例談線段與角的計算

　　線段與角是初一幾何最基本的概念，是同學們首先熟悉的簡單圖形，也是研究三角形、四邊形、圓的基礎。熟練掌握線段與角的大小比較及計算，是初一幾何的重點和難點之一。下面介紹幾類線段與角的計算方法，供同學們參考。

　　一. 利用幾何的直觀性，尋找所求量與已知量的關系

　　例1. 如圖1所示，點C分線段AB為5：7，點D分線段AB為5：11，若CD=10cm，求AB。

　　圖1

　　分析：觀察圖形可知，DC=AC-AD，根據已知的比例關系，AC、AD均可用所求量AB表示，這樣通過已知量DC，即可求出AB。

例2. 如圖2所示， ， ， ，求 。

　　圖2

分析：觀察圖形可知，已知量 ，所求量 ，根據已知的比例關系， 、 分別可用 、 表示，從而可得到 與 的關系，求出 。

　　二. 利用線段中點(角的平分線)性質，進行線段長度(角的大小)變換

例3. 如圖3所示，已知 ，C為AB的中點，D為CB上一點，E為DB的中點，EB=6cm，求CD的長。

　　圖3

分析：觀察圖形可知 ，C、E分別為AB、DB中點，AB、EB為已知，利用中點性質，可求出CB、DB，從而求出CD。例4. 如圖4，AE為一條直線，OB平分 ，OD平分 ，求 的度數。

　　圖4

分析：觀察圖形可知，所求量 ，已知AE為一條直線， ，OB平分 ，OD平分 ，利用角的平分線的性質， 可用 表示， 可用 表示，從而求出所求量

　　三. 根據圖形及已知條件，列方程(組)求解

例5. 如圖5，一條直線上順次有A、B、C、D四點，且C為AD的中點， ，求BC是AB的多少倍?

　　圖5

分析：題中已給出線段BC、AB、AD的一個方程，又C為AD的中點， ，觀察圖形可知， ，可得到BC、AB、AD又一個方程，從而可用AD分別表示AB、BC。例6. 如圖6，已知OE是 的平分線，C是 內一點，若 ， ，求 的度數。

　　圖6

分析：觀察圖形可知， 由 、 、 三個角組成，利用OE是角的平分線， ， ，可列出三個方程，從而求得 。

　　四. 設輔助未知量，列方程求解

例7. 如圖7，C、D、E將線段AB分成2：3：4：5四部分，M、P、Q、N分別是AC、CD、DE、EB的中點，且 ，求PQ的長。

　　圖7

分析：根據比例關系及中點性質，若設 ，則AB上每一條短線段都可以用x的代數式表示。觀察圖形，已知量 ，可轉化成x的方程，從而求出x，然后再求出PQ。例8. 如圖8，已知 是直角， 是銳角，OM平分 ，ON平分 ，求 的度數。

　　圖8

分析：觀察圖形， ，圖中 、 都與 有關，設 ，則 、 都可用x的代數式表示，求出 。

　　五. 分類討論圖形的多樣性，注意所求結果的完整性

例9. 已知線段 ，在直線AB上畫線段 ，求AC的長。

　　圖9

　　分析：線段AB是固定不變的，而直線上線段BC的位置與C點的位置有關，C點可在線段AB上，也在線段AB的延長線上，如圖9。

例10. 已知 ，過O點作射線OC，若 ，且 ，求 。

　　圖10

分析：如圖10所示，過O點作射線OC，OC既可在 內部，也可以在 外部，對應的 大小不同。

　　綜上所述，線段與角的計算，除選擇適當的方法外，觀察圖形是其關鍵，同時還要注意規(guī)范書寫格式，注意幾何圖形的多樣性等，同學們可在不斷地練習過程中去認真總結和體會。

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