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總結(jié)歸納法
總結(jié)歸納法[1]
歸納法。歸納論證是一種由個(gè)別到一般的論證方法。它通過許多個(gè)別的事例或分論點(diǎn)，然后歸納出它們所共有的特性，從而得出一個(gè)一般性的結(jié)論。歸納法可以先舉事例再歸納結(jié)論，也可以先提出結(jié)論再舉例加以證明。前者即我們通常所說之歸納法，后者我們稱為例證法。例證法就是一種用個(gè)別、典型的具體事例實(shí)證明論點(diǎn)的論證方法。歸納法是從個(gè)別性知識(shí)，引出一般性知識(shí)的推理，是由已知真的前提，引出可能真的結(jié)論。它把特性或關(guān)系歸結(jié)到基于對(duì)特殊的代表(token)的有限觀察的類型;或公式表達(dá)基于對(duì)反復(fù)再現(xiàn)的現(xiàn)象的模式(pattern)的有限觀察的規(guī)律。例如，使用歸納法在如下特殊的命題中：
冰是冷的。
在擊打球桿的時(shí)候彈子球移動(dòng)。
推斷出普遍的命題如：
所有冰都是冷的。或： 在太陽下沒有冰。
對(duì)于所有動(dòng)作，都有相同和相反的重做動(dòng)作。
人們在歸納時(shí)往往加入自己的想法，而這恰恰幫助了人們的記憶。
物理學(xué)研究方法之一。通過樣本信息來推斷總體信息的技術(shù)。要做出正確的歸納，就要從總體中選出的樣本，這個(gè)樣本必須足夠大而且具有代表性。
比如在我們買葡萄的時(shí)候就用了歸納法，我們往往先嘗一嘗，如果都很甜，就歸納出所有的葡萄都很甜的，就放心的買上一大串。
歸納推理也可稱為歸納方法.完全歸納推理，也叫完全歸納法.不完全歸納推理，也叫不完全歸納法.歸納方法，還包括提高歸納前提對(duì)結(jié)論確證度的邏輯方法，即求因果五法，求概率方法，統(tǒng)計(jì)方法，收集和整理經(jīng)驗(yàn)材料的方法等.
古典歸納法
古典歸納邏輯，是由培根創(chuàng)立，經(jīng)穆勒發(fā)展的歸納理論.它主要研究完全歸納推理，不完全歸納推理(簡單枚舉歸納和科學(xué)歸納),求因果五法等.
亞里士多德探討了歸納.他在<前分析篇>談到簡單枚舉歸納推理.他舉例說，內(nèi)行的舵手是最有效能的.所以，凡在自己專業(yè)上內(nèi)行的人都是最有效能的.古典歸納邏輯創(chuàng)始人是17世紀(jì)英國弗蘭西斯 培根，他在<新工具>中，貶演繹，倡歸納，首次提出整理和分析感性材料的"三表法",即具有表，缺管表和程度表，認(rèn)為在此基礎(chǔ)上，通過排除歸納法等歸納方法，可以從特殊事實(shí)"逐級(jí)"上升，最后達(dá)到"最普遍的公理".19世紀(jì)英國約翰穆勒(John Mill)是古典歸納邏輯的集大成者，他在<邏輯學(xué)體系>中，通過總結(jié)自培根以來古典歸納邏輯的研究成果，系統(tǒng)論述了"求因果五法",即求同法，求異法，求同求異并用法，共變法和剩余法，對(duì)其形式和規(guī)則做了具體規(guī)定和說明.
現(xiàn)代歸納法
現(xiàn)代歸納邏輯，也稱概率邏輯.它是由梅納德 凱恩斯(Magnard Keynes)創(chuàng)立，由萊辛巴哈(Reichenbach),卡爾納普(Rudolf Carnap)科恩等發(fā)展，運(yùn)用概率論，形式化的公理方法等工具，探索歸納問題所取得的成果。
古典歸納邏輯曾遭到英國休謨的詰難。他認(rèn)為，歸納推理的合理性在邏輯上是得不到保證的。歸納推理所依據(jù)的普遍因果律和自然齊一律，只是一種習(xí)慣性心理聯(lián)想，不具有客觀的真理性.從個(gè)別性的前提不可能得到一般性的結(jié)論.休謨的詰難，引人思考.既然從個(gè)別性的前提出發(fā)，不能必然地得到一般性的結(jié)論，那么個(gè)別性的前提是否可以對(duì)一般性的結(jié)論提供某種程度的證據(jù)支持，前提對(duì)于結(jié)論支持的概率是多少，這就是現(xiàn)代歸納邏輯即概率邏輯的研究主題.
