淺析角動量守恒定律

　　摘 要：角動量守恒定律與動量守恒定律及對一軸線和對軸線上任一點的角動量守恒兩個容易混淆的問題，從守恒條件和守恒量兩個方面進行了比較與澄清。

　　關鍵詞：動量守恒;角動量守恒;守恒條件;守恒量

　　角動量(又稱動量矩)守恒定律是力學三大守恒定律之一。

　　一、角動量守恒定律原理

　　(一)物理學的普遍定律之一

　　反映質點和質點系圍繞一點或一軸運動的普遍規(guī)律。反映不受外力作用或所受諸外力對某定點(或定軸)的合力矩始終等于零的質點和質點系圍繞該點(或軸)運動的普遍規(guī)律。物理學的普遍定律之一。如，一個在有心力場中運動的質點，始終受到一個通過力心的有心力作用，因有心力對力心的力矩為零，所以根據角動量定理，該質點對力心的角動量守恒。因此，質點軌跡是平面曲線，且質點對力心的矢徑在相等的時間內掃過相等的面積。如果把太陽看成力心，行星看成質點，則上述結論就是開普勒行星運動三定律[1]之一。

　　外力或外界場作用的質點系，其質點之間相互作用的內力服從牛頓第三定律，因而質點系的內力對任一點的主矩為零，從而導出質點系的角動量守恒。如，質點系受到的外力系對某一固定軸之矩的代數和為零，則質點系對該軸的角動量守恒。角動量守恒也是微觀物理學中的重要基本規(guī)律。在基本粒子衰變、碰撞和轉變過程中都遵守反映自然界普遍規(guī)律的守恒定律，也包括角動量守恒定律。W・泡利于1931 年根據守恒定律推測自由中子衰變時有反中微子產生，1956年后為實驗所證實。

　　角動量定理的微商，等于作用于該質點上的力對該點的力矩。對于質點系，由于其內各質點間相互作用的內力服從牛頓第三定律，因而質點系的內力對任一點的主矩為零。利用內力的這一特性，即可導出質點系的角動量定理：質點系對任一固定點O的角動量對時間的微商等于作用于該質點系的諸外力對O點的力矩的矢量和。由此可見，描述質點系整體轉動特性的角動量只與作用于質點系的外力有關，內力不能改變質點系的整體轉動情況。

　　動量守恒定律和能量守恒定律以及角動量守恒定律一起成為現代物理學中的三大基本守恒定律。最初它們是牛頓定律的推論，但后來發(fā)現它們的適用范圍遠遠廣于牛頓定律，是比牛頓定律更基礎的物理規(guī)律，是時空性質的反映。其中，動量守恒定律由空間平移不變性推出，能量守恒定律由時間平移不變性推出，而角動量守恒定律則由空間的旋轉對稱性推出;相互間有作用力的物體系稱為系統(tǒng)，系統(tǒng)內的物體可以是兩個、三個或者更多，解決實際問題時要根據需要和求解問題的方便程度，合理地選擇系統(tǒng)。

　　二、角動量守恒定律與動量守恒定律的關系

　　在大學物理教學中發(fā)現由于種種原因，學生常不能真正了解動量守恒定律的實驗基礎，有很多學生認為動量守恒定律只是牛頓定律的推論，只對力學領域以內宏觀、常速物體適用。而在高等學校的普通物理教材中，對上述問題表述得比較清楚。教師在講課時應結合物理學的發(fā)展強調人們對動量概念及有關規(guī)律在物理學中的重要地位的逐步認識。如在對碰撞、打擊現象的研究中出現了最初的、用動量描述運動的思想，并進一步介紹動量守恒定律的一些實驗基礎時應著重指出：從歷史上看，動量守恒定律是獨立發(fā)展的，其出現比牛頓定律還早，決不能把它當作是牛頓定律的副產物;并指出：由于近代物理的發(fā)展，將動量守恒定律應用于力學以外的領域，不僅導致一系列重大發(fā)現，而且使定律自身的概念得以發(fā)展和完善。教學中通過實際的例子使學生真正理解動量守恒定律已成為物理學中最重要的基本規(guī)律之一。

　　(一)力學中動量守恒定律與角動量守恒定律的建立

　　動量概念最早是在研究碰撞、打擊等現象過程中提出的。笛卡爾第一個明確提出了運動量守恒的概念，并對碰撞的多種情況進行了比較系統(tǒng)的研究�；莞�斯發(fā)展了笛卡爾關于動量的概念，指明動量是有方向的，由此可見，動量守恒定律最初并非由理論上推導出來的。牛頓概括了前人的成果建立起力學的公理化體系之后，動量守恒定律在原有的堅實實驗基礎之上，納入力學的理論體系。

