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最小二乘估計教學(xué)方案
教學(xué)目標(biāo)：1、掌握最小二乘法的思想
2、能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程
教學(xué)重點：最小二乘法的思想
教學(xué)難點：線性回歸方程系數(shù)公式的應(yīng)用
教學(xué)過程
回顧：上節(jié)我們討論了人的身高與右手一?長之間的線性關(guān)系，用了很多種方法刻畫這種線性關(guān)系，但是這些方法都缺少數(shù)學(xué)思想依據(jù)。
問題1、用什么樣的線性關(guān)系刻畫會更好一些？
想法：保證這條直線與所有點都近（也就是距離最�。�。
最小二乘法就是基于這種想法。
問題2、用什么樣的方法刻畫點與直線的距離會方便有效？
設(shè)直線方程為y=a+bx，樣本點A（xi，yi）
方法一、點到直線的距離公式
方法二、
顯然方法二能有效地表示點A與直線y=a+bx的距離，而且比方法一更方便計算，所以我們用它表示二者之間的接近程度。
問題3、怎樣刻畫多個點與直線的接近程度？
例如有5個樣本點，其坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）與直線y=a+bx的接近程度：
從而我們可以推廣到n個樣本點：（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn）與直線y=a+bx的接近程度：
使得上式達(dá)到最小值的直線y=a+bx就是我們所要求的直線，這種方法稱為最小二乘法
問題4、怎樣使 達(dá)到最小值？
先討論3個樣本點的情況
設(shè)有3個點（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），則由最小二乘法可知直線y=a+bx與這3個點的接近程度由下面表達(dá)式刻畫：
整理成為關(guān)于a的一元二次函數(shù) ，如下所示：
利用配方法可得
從而當(dāng) 時，使得函數(shù) 達(dá)到最小值。
將 代入①式，整理成為關(guān)于b的一元二次函數(shù) ，
同樣使用配方法可以得到，當(dāng)
時，使得函數(shù) 達(dá)到最小值。
從而得到直線y=a+bx的系數(shù)a，b，且稱直線y=a+bx為這3個樣本點的線性回歸方程。
用同樣的方法我們可以推導(dǎo)出n個點的線性回歸方程的系數(shù)：
其中
由 我們知道線性回歸直線y=a+bx一定過 。
例題與練習(xí)
例1 在上一節(jié)練習(xí)中，從散點圖可以看出，某小賣部6天賣出熱茶的杯數(shù)（y）與當(dāng)天氣溫（x）之間是線性相關(guān)的。數(shù)據(jù)如下表
氣溫（xi）／oC261813104-1
杯數(shù)（yi）／杯202434385064
（１）試用最小二乘法求出線性回歸方程。
（２）如果某天的氣溫是－3 oC，請預(yù)測可能會賣出熱茶多少杯。
解：（1）先畫出其散點圖
ixiyixi2xiyi
12620676520
21824324432
31334169442
41038100380
545016200
6－1641－64
合計7023012861910
可以求得
則線性回歸方程為
y =57.557－1.648x
�。�2）當(dāng)某天的氣溫是－3 oC時，賣出熱茶的杯數(shù)估計為：
練習(xí)1 已知x，y之間的一組數(shù)據(jù)如下表，則y與x的線性回歸方程y=a+bx必經(jīng)過點 ( D )
x0123
y1357
�。ˋ）（2，2） （B）（1.5，0） （C）（1，2） （D）（1.5，4）
練習(xí)2 某連鎖經(jīng)營公司所屬5個零售店某月的銷售額和利潤額資料如下表：
商店名稱ABCDE
銷售額（x）/千萬元35679
利潤額（y）/百萬元23345
�。ǎ保┊嫵鲣N售額和利潤額的散點圖；
�。ǎ玻┤翡N售額和利潤額具有相關(guān)關(guān)系，計算利潤額y對銷售額x的回歸直線方程。
解：（1）
（2）數(shù)據(jù)如下表：
ixiyixi2xiyi
13296
2532515
3633618
4744928
5958145
合計3017200112
可以求得b=0.5，a=0.4
線性回歸方程為：
小結(jié)
1、最小二乘法的思想
2、線性回歸方程的系數(shù)：
作業(yè)：P60 習(xí)題1－8 第1題
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