現(xiàn)代歸納邏輯研究肇始于19世紀(jì)中葉.德 摩根,耶方斯，文恩等人都曾探索利用古典概率論來研究歸納問題.凱恩斯在1921年發(fā)表<概率論>,主張概率是命題間的邏輯關(guān)系，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建概率演算的公理系統(tǒng)，創(chuàng)立了現(xiàn)代歸納邏輯.萊辛巴哈在1934年發(fā)表<概率理論>,主張用"相對(duì)頻率的極限"定義"概率",創(chuàng)立頻率概率論，把現(xiàn)代歸納邏輯的研究，推進(jìn)到一個(gè)新階段.
現(xiàn)代歸納邏輯正處于發(fā)展時(shí)期，其理論尚待完善."把一切歸納方法，用公理集加以系統(tǒng)化的歸納邏輯目前還不存在，我們現(xiàn)在只有歸納邏輯的片斷或一些歸納邏輯的雛形."多種類型的歸納邏輯理論，不斷被引入認(rèn)識(shí)論，科學(xué)方法-論，統(tǒng)計(jì)學(xué)，決策論，人工智能等眾多領(lǐng)域，日益得到廣泛的應(yīng)用.
總結(jié)歸納法[2]
人民教育出版社全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書數(shù)學(xué)第三冊(選修II)第二章第一節(jié)
安徽師大附中 吳中才
【教學(xué)目標(biāo)】
1. 使學(xué)生了解歸納法, 理解數(shù)學(xué)歸納的原理與實(shí)質(zhì).
2. 掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟;會(huì)用"數(shù)學(xué)歸納法"證明簡單的與自然數(shù)有關(guān)的命題.
3. 培養(yǎng)學(xué)生觀察, 分析, 論證的能力, 進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力和創(chuàng)新能力，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的構(gòu)建過程, 體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想.
4. 努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅情境，使學(xué)生處于積極思考、大膽質(zhì)疑氛圍，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和課堂效率.
5. 通過對(duì)例題的探究，體會(huì)研究數(shù)學(xué)問題的一種方法(先猜想后證明), 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生初步形成做數(shù)學(xué)的意識(shí)和科學(xué)精神.
【教學(xué)重點(diǎn)】歸納法意義的認(rèn)識(shí)和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的分析
【教學(xué)難點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解
【教學(xué)方法】類比啟發(fā)探究式教學(xué)方法
【教學(xué)手段】多媒體輔助課堂教學(xué)
【教學(xué)程序】
第一階段：輸入階段--創(chuàng)造學(xué)習(xí)情境，提供學(xué)習(xí)內(nèi)容
1. 創(chuàng)設(shè)問題情境，啟動(dòng)學(xué)生思維
(1) 不完全歸納法引例：
明朝劉元卿編的《應(yīng)諧錄》中有一個(gè)笑話：財(cái)主的兒子學(xué)寫字.這則笑話中財(cái)主的兒子得出"四就是四橫、五就是五橫......"的結(jié)論，用的就是"歸納法"，不過，這個(gè)歸納推出的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的.
(2) 完全歸納法對(duì)比引例：
有一位師傅想考考他的兩個(gè)徒弟，看誰更聰明一些.他給每人一筐花生去剝皮，看看每一�；ㄉ适遣皇嵌加蟹垡掳凑l先給出答案.大徒弟費(fèi)了很大勁將花生全部剝完了;二徒弟只揀了幾個(gè)飽滿的，幾個(gè)干癟的，幾個(gè)熟好的，幾個(gè)沒熟的，幾個(gè)三仁的，幾個(gè)一仁、兩仁的，總共不過一把花生.顯然，二徒弟先給出答案，他比大徒弟聰明.
在生活和生產(chǎn)實(shí)際中，歸納法也有廣泛應(yīng)用.例如氣象工作者、水文工作者依據(jù)積累的歷史資料作氣象預(yù)測，水文預(yù)報(bào)，用的就是歸納法.這些歸納法卻不能用完全歸納法.
