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向量在立體幾何中的應(yīng)用方法
空間向量引入立體幾何是數(shù)學(xué)課程改革的重點(diǎn)之一。下面小編為大家準(zhǔn)備了關(guān)于向量在立體幾何中的應(yīng)用方法的論文哦!
摘要：高中數(shù)學(xué)教材進(jìn)行了改革,增加了向量的內(nèi)容,這為高中學(xué)生對(duì)立體幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)提供了一個(gè)代數(shù)化的方法。學(xué)生學(xué)習(xí)了空間向量的方法之后,可以采用他們比較熟悉的代數(shù)方法來(lái)進(jìn)行立體幾何的運(yùn)算和證明;能夠幫助學(xué)生更加牢固地掌握幾何圖形的性質(zhì);同時(shí),可提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力以及豐富思維結(jié)構(gòu)。
關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 向量 立體幾何
高中數(shù)學(xué)的教材改革,把直線的方向向量和平面的法向量引入了教學(xué)。這一改革,為立體幾何中的空間問(wèn)題的解決,提供了非常實(shí)用和方便的解題工具。運(yùn)用“形到形”的學(xué)習(xí)方法去完成綜合推理立體幾何習(xí)題,對(duì)大部分學(xué)生們來(lái)說(shuō)不能輕松地掌握。向量的運(yùn)算方法與代數(shù)的運(yùn)算方法十分相似。學(xué)習(xí)了向量方法后,學(xué)生就可以使用其比較熟知的代數(shù)推理運(yùn)算方法,來(lái)分析空間圖形的問(wèn)題。
一、空間向量在解立體幾何問(wèn)題中的優(yōu)勢(shì)
立體幾何是一門(mén)研究空間幾何圖形的數(shù)學(xué)學(xué)科,它主要依據(jù)一些公理和概念,借助各種幾何圖形的不同變換,利用邏輯推理對(duì)空間圖形的性質(zhì)進(jìn)行研究。在運(yùn)用圖形的不同變換對(duì)垂直、平行、距離、夾角等空間圖形中的問(wèn)題進(jìn)行處理時(shí),需要很強(qiáng)的技巧性,難度比較大,學(xué)生們很難找到準(zhǔn)確的切入點(diǎn)。在學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)利用向量的方法會(huì)有十分顯著的效果。
向量的知識(shí)在高中階段有著十分重要的價(jià)值和地位,它在解決立體幾何問(wèn)題時(shí)具有其傳統(tǒng)的幾何知識(shí)以及方法無(wú)法替代的優(yōu)勢(shì)。在解決立體幾何問(wèn)題中遇到的很多具有較大難度的問(wèn)題,運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單的公式變形,就可以輕松地解決。空間向量的知識(shí)為學(xué)習(xí)立體幾何中遇到的使用傳統(tǒng)的純幾何方法比較費(fèi)時(shí)費(fèi)力,同時(shí)有著很強(qiáng)的隨機(jī)性的問(wèn)題,提供了比較便捷簡(jiǎn)單的常用方法,可以大大地降低解題的復(fù)雜程度。這為高中學(xué)生對(duì)立體幾何的學(xué)習(xí)注入了新的活力。
例如,如圖所示,已知空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a,點(diǎn)M、N分別是AB、CD的中點(diǎn).
(1)求證:MN⊥AB,MN⊥CD;(2)求MN的長(zhǎng);
(2)求異面直線AN與CM夾角的余弦值.
