角形內(nèi)，可以構(gòu)造出一個(gè)直角三角形，然后再求角度。我們只要把△ABO繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)60°即可。
解：將△ABO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△ACD，連結(jié)OD，則
AD=AO=3，DC=OB=5，∠CAD=∠BAO
∴∠DAO=∠CAB=60°
△AOD為等邊三角形
∴∠AOD=60°，OD=3，在△ODC中，
∵OD=3，OC=4，DC=5
∴∠COD=90°
∴∠AOC=∠AOD+∠COD=150°
二、多邊形中的旋轉(zhuǎn)技巧
一般而言，當(dāng)題目給出的圖形是多邊形時(shí)，我們常先把其分割成(特殊)三角形，再應(yīng)用三角形的旋轉(zhuǎn)技巧進(jìn)行解決。
1. 當(dāng)條件中的多邊形有兩相等的鄰邊時(shí)，常把含其中一邊的三角形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使其與另一等邊重合。
例4. 如圖4，五邊形ABCDE中，AB=AE， ，∠BAE=∠BCD=120°，∠ABC+∠AED=180°，連結(jié)AD。求證：AD平分∠CDE
圖4
分析：注意到 ，但BC、DE兩條線段不在同一直線上，這是本題的關(guān)鍵。由于AB=AE，如果連結(jié)AC，我們把△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，可以使BC、DE移到一起，從而把問題解決。證明：連結(jié)AC，把△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△AEF，則
∠AEF=∠ABC，EF=BC，AF=AC
∴D、E、F三點(diǎn)共線
∴△ADF≌△ADC
∴∠ADF=∠ADC，即AD平分∠CDE
2. 當(dāng)條件中的多邊形有直角時(shí)，常先構(gòu)造直角三角形，再把這個(gè)三角形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。
例5. 如圖5，在四邊形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P，若四邊形ABCD的面積為18，求DP的長。
圖5
分析：注意到△ADP為直角三角形
而AD=CD，因此可把△ADP繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，把原圖形進(jìn)行分割重組，使問題得到解決。
解：將△ADP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CDE，則△CDE≌△ADP
∴B、C、E三點(diǎn)共線
又∵DP=DE
∠DPB=∠ABC=∠CED=90°
∴四邊形PBED是正方形
故3. 當(dāng)條件圖形中出現(xiàn)正方形時(shí)，常把含有正方形一邊的直角三角形，繞正方形頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，使該邊與另一邊重合。(可以看成是前兩種類型的特例)
例6. 如圖6，正方形ABCD的邊長為1，AB、AD上各有一點(diǎn)P、Q，如果△APQ的周長為2，求∠PCQ。
圖6
分析：注意到正方形的特征：四邊相等，四個(gè)內(nèi)角為直角。我們可以把△DCQ繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使圖形發(fā)生重組，利于應(yīng)用△APQ的周長為2這個(gè)條件。
解：將△DCQ繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△BCE
則△DCQ≌△BCE，BE=DQ，CE=CQ，∠ECQ=90°
∴△QCP≌△ECP
通過以上幾例的分析，相信大家對(duì)圖形的旋轉(zhuǎn)技巧有了一定的了解，希望同學(xué)們能在理解的基礎(chǔ)上熟練應(yīng)用。當(dāng)然關(guān)于圖形的旋轉(zhuǎn)技巧不止以上幾種，這需要大家在學(xué)習(xí)中去發(fā)現(xiàn)、去總結(jié)。
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