2. 回顧數(shù)學(xué)舊知，追溯歸納意識(shí)
(從生活走向數(shù)學(xué)，與學(xué)生一起回顧以前學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)一步體會(huì)歸納意識(shí)，同時(shí)讓學(xué)生感受到我們以前的學(xué)習(xí)中其實(shí)早已接觸過歸納.)
(1) 不完全歸納法實(shí)例： 給出等差數(shù)列前四項(xiàng), 寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2) 完全歸納法實(shí)例： 證明圓周角定理分圓心在圓周角內(nèi)部、外部及一邊上三種情況.
3. 借助數(shù)學(xué)史料, 促使學(xué)生思辨
(在生活引例與學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)學(xué)生看數(shù)學(xué)史料，能夠讓學(xué)生多方位多角度體會(huì)歸納法，感受使用歸納法的普遍性.同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思辨：在數(shù)學(xué)中運(yùn)用不完全歸納法常常會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)論，不管是我們還是數(shù)學(xué)大家都可能如此.那么，有沒有更好的歸納法呢?)
問題1 已知=(n∈N)，
(1)分別求;;;.
(2)由此你能得到一個(gè)什么結(jié)論?這個(gè)結(jié)論正確嗎?
(培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想的意識(shí)和數(shù)學(xué)概括能力.概括能力是思維能力的核心.魯賓斯坦指出：思維都是在概括中完成的.心理學(xué)認(rèn)為"遷移就是概括"，這里知識(shí)、技能、思維方法、數(shù)學(xué)原理的遷移，我找的突破口就是學(xué)生的概括過程.)
問題2 費(fèi)馬(Fermat)是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家，他曾認(rèn)為，當(dāng)n∈N時(shí)，一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對(duì)n=0，1，2，3，4作了驗(yàn)證后得到的.后來，18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉(Euler)卻證明了=4 294 967 297=6 700 417×641，從而否定了費(fèi)馬的推測.沒想到當(dāng)n=5這一結(jié)論便不成立.
問題3 , 當(dāng)n∈N時(shí)，是否都為質(zhì)數(shù)?
驗(yàn)證： f(0)=41，f(1)=43，f(2)=47，f(3)=53，f(4)=61，f(5)=71，f(6)=83，f(7)=97，f(8)=113，f(9)=131，f(10)=151，...，f(39)=1 601.但是f(40)=1 681=，是合數(shù).
第二階段：新舊知識(shí)相互作用階段--新舊知識(shí)作用，搭建新知結(jié)構(gòu)
4. 搜索生活實(shí)例，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣
(在第一階段的基礎(chǔ)上，由生活實(shí)例出發(fā)，與學(xué)生一起解析歸納原理, 揭示遞推過程.孔子說："知之者不如好之者，好之者不如樂之者."興趣這種個(gè)性心理傾向一般總是伴隨著良好的情感體驗(yàn).)
實(shí)例：播放多米諾骨牌錄像
關(guān)鍵：(1) 第一張牌被推倒; (2) 假如某一張牌倒下, 則它的后一張牌必定倒下. 于是, 我們可以下結(jié)論： 多米諾骨牌會(huì)全部倒下.
搜索：再舉幾則生活事例：推倒自行車, 早操排隊(duì)對(duì)齊等.
5. 類比數(shù)學(xué)問題, 激起思維浪花
類比多米諾骨牌過程, 證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式：
(1) 當(dāng)n=1時(shí)等式成立; (2) 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立, 即, 則=, 即n=k+1時(shí)等式也成立. 于是, 我們可以下結(jié)論： 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式對(duì)任何n∈都成立.
(布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，"有指導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)"強(qiáng)調(diào)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程.這里通過類比多米諾骨牌過程，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法的雛形，是一種再創(chuàng)造的發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí).)
6. 引導(dǎo)學(xué)生概括, 形成科學(xué)方法
證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題關(guān)鍵步驟如下：
(1) 證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)結(jié)論正確;
(2) 假設(shè)當(dāng)n=k (k∈，k≥) 時(shí)結(jié)論正確, 證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確.
完成這兩個(gè)步驟后, 就可以斷定命題對(duì)從開始的所有正整數(shù)n都正確.
這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.