利用空間向量方法的解題過(guò)程為:
通過(guò)這道例題的解題分析可以發(fā)現(xiàn),使用空間向量的方法求角,能夠避免根據(jù)定義求角的方法必須添加大量的輔助線,找到所求的角這一解題難點(diǎn)。利用空間向量的方法,只需建立規(guī)范的直角坐標(biāo)系,設(shè)出幾個(gè)對(duì)應(yīng)的向量單位,然后直接去求兩個(gè)向量的夾角就能簡(jiǎn)單地解決這個(gè)問(wèn)題,把題目的難度大大的降低了。
二、教學(xué)中“空間向量”內(nèi)容的教學(xué)優(yōu)化
在高中“空間向量”這一部分教學(xué)中,最為實(shí)用和簡(jiǎn)單的工具,就是空間向量的坐計(jì)算,可以在教學(xué)中適當(dāng)?shù)匮a(bǔ)充些內(nèi)容,讓學(xué)生充分了解到空間向量坐標(biāo)運(yùn)算方法在解決立體幾何問(wèn)題中的作用。
(1)通過(guò)計(jì)算線線所在的兩個(gè)向量所滿足的線性關(guān)系來(lái)證明線線的平行關(guān)系。
(2)通過(guò)計(jì)算兩條直線所在的兩個(gè)向量的數(shù)量積為零來(lái)證明線線的垂直關(guān)系。
(3)通過(guò)計(jì)算出一條直線所在的向量與兩條相交直線所在的平面的所在的向量的數(shù)量積為零,來(lái)證明直線與平面相垂直。
(4)計(jì)算一個(gè)平面的法向量。
(5)通過(guò)證明直線與平面的法向量相垂直,來(lái)證明出直線與平面相平行。
(6)通過(guò)證明出一個(gè)平面的法向量與另一個(gè)平面相垂直,來(lái)證明出平面與平面的平行。
(7)通過(guò)計(jì)算出兩個(gè)平面的法向量其數(shù)量積為零,來(lái)證明平面與平面的垂直。
(8)計(jì)算出兩條直線所在的向量形成的銳角的值,來(lái)計(jì)算出異面直線角的值。
(9)斜線與平面的法向量形成的銳角同斜線與平面所成的角度能夠互余。
(10)在計(jì)算直線與平面的距離、平面到平面的距離時(shí),都可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離的問(wèn)題上來(lái),運(yùn)用向量的方法來(lái)解決。
(11)利用向量法計(jì)算異面直線之間的距離。
雖然在教學(xué)中補(bǔ)充這些結(jié)論和讓學(xué)生能夠熟練地應(yīng)用會(huì)耗費(fèi)一定的課時(shí),但補(bǔ)充的結(jié)論能夠讓學(xué)生在處理立體幾何問(wèn)題迅速地發(fā)現(xiàn)空間向量解決題的共通性,快速簡(jiǎn)潔地處理問(wèn)題起到明顯的實(shí)際應(yīng)用效果。空間向量可以把抽象的立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)問(wèn)題,充分地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的解題思想,把立體幾何也全部融入到高中數(shù)學(xué)的綜合運(yùn)用之中。
三、向量方法在立體幾何中的應(yīng)用策略
學(xué)習(xí)向量知識(shí)的重要目標(biāo),是“著重培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用向量這一代數(shù)方法去處理立體幾何中的問(wèn)題能力”,把立體幾何題中復(fù)雜的邏輯推理轉(zhuǎn)化成空間向量的代數(shù)運(yùn)算。加強(qiáng)幾何與代數(shù)之間的聯(lián)系,實(shí)現(xiàn)立體幾何問(wèn)題解題的程序化、模式化,盡量減少添加輔助線,從而把解題難度降低。
使用空間向量方法來(lái)處理立體幾何中的問(wèn)題,首先,必須根據(jù)遇到的立體幾何問(wèn)題的情況,采用恰當(dāng)?shù)姆绞?把點(diǎn)、線、面等問(wèn)題中涉及到的所有元素利用空間向量的方法表示出來(lái),把幾何圖形和空間向量之間的聯(lián)系建立起來(lái)。然后,利用空間向量的方法進(jìn)行運(yùn)算,證明出所有相對(duì)應(yīng)的元素之間的關(guān)系(夾角和距離等問(wèn)題)。最后,把運(yùn)算的結(jié)果進(jìn)行幾何意義的解釋,實(shí)現(xiàn)對(duì)立體圖形問(wèn)題的解決。
如果幾何圖形中有較多的垂直關(guān)系,同時(shí)建立空間直角坐標(biāo)系比較容易時(shí),應(yīng)該建立空間直角坐標(biāo)系,利用相應(yīng)的坐標(biāo)把向量表示出來(lái)。如果幾何圖形中缺少垂直關(guān)系或者很難在幾何圖形上建立空間直角坐標(biāo)系,可根據(jù)已知條件利用三個(gè)不在同一個(gè)平面的向量作為基向量,把空間向量利用基向量表示出來(lái),并根據(jù)條件計(jì)算出這三個(gè)向量之間數(shù)量積和模數(shù)的關(guān)系。
使用空間向量的方法解決空間角和距離問(wèn)題時(shí),可以不建立出空間直角坐標(biāo)系。根據(jù)空間向量的基本定理,選取出不在同一個(gè)平面的三個(gè)向量當(dāng)作基向量。同時(shí),為了方便向量?jī)?nèi)積的計(jì)算,所設(shè)的三個(gè)基向量的模以及三個(gè)向量之間的數(shù)量積,已知條件必須給出或者可以根據(jù)所給條件計(jì)算出。
把向量知識(shí)引入到解決立體幾何問(wèn)題后,可以極大地拓寬解題思路,讓立體幾何問(wèn)題的解決有規(guī)律可循。學(xué)生掌握一定的向量公式后,高中學(xué)生可以利用其很好地解決立體幾何問(wèn)題。雖然在解題時(shí)會(huì)有較大的計(jì)算量,但仍然能夠減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。向量在解決立體幾何問(wèn)題中,有著極大的應(yīng)用效果。
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