巧用面積法解題方法

　　許多數(shù)學(xué)問題，表面上看來似與面積無關(guān)，但靈活運(yùn)用面積法，往往能使問題順利獲解，下面舉例介紹面積法的運(yùn)用。

　　一. 用面積法證線段相等

　　例1. 已知：如圖1，AD是△ABC的中線，CF⊥AD于F，BE⊥AD交AD的延長線于E。

　　求證：CF=BE。

　　圖1

　　證明：連結(jié)EC，由BD=DC得，

，

　　兩式兩邊分別相加，得

故

　　所以BE=CF。

注：直接由 得 更簡潔。

　　二. 用面積法證兩角相等

　　例2. 如圖2，C是線段AB上的一點(diǎn)，△ACD、△BCE都是等邊三角形，AE、BD相交于O。

　　求證：∠AOC=∠BOC。

　　圖2

　　證明：過點(diǎn)C作CP⊥AE，CQ⊥BD，垂足分別為P、Q。

　　因?yàn)椤鰽CD、△BCE都是等邊三角形，

　　所以AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE，

　　所以∠ACE=∠DCB

　　所以△ACE≌△DCB

所以AE=BD，

　　可得CP=CQ

　　所以O(shè)C平分∠AOB

　　即∠AOC=∠BOC

　　三. 用面積法證線段不等

　　例3. 如圖3，在△ABC中，已知AB>AC，∠A的平分線交BC于D。

　　求證：BD>CD。

　　圖3

　　證明：過點(diǎn)D分別作DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分別為E、F

　　設(shè)BC邊上的高為h。

　　因?yàn)?ang;BAD=∠DAC

　　所以DE=DF

因?yàn)?

　　且AD>AC

所以 即

　　所以BD>CD

　　四. 用面積法證線段的和差

　　例4. 已知：如圖4，設(shè)等邊△ABC一邊上的高為h，P為等邊△ABC內(nèi)的任意一點(diǎn)，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F。

　　求證：PE+PF+PD=h。

　　圖4

　　證明：連結(jié)PA、PB、PC

因?yàn)? ， 又 所以 。

　　因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形

所以

　　即PE+PF+PD=h

　　五. 用面積法證比例式或等積式

　　例5. 如圖5，AD是△ABC的角的平分線。

求證： 。

　　圖5

　　證明：過D點(diǎn)作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F。

　　因?yàn)锳D是△ABC的角的平分線，

　　所以DE=DF，

則有 。

　　過A點(diǎn)作AH⊥BC，垂足為H，

則有 即

　　六. 用面積比求線段的比

　　例6. 如圖6，在△ABC中，已知BC、AC邊上的中線AD、BF交于M。

求證： 。

　　圖6

　　證明：連結(jié)CM，過B作BG⊥AD交AD延長線于G，則

，所以 。又 ，所以 ， 所以 。

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