第三階段：操作階段--鞏固認(rèn)知結(jié)構(gòu)，充實(shí)認(rèn)知過程
7. 蘊(yùn)含猜想證明, 培養(yǎng)研究意識(shí)
(本例要求學(xué)生先猜想后證明，既能鞏固歸納法和數(shù)學(xué)歸納法，也能教給學(xué)生做數(shù)學(xué)的方法，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立研究數(shù)學(xué)問題的意識(shí)和能力.)
例題 在數(shù)列{}中, =1, (n∈), 先計(jì)算，，的值，再推測通項(xiàng)的公式, 最后證明你的結(jié)論.
8. 基礎(chǔ)反饋練習(xí), 鞏固方法應(yīng)用
(課本例題與等差數(shù)列通項(xiàng)公式的證明差不多，套用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟不難解答，因此我把它作為練習(xí)，這樣既考慮到學(xué)生的能力水平，也不沖淡本節(jié)課的重點(diǎn).練習(xí)第3題恰好是等比數(shù)列通項(xiàng)公式的證明，與前者是一個(gè)對(duì)比與補(bǔ)充.通過這兩個(gè)練習(xí)能看到學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法證題步驟的掌握情況.)
(1)(第63頁例1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+3+5+...+(2n-1)=.
(2)(第64頁練習(xí)3)首項(xiàng)是，公比是q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是.
9. 師生共同小結(jié), 完成概括提升
(1) 本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法;
(2) 歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種，完全歸納法只局限于有限個(gè)元素，而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性，數(shù)學(xué)歸納法屬于完全歸納法;
(3) 數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，其基本思想是遞推(遞歸)思想，使用要點(diǎn)可概括為：兩個(gè)步驟一結(jié)論，遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉;
(4) 本節(jié)課所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有：遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、辯證唯物主義思想.
10. 布置課后作業(yè), 鞏固延伸鋪墊
(1) 課本第64頁練習(xí)第1, 2題; 第67頁習(xí)題2.1第2題.
(2) 在數(shù)學(xué)歸納法證明的第二步中，證明n=k+1時(shí)命題成立, 必須要用到n=k時(shí)命題成立這個(gè)假設(shè).這里留一個(gè)辨析題給學(xué)生課后討論思考：
用數(shù)學(xué)歸納法證明： (n∈)時(shí), 其中第二步采用下面的證法：
設(shè)n=k時(shí)等式成立, 即, 則當(dāng)n=k+1時(shí), . 你認(rèn)為上面的證明正確嗎?為什么?
【教學(xué)設(shè)計(jì)說明】
1.數(shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法.它的操作步驟簡單、明確，教學(xué)重點(diǎn)不應(yīng)該是方法的應(yīng)用.我認(rèn)為不能把教學(xué)過程當(dāng)作方法的灌輸，技能的操練.為此，我設(shè)想強(qiáng)化數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的教學(xué)，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生寓于對(duì)歸納法的分析、認(rèn)識(shí)當(dāng)中，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結(jié)合起來.這樣不僅使學(xué)生可以看到數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的背景，從一開始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎(chǔ)，而且可以強(qiáng)化歸納思想的教學(xué)，這不僅是對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中以演繹思想為主的教學(xué)的重要補(bǔ)充，也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機(jī).
2.在教學(xué)方法上，這里運(yùn)用了在教師指導(dǎo)下的師生共同討論、探索的方法.目的是加強(qiáng)學(xué)生對(duì)教學(xué)過程的參與.為了使這種參與有一定的智能度，教師應(yīng)做好發(fā)動(dòng)、組織、引導(dǎo)和點(diǎn)撥.學(xué)生的思維參與往往是從問題開始的，本節(jié)課按照思維次序編排了一系列問題，讓學(xué)生投入到思維活動(dòng)中來，把本節(jié)課的研究內(nèi)容置于問題之中，在逐漸展開中，引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)的知識(shí)、方法予以解決，并獲得知識(shí)體系的更新與拓展.
3.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，兩個(gè)步驟缺一不可.理解數(shù)學(xué)歸納法中的遞推思想，尤其要注意其中第二步，證明n=k+1命題成立時(shí)必須要用到n=k時(shí)命題成立這個(gè)條件.這些內(nèi)容都將放在下一課時(shí)完成，這種理解不僅使我們能夠正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)歸納法的原理與本質(zhì)，也為證明過程中第二步的設(shè)計(jì)指明了思維方向.
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