　　角動量的概念在力學上出現得較晚，但開普勒在16世紀末到17世紀初對天體運動進行了大量的分析和推算，總結出行星運動的開普勒三定律。行星運動的開普勒第二定律認為，對于任一行星，由太陽到行星的徑矢在相等的時間內掃過相等的面積。這實際上是在有心力作用下質點對力心的角動量守恒的具體體現，這在2003年“全國中學生物理競賽”復賽試題中得到應用。由此可見，角動量守恒的基本思想最初也不是全由理論推導而得來的。

　　(二)力學中動量守恒定律與角動量守恒定律的適用范圍

　　下面在經典力學及慣性系范圍內進行討論。

　　1.動量守恒定律

　　如果質點系所受外力的矢量和為零，即∑F外=0，由質點系動量定理的微分形式得到：∑mv=恒矢量，即當外力的矢量和為零時，質點系的總動量不隨時間變化。這就是動量守恒定律。所需質點系動量守恒的必要充分條件，就是這個質點系所受外力的矢量和為零。

　　在應用動量守恒定律時，應注意以下幾點：

　　(1)在理解動量守恒定律時，一定要注意動量的矢量性。我們所說的質點系的總動量，是指系統(tǒng)中所有質點動量的矢量和;

　　(2)在一些具體問題中，∑F外=0很難滿足，但若系統(tǒng)中質點間的相互作用內力比它們所受的外力大得多，也可以足夠好地應用動量守恒定律。例如在打擊或碰撞問題中，相互作用的兩個物體均受重力，但由于相互碰撞的內力遠大于外力，此時動量守恒定律可近似成立。在這類問題中，應確認外力與內力的數量級，當它們屬同一數量級時，不能忽視外力的作用;

　　(3)對某一系統(tǒng)，∑F外≠0，但在某一方向上外力的投影的代數和為零，在這一方向上質點系動量的分量保持恒定，即動量守恒。例如：當∑FX=0時，ΣmvX=恒量;

　　(4)當系統(tǒng)是剛體時，所有外力的作用相當于一個合力及一個合力矩，只要合力等于零，即使合力矩不等于零，動量守恒定律仍成立。

　　2.角動量守恒定律

　　由質點系的角動量定理

　　d/dt∑(r×mv)=∑r×F

　　當∑r×F=0時，∑(r×mv)=恒量

　　即當外力矩的矢量和為零時，系統(tǒng)的總角動量守恒，這就是質點系角動量守恒定律。所以質點系角動量守恒定律適用的必要充分條件就是這個質點系所受外力對某一中心的外力矩的矢量和等于零。

　　在應用角動量守恒定律時，應注意以下幾點：

　　(1)角動量守恒時，機械能未必守恒，此時可以允許有機械能與非機械能的轉換;

　　(2)外力矩的矢量和為零，并不要求外力的作用相互抵消，此時∑F外可以不等于0，即動量未必守恒;

　　(3)當對某點的外力矩矢量和不等于零，但繞某軸的外力矩投影的代數和為零時，繞這軸的角動量投影守恒。這是在普通物理教學中所常見的對定軸的角動量守恒定律。注意此時總角動量矢量未必守恒;

　　(4)力矩和角動量都是對慣性系內某一固定參考點而言的，所選取的參考點不同，力矩和角動量的大小、方向也不同;

　　(5)在實際問題中，有時Σr×F外=0不能嚴格成立，但若外力的沖量矩遠小于內力的沖量矩時，角動量守恒定律可以近似地適用;

　　(6)角動量守恒定律在質心參考系中同樣適用。

　　在以牛頓定律為基礎的經典力學體系中，力學中的三條守恒定律可以由牛頓定律推導出來。但是，從歷史發(fā)展上看，在牛頓力學體系建立之前，這些守恒定律的有關概念已在實踐中逐步形成和發(fā)展，有長期的廣泛的實驗基礎�，F代科學實驗也表明：動量守恒定律、角動量守恒定律完全適用于微觀粒子、高速運動物體的領域，這些守恒定律的適用范圍比牛頓定律更廣泛，所以，這些守恒定律應該看作是從實驗中總結出來的物理學中的普遍規(guī)律，不再把它們看作是牛頓定律的推論了。

　　參考文獻：

　　[1]劉克哲.普通物理[M].北京:高等教育出版社,2002.

　　[2]朱青.剛體轉動的問題[J].中山大學學報論叢,2004,(3).

　　[3]朱軍芳.運動守恒量保持算法和牛頓核殼模型動力學研究[D].南昌:南昌大學,2